Üstel fonksiyon

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Gerçel değişkenli üstel fonksiyonun grafiği

Üstel fonksiyon, matematiğin en önemli fonksiyonlarından biridir. ex veya exp(x) sembolleriyle gösterilir. Burada e, yaklaşık değeri 2,718 olan Euler sayısını temsil eder, x ise gerçel ya da karmaşık bir değişkendir. Kuvvet fonksiyonunun tersine, değişken tabanda değil üstte olduğu için bu fonksiyona üstel denir.

Bazı kaynaklarda üstel fonksiyon, herhangi bir pozitif a tabanı için ax olarak tanımlanır. Bu maddede e tabanlı üstel fonksiyon anlatılacaktır. (Farklı tabanlı üstel fonksiyonlar ax = ex·ln a bağlantısı sayesinde e tabanlı üstel fonksiyona dönüştürülebilirler, bu yüzden de e tabanlı fonksiyonu incelemek yeterlidir.)

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Gerçel değişkenli üstel fonksiyon için birbirine eşdeğer olan birkaç tanım verilebilir. Bunlardan bazıları şöyledir:

\,e^x = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.
\,e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots
\,y'(x) = y  ve  \,y(0) = 1  eşitliklerini sağlayan  \,y(x)  fonksiyonuna  \,e^x  denir.
\,\int_{1}^{y}\frac{1}{t}\,dt = x  eşitliğini sağlayan pozitif  \,y  sayısına  \,e^x  denir.

Bu tanımların geçerli ve eşdeğer oldukları pek çok matematiksel analiz kaynağında gösterilir. İlk üç tanım, hiçbir değişiklik yapmadan, karmaşık değişkenli üstel fonksiyon için de verilebilir.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıdaki tanımlardan herhangi birinden yola çıkılarak şu özellikler kanıtlanabilir:

  • \,\!\, e^0 = 1
  • \,\!\, e^1 = e
  • \,\!\, e^{x + y} =  e^x e^y
  • \,\!\, e^{x y} = \left( e^x \right)^y
  • \,\!\, {1 \over e^x} = \left({1 \over e}\right)^x = e^{-x}
  • \,\!\, e^{ln(x)} =  x