Toplamsal ters (cebir)

Matematikte, bir x elemanının toplamsal tersi, −x ile gösterilir ve x ile toplandığında toplamsal birimi veren elemandır. Bu toplamsal birim genellikle 0 (sıfır) sayısıdır, ancak daha genel bir sıfır elemanını da ifade edebilir.

Temel matematikte, toplamsal ters genellikle zıt işaretli sayı, veya bir sayının negatifi olarak adlandırılır. Aritmetik negatifleme birli işlemi, çıkarma işlemi ile yakından ilişkilidir ve cebirsel denklemlerin çözümünde önemlidir. Toplama işleminin tanımlı olduğu tüm kümelerde, örneğin doğal sayılarda olduğu gibi, bir toplamsal ters bulunmayabilir.

Yaygın örnekler

Tam sayılar, rasyonel sayılar, gerçel sayılar ve karmaşık sayılar ile çalışırken, herhangi bir sayının toplamsal tersi o sayının −1 ile çarpılmasıyla bulunabilir.

Birimin sekizinci kökünün (⁸√1) sekiz değerinden ikisi olan bu karmaşık sayılar, karşılıklı olarak zıttır

Toplamsal terslerin basit durumları

$n$	$-n$
$7$	$-7$
$0.35$	$-0.35$
${\frac {1}{4}}$	$-{\frac {1}{4}}$
$\pi$	$-\pi$
$1+2i$	$-1-2i$

Bu kavram cebirsel ifadelere de genişletilebilir ki bu, genellikle denklemleri dengelerken kullanılır.

Cebirsel ifadelerin toplamsal tersleri

$n$	$-n$
$a-b$	$-(a-b)=-a+b$
$2x^{2}+5$	$-(2x^{2}+5)=-2x^{2}-5$
${\frac {1}{x+2}}$	$-{\frac {1}{x+2}}$
${\sqrt {2}}\sin {\theta }-{\sqrt {3}}\cos {2\theta }$	$-({\sqrt {2}}\sin {\theta }-{\sqrt {3}}\cos {2\theta })=-{\sqrt {2}}\sin {\theta }+{\sqrt {3}}\cos {2\theta }$

Çıkarma ile ilişkisi

Toplamsal ters, ters eleman kullanılarak yapılan bir toplama işlemi olarak görülebilen çıkarma ile yakından ilişkilidir:

a − b  =  a + (−b).

Buna karşılık, toplamsal ters, sıfırdan çıkarma işlemi olarak düşünülebilir:

−a = 0 − a.

Bu bağlantı, 17. yüzyıla kadar eksi işaretinin hem zıt büyüklükler hem de çıkarma işlemi için kullanılmasına yol açmıştır. Bu gösterim günümüzde standart olsa da, o dönemde bazı matematikçiler bunun belirsiz olabileceğini ve hatalara yol açabileceğini düşündükleri için karşı çıkmışlardır.

Resmi tanım

Toplama işlemi tanımlı bir $(S,+)$ cebirsel yapısı ve $e\in S$ toplamsal birim elemanı verildiğinde; bir $x\in S$ elemanının toplamsal tersi olan $y$ elemanının var olması için gerek ve yeter koşul $y\in S$, $x+y=e$ ve $y+x=e$ eşitliklerinin sağlanmasıdır.

Toplama, tipik olarak yalnızca değişmeli bir işlemi ifade etmek için kullanılır, ancak kayan nokta gibi bazı sayı sistemleri için birleşmeli olmayabilir. İşlem birleşmeli olduğunda, yani $(a+b)+c=a+(b+c)$ sağlandığında, eğer varsa sol ve sağ tersler uyuşacak ve toplamsal ters benzersiz olacaktır. Birleşmeli olmayan durumlarda, sol ve sağ tersler uyuşmayabilir ve bu durumlarda tersin var olmadığı kabul edilir.

Tanım kapalılık gerektirir; yani $y$ toplamsal elemanı $S$ içinde bulunmalıdır. Doğal sayıları birbirleriyle toplayabilmemize rağmen, doğal sayılar kümesi toplamsal ters değerlerini içermez. Bunun nedeni, bir doğal sayının toplamsal tersinin (örneğin $3$ için $-3$) bir doğal sayı olmamasıdır; bu bir tam sayıdır. Bu nedenle, $S$ kümesindeki doğal sayıların toplamsal tersleri vardır ve bu ilişkili tersler negatif sayılardır.

Diğer örnekler

• Bir vektör uzayında, −v toplamsal tersi (genellikle v'nin ters vektörü olarak adlandırılır), v ile aynı büyüklüğe (norm) sahiptir ancak yönü terstir.
• Modüler aritmetikte, x'in modüler toplamsal tersi, a + x ≡ 0 (mod n) şartını sağlayan a sayısıdır ve her zaman mevcuttur. Örneğin, 3'ün mod 11'e göre tersi 8'dir, çünkü 3 + 8 ≡ 0 (mod 11).
• Elemanları $\{0,1\}$ olan bir Boole halkasında toplama işlemi genellikle simetrik fark olarak tanımlanır. Böylece $0+0=0$, $0+1=1$, $1+0=1$ ve $1+1=0$ olur. Toplamsal birim elemanımız 0'dır ve her iki eleman da kendi toplamsal tersidir; çünkü $0+0=0$ ve $1+1=0$'dır.

Ayrıca bakınız

• Mutlak değer (|−x| = |x| özdeşliği üzerinden ilişkilidir).
• Monoid
• Ters fonksiyon
• Çarpımsal ters
• Yarı grup