Ortogonal koordinatlar

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematik'te, ortogonal koordinatlar q = (q1, q2, ..., qd) bir d koordinat kümesi olarak tanımlanır,hepsi koordinat yüzeyi içinde dik açılarla birleşir(not: üstsimge indis'tir, üstel değildir).Özel bir koordinat için Bir koordinat yüzeyi qk eğrilik, yüzey, veya hiperyüzey veya hangisiyse qk bir sabittir. örneğin, üç-boyut Kartezyen koordinatlar (x, y, z) bir ortogonal koordinat sistemidir. Bu koordinat yüzeyleri için x = sabit, y = sabit, ve z = sabit.,yüzeyler dik açıda buluşurlar,bu örnek dik açı içindir. Ortogonal koordinatlar eğrisel koordinatlar'ın özel ama son derece yaygın bir durumudur.

Kartezyen olmayan koordinatların baş avantajı problemin simetri eşleştirmek için seçilebilir olmasıdır. Örneğin,bir patlama nedeniyle basınç dalgası Kartezyen koordinatlarda 3 boyutlu uzaya bağlıdır zemin (ya da diğer engeller) gibi,ancak basınç ağırlıklı olarak küresel koordinatlar sorunu çok olur, böylece,küresel koordinatlar'da öylesine sorun haline gelirki yaklaşık olarak bir boyutlu olur(bu basınç dalgası baskısı sadece merkezden zaman ve mesafeye bağlı olduğundan). Başka bir örnek düz bir dairesel borudaki (yavaş) bir sıvıdır: Kartezyen koordinatlarda, bir kısmi diferansiyel denklem içeren bir (zor) iki boyutlu sınır değer sorunu çözmek için vardır, fakat silindirik koordinatlar sorunu ile tek boyutlu olur bir kısmi diferansiyel denklemin yerini,düzgün diferansiyel denklemi alır.

Alıştırma[değiştir | kaynağı değiştir]

konformal haritada dörtgen gridler etkilidir .Eğimli gridlerin ortogonalitesinin korunduğunu unutmayın.

Vektör işlemleri ve fiziksel yasalar normalde Kartezyen koordinatlar'da kolay olsa da non-kartezyen ortogonal koordinatlar sıklıka farklı problemlerin çözümünde kullanılır,kuantum mekaniğinin alan teorisi, akışkan, elektrodinamik ve kimyasal türlerin difuzyon'u veya ısı'da bu gibi ortaya çıkan özellikle sınır değer probleminde..

Kartezyen olmayan koordinatların baş avantajı problemin simetri eşleştirmek için seçilebilir olmasıdır. Örneğin,bir patlama nedeniyle basınç dalgası Kartezyen koordinatlarda 3 boyutlu uzaya bağlıdır zemin (ya da diğer engeller) gibi,ancak basınç ağırlıklı olarak küresel koordinatlar sorunu çok olur, böylece,küresel koordinatlar'da öylesine sorun haline gelirki yaklaşık olarak bir boyutlu olur(bu basınç dalgası baskısı sadece merkezden zaman ve mesafeye bağlı olduğundan). Başka bir örnek düz bir dairesel borudaki (yavaş) bir sıvıdır: Kartezyen koordinatlarda, bir kısmi diferansiyel denklem içeren bir (zor) iki boyutlu sınır değer sorunu çözmek için vardır, fakat silindirik koordinatlar sorunu ile tek boyutlu olur bir kısmi diferansiyel denklemin yerini,düzgün diferansiyel denklemi alır.

Ortogonal koordinatların tercih nedeni genel eğrisel koordinatlar'ın basitleşirilebilmesidir: koordinatları ortogonal olmadığı durumlarda birçok komplikasyonlar ortaya çıkar. örneğin birçok problem,ortogonal koordinatlarda değişkenlerin ayrılmasıyla çözülür. Değişkenlere ayırma bir matematik tekniktir bir kompleksd-boyutlu problem, d tek-boyutlu problemlere dönüştürülerek bilinen fonksiyonun içindeki terimler çözülebilir. Birçok denklem Laplace denklemi veya Helmholtz denklemine indirgenebilir. Laplace denklemi ile 13 ortogonal koordinat sistemine, ve Helmholtz denklemi ile 11 ortogonal koordinat sistemine ayrılır. [1][2]

Metrik tensör içindeki off-diagonal terimler asla ortogonal koordinatlar değildirler Diğer bir deyişle, sonsuz kare uzunluğu ds2 her zaman kare sonsuz koordinat yer değiştirmelerinin bir ölçekli toplamı olarak yazılabilir


ds^2 = \sum_{k=1}^d \left( h_k \, dq^{k} \right)^2

burada d boyuttur ve ölçek fonksiyonudur (veya ölçek faktörüdür)


h_{k}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{kk}(\mathbf{q})} = |\mathbf e_k|

metrik tensör çapraz bileşenlerinin karekök veya aşağıda açıklanan yerel bazda vektörlerin \mathbf e_k uzunlukları eşittir.

Burada ölçekleme fonksiyonu hi yeni koordinatlarda,gradient,Laplacian, diverjens ve curl. gibi diferansiyel operatörleri hesaplamak için kullanılıyor Kartezyen koordinat (x, y) standart bir iki boyutlu grid konformal haritalaması iki boyutlu ortogonal koordinat sistemleri üretmek için basit bir yöntemdir. Bir karmaşık sayı z = x + iy, gerçek koordinatlar x and y ile oluşturulabilmektedir.i kare kökü -1 temsil eder. ortaya çıkan karmaşık sayı yazılmış w = u + iv yazılmış ise Herhangi bir holomorfik fonksiyonu w = f(z) sıfır olmayan karmaşık türev ile bir konformal haritalama üretecektir.Daha sonra sabit biruve v, en eğrileri sabit xve y özgün çizgileri yaptığı gibi, dik açıda kesişir. iki boyutlu bir koordinat sisteminden üç ve daha yüksek boyutlarda ortogonal koordinatlar ya da (silindrik coordinatlar) içine çıkıntı yapan ya da kendi simetri ekseni yaklaşık bir iki boyutlu bir sistemin döndürülerek,ortogonal yeni bir boyut oluşturulabilir. Ancak, bu tür , iki boyutlu bir sistemin, çıkıntı veya çevirerek elipsoidal koordinatları elde edilemeyen üç boyutlu diğer ortogonal koordinat sistemleri vardır. Daha genel olarak dik koordinatlar bazı gerekli koordinat yüzeyleri ve dik yörüngeleri dikkate alınarak elde edilebilir.

Taban vektörler[değiştir | kaynağı değiştir]

Kovariant taban[değiştir | kaynağı değiştir]

Kartezyen koordinatlarda,taban vektörler(sabit) sabitlenir. daha genel çerçeve olan eğrisel koordinatlarda, uzayda nokta koordinatları ile belirtilir ve  bu tür noktalar genellikle taban vektörler kümesi sabit değildir: Bu ​​genel olarak eğrisel koordinatlar özüdür ve çok önemli bir kavramdır. ortogonal koordinatları ayıran temel vektörleri farklı olsa da, her zaman birbirlerine göreortogonaldir, yani. Diğer bir deyişle,

\mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = 0 \quad \text{if} \quad i \neq j

eğriliği tanjant vektörleri tarafından tanımlanan bu taban vektörler diğerlerini sabit tutmak bir koordinat değiştirmek sureti ile elde edilen, :

2D ortogonal koordinatların gösterimi. Sabit biri dışında tüm koordinat tutarak elde edilen eğriler, taban vektörleri boyunca gösterilir. baz vektörleri eşit uzunlukta değildir unutmayın:olmasıda gerekmez, sadece dik olması gerekir.
\mathbf e_i = \frac{\partial \mathbf r}{\partial q^i}

Burada r ve bir qi noktasında baz vektörlerin elde edildiği koordinattır . Sabitlenmemiş koordinat bir parametrik eğri eğri olarak zengindir ve parametreye (değişen koordinat) göre eğrinin türevi olduğu koordinatı için taban vektörüdür, başka bir deyişle, bir A eğrisi hariç tüm bir koordinat sabitleme ile elde edilmektedir Vektörlerin eşit uzunlukta olması gerekmediğini unutmayın.Normalize baz vektörleri bir şapka ile notaya ve uzunluğu ile bölünmesi ile elde edilir:

\hat{\mathbf e}_i = \frac{\mathbf e_i}{\left|\mathbf e_i\right|}

Bir vektör alanı baz vektörleri veya normalize baz vektörleri ile ilgili bileşenleri tarafından belirtilebilir. Normalize bazında bileşenlerin niceliklerinde netlik (örneğin, bir teğet hız yerine teğet hız kez ölçek faktörü ile uğraşmak isteyebilirsiniz) için uygulamalarda en yaygın, daha karmaşık olduğu derivasyonlarda normalize tabanlarda daha az yaygın görülür . Kullanılan bu fonksiyonlar ölçek faktörü olarak bilinir(bazen Lamé katsayıları olarak adlandırılan, bu biraz daha iyi bilinen katsayılardan kaçınılmalıdır in doğrusal elastisite aynı adı taşıyan) of the coordinates are basit uzunluğu taban vektörlerin uzunluğu(aşağıdaki tabloya bakınız).

Kontravariant taban[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukardaki taban vektörler kovaryanttaban vektörler(çünkü bu birlikte "eş-değişir" vektörler)dir. Ortogonal koordinat durumunda, kontravaryant bazın vektörleri bildirdiğinden vektörleri olarak aynı doğrultuda olacak çünkü bulmak kolaydır ama karşılıklı uzunluğu (bu nedenle, birbirine göre iki set temel vektörleri karşılıklı olduğu söylenir ):

\mathbf e^i = \frac{\hat{\mathbf e}_i}{h_i} = \frac{\mathbf e_i}{h_i^2}

Bu, tanımı gereği gerçeğinin bir sonucudur,  \mathbf e_i \cdot \mathbf e^j = \delta^j_i,Kronecker delta kullanılıyor.

\hat{\mathbf e}_i = \frac{\mathbf e_i}{h_i} = h_i \mathbf e^i = \hat{\mathbf e}^i

Şimdi yaygın olarak ortogonal koordinatlardaki üç farklı bazın vektörlerini tanımlamak için kullanılan kümelerle karşı karşıya: kovaryant bazınei, kontravaryant bazın ei, ve normalize tabana êi. Bir vektör kimliği herhangi bir koordinat sisteminden bağımsız, yani bir nesnel miktar iken, bir vektörün bileşenleri vektör içeri gösterimi hangi baza bağlıdır Kafa karışıklığını önlemek için, vektörün bileşenleri x ile sırasıylaei taban gösterimi olarak xi, bileşenler sırasıyla ei taban gösterimi olarak xi:

\mathbf x = \sum_i x^i \mathbf e_i = \sum_i x_i \mathbf e^i

İndis gösteriminin pozisyonu bileşenler ile şöyle hesaplanıyor(Üst indisi ile karıştırılmamalıdırüs). Burada toplam sembolü Σ (capital Sigma)olduğunu unutmayalım ve toplam sınırı, Tüm olarak vektörler üzerinden toplam belirten(i = 1, 2, ..., d),sıklıkla ihmaledilir.Bileşenler basitçe aşağıdaki ile ilgili:

h_i^2 x^i = x_i\,

Normalize tabana göre vektör bileşenleri için kullanılan herhangi bir ayırt edici yaygın gösterim vardır, bu yazıda vektör bileşenleri için indisler kullanmak ve bileşenleri normalize bazında nasıl hesaplanır buna dikkat edeceğiz..

Vektör cebri[değiştir | kaynağı değiştir]

Vektör ekleme ve olumsuzlama gibi herhangi bir komplikasyon ile kartezyen koordinatlarda akıllı-bileşen olacaktır. Ekstra hususlar diğer vektör işlemleri için gerekli olabilir Tüm bu işlemler için,bir vektör alanında iki vektörün (diğer bir deyişle, vektörlerin kuyrukları denk) aynı noktaya bağlı olduğunun varsayıldığı unutulmamalıdır.İki vektör, bileşenleri,uzayda farklı noktalarda hesaplanarak ilave edildiği takdirde baz vektörleri genel olarak, ortogonal koordinat değiştikleri için, farklı baz vektörleri düşünülmesi gerekir

Nokta çarpım[değiştir | kaynağı değiştir]

Kartezyen koordinatlarda nokta çarpım (Öklid uzayı ile ortonormal taban kümesi) basit bileşenlerin çarpımlarının toplamıdır.Dik koordinatlarda, x vey iki vektörün nokta çarpım vektörlerin bileşenleri normalize bazında hesaplanan familial form halini alır:

\mathbf x \cdot \mathbf y = \sum_i x_i \hat{\mathbf e}_i \cdot \sum_j y_j \hat{\mathbf e}_j = \sum_i x_i y_i

Bu noktada normalize edilmiş olarak, bir Kartezyen koordinat sistemi oluşturmak gerçeğinin bir sonucudur :ortonormal baz grubu.

Kovaryant veya kontravaryant tabanlarındaki bileşenler için

\mathbf x \cdot \mathbf y = \sum_i h_i^2 x^i y^i = \sum_i \frac{x_i y_i}{h_i^2} = \sum_i x^i y_i = \sum_i x_i y^i

Bu, kolaylıkla elde edilebilir, bileşen formu içindeki vektörler dışarı yazma temelinde taban vektörleri normalize ve nokta çarpım alarak elde edilebilir. Örneğin, 2D:


\begin{align}
\mathbf x \cdot \mathbf y & =
\left(x^1 \mathbf e_1 + x^2 \mathbf e_2\right) \cdot \left(y_1 \mathbf e^1 + y_2 \mathbf e^2\right) \\[10pt]
& = \left(x^1 h_1 \hat{ \mathbf e}_1 + x^2 h_2 \hat{ \mathbf e}_2\right) \cdot \left(y_1 \frac{\hat{ \mathbf e}^1}{h_1} + y_2 \frac{\hat{ \mathbf e}^2}{h_2}\right) = x^1 y_1 + x ^2 y_2
\end{align}

burada normalize kontravaryant ve kovaryant üsleri eşit olduğu gerçeği kullanılmıştır

Çapraz çarpım[değiştir | kaynağı değiştir]

çapraz çarpım 3D kartezyen koordinatlarda:

\mathbf x \times \mathbf y =
(x_2 y_3 - x_3 y_2) \hat{ \mathbf e}_1 + (x_3 y_1 - x_1 y_3) \hat{ \mathbf e}_2 + (x_1 y_2 - x_2 y_1) \hat{ \mathbf e}_3

Bileşenleri normalize bazında hesaplanır, yukarıdaki formül sonra ortogonal koordinatlarda geçerli kalır

Kovaryant veya kontravaryant üsleri ile dik koordinatlarda çapraz çarpımı oluşturmak için yine basitçe temel vektörleri normalize gerekir Örneğin:

\mathbf x \times \mathbf y = \sum_i x^i \mathbf e_i \times \sum_j y^j \mathbf e_j =
\sum_i x^i h_i \hat{\mathbf e}_i \times \sum_j y^j h_j \hat{\mathbf e}_j

açılımı yazılırsa,

\mathbf x \times \mathbf y =
(x^2 y^3 - x^3 y^2) \frac{h_2 h_3}{h_1} \mathbf e_1 + (x^3 y^1 - x^1 y^3) \frac{h_1 h_3}{h_2} \mathbf e_2 + (x^1 y^2 - x^2 y^1) \frac{h_1 h_2}{h_3} \mathbf e_3

Ortogonal olmayan koordinatları daha yüksek boyutlara basitleştirilmiş genellemesi çapraz çarpım için kısa ve öz gösterim ile Levi-Civita tensörü ile mümkündür bu ölçek faktörlerini bir değilse diğer billeşenler bir ve sıfır olacaktır.

Taban vektör formulleri[değiştir | kaynağı değiştir]

From dr den ve normalized taban vektörler êi, aşağıda inşa edilmiştir.[3][4]

değişken eleman Vektörler Skalerler
Doğrusal eleman koordinat eğrisinin tanjant vektörü qi:

d\boldsymbol{\ell} = h_i\hat{\mathbf{e}}_i = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}

sonsuz uzunluk

d\ell = \sqrt{d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r}}= \sqrt{h_1^2 \, dq_1^2 + h_2^2 \,  dq_2^2 + h_3^2 \, dq_3^2}

yüzey elemanı Normal koordinat yüzeyiqk = sabit:

 \begin{align}
d\mathbf{S} & = (h_iq_i\hat{\mathbf{e}}_i)\times(h_jq_j\hat{\mathbf{e}}_j) \\
& = h_ih_jq_iq_j\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_j}\right)\\
& = h_ih_jq_iq_j \hat{\mathbf{e}}_k 
\end{align}

sonsuzyüzey

 dS_k = h_ih_j \, dq^i \, dq^j

Hacim elemanı N/A sonsuz hacim

\begin{align} 
dV & = |(h_1 \, dq_1\hat{\mathbf{e}}_1)\cdot(h_2 \, dq_2\hat{\mathbf{e}}_2)\times(h_3 \, dq_3\hat{\mathbf{e}}_3)| \\
& = |\hat{\mathbf{e}}_1\cdot\hat{\mathbf{e}}_2\times\hat{\mathbf{e}}_3| h_1h_2h_3 \, dq_1 \, dq_2 \, dq_3\\
& = J \, dq_1 \, dq_2 \, dq_3 \\
& = h_1 h_2 h_3 \, dq_1 \, dq_2 \, dq_3
\end{align}

burada

J = \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_1}\cdot\left(\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_2}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_3} \right)\right| = \left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(q_1,q_2,q_3)} \right| = h_1 h_2 h_3

Jacobian determinanttır, Bu hacimdeki deformasyondan sonsuz küb dxdydzye ortogonal koordinatlar içinde sonsuz eğrilik hacminin geometrik karşılaştırma idi.

İntegral[değiştir | kaynağı değiştir]

\int_{\mathcal P} \mathbf F \cdot d\mathbf r =\int_{\mathcal P} \sum_i F_i \mathbf e^i \cdot \sum_j \mathbf e_j \, dq^j = \sum_i \int_{\mathcal P} F_i \, dq^i

Bir koordinatla başlanıp açıklanan yüzey alanı için bir sonsuz eleman qk sabittir:

dA = \prod_{i \neq k} ds_i = \prod_{i \neq k} h_i \, dq^i\,

Benzer şekilde, volum elemanı:

dV = \prod_i ds_i = \prod_i h_i \, dq^i

Burada büyük sembol Π (capital Pi) indicates bir çarpım the same way that bir büyük Σ indicates summation. Note that the product of all the scale factors is the Jacobian determinant.

Bir örnek olarak, the Bir vektör fonksiyonu Fin yüzeysel integrali üzerinde bir q1 = sabit yüzey 3D içinde \scriptstyle\mathcal S:

\int_{\mathcal S} \mathbf F \cdot d\mathbf A =
\int_{\mathcal S} \mathbf F \cdot \hat{\mathbf n} \ d A =
\int_{\mathcal S} \mathbf F \cdot \hat{\mathbf e}_1 \ d A =
\int_{\mathcal S} F^1 \frac{h_2 h_3}{h_1} \, dq^2 \, dq^3

dir Not olarak F1/h1 normal yüzeyinin F bileşenidir .

Üç boyutlu diferansiyel operatörler[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: del

Bu işlemler uygulamada yaygın olduğu için, bu bölümdeki tüm vektör bileşenleri normalize esasına göre sunulmaktadır.

bir vektör alanı'nın |Diverjans
Operator Expression
bir skaler alan Gradyan 
\nabla \phi =
\frac{\hat{ \mathbf e}_1}{h_1} \frac{\partial \phi}{\partial q^1} +
\frac{\hat{ \mathbf e}_2}{h_2} \frac{\partial \phi}{\partial q^2} +
\frac{\hat{ \mathbf e}_3}{h_3} \frac{\partial \phi}{\partial q^3}

\nabla \cdot \mathbf F =
\frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^1} \left( F_1 h_2 h_3 \right) +
\frac{\partial}{\partial q^2} \left( F_2 h_3 h_1 \right) +
\frac{\partial}{\partial q^3} \left( F_3 h_1 h_2 \right)
\right]
Bir vektör alanınınCurl 
\begin{align}
\nabla \times \mathbf F & =
\frac{\hat{ \mathbf e}_1}{h_2 h_3}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^2} \left( h_3 F_3 \right) -
\frac{\partial}{\partial q^3} \left( h_2 F_2 \right)
\right] +
\frac{\hat{ \mathbf e}_2}{h_3 h_1}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^3} \left( h_1 F_1 \right) -
\frac{\partial}{\partial q^1} \left( h_3 F_3 \right)
\right] \\[10pt]
& + \frac{\hat{ \mathbf e}_3}{h_1 h_2}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^1} \left( h_2 F_2 \right) -
\frac{\partial}{\partial q^2} \left( h_1 F_1 \right)
\right] 
=\frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\begin{vmatrix}
h_1\hat{\mathbf{e}}_1 & h_2\hat{\mathbf{e}}_2 & h_3\hat{\mathbf{e}}_3 \\
\dfrac{\partial}{\partial q^1} & \dfrac{\partial}{\partial q^2} & \dfrac{\partial}{\partial q^3} \\
h_1 F_1 & h_2 F_2 & h_3 F_3
\end{vmatrix}
\end{align}
Bir skaler alanın Laplasyeni 
\nabla^2 \phi = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^1} \left( \frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\partial \phi}{\partial q^1} \right) +
\frac{\partial}{\partial q^2} \left( \frac{h_3 h_1}{h_2} \frac{\partial \phi}{\partial q^2} \right) +
\frac{\partial}{\partial q^3} \left( \frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial \phi}{\partial q^3} \right)
\right]

Ortogonal koordinatlar tablosu[değiştir | kaynağı değiştir]

Her zamanki kartezyen koordinat yanı sıra, birkaç diğerleri aşağıda verilmiştir.[4] Aralıklı gösterim koordinatların sütunda yer kaplaması için kullanılır.

Eğrisel koordinatlar (q1, q2, q3) Kartezyenden dönüşüm(x, y, z) ölçek çarpanı
Küresel kutupsal koordinatlar

(r, \theta, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,2\pi)

\begin{align}
x&=r\sin\theta\cos\phi \\
y&=r\sin\theta\sin\phi \\
z&=r\cos\theta
\end{align} \begin{align}
h_1&=1 \\
h_2&=r \\
h_3&=r\sin\theta
\end{align}
Silindrik kutupsal koordinatlar

(r, \phi, z)\in[0,\infty)\times[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)

\begin{align}
x&=r\cos\phi \\
y&=r\sin\phi \\
z&=z
\end{align} \begin{align}
h_1&=h_3=1 \\
h_2&=r
\end{align}
Parabolik silindrik koordinatlar

(u, v, z)\in(-\infty,\infty)\times[0,\infty)\times(-\infty,\infty)

\begin{align}
x&=\frac{1}{2}(u^2-v^2)\\
y&=uv\\
z&=z
\end{align} \begin{align}
h_1&=h_2=\sqrt{u^2+v^2} \\
h_3&=1
\end{align}
Paraboloidal koordinatlar

(u, v, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\infty)\times[0,2\pi)

\begin{align}
x&=uv\cos\phi\\
y&=uv\sin\phi\\
z&=\frac{1}{2}(u^2-v^2)
\end{align} \begin{align}
h_1&=h_2=\sqrt{u^2+v^2} \\
h_3&=uv
\end{align}
Eliptik silindrik koordinatlar

(u, v, z)\in[0,\infty)\times[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)

\begin{align}
x&=a\cosh u \cos v\\
y&=a\sinh u \sin v\\
z&=z
\end{align} \begin{align}
h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2u+\sin^2v} \\
h_3&=1
\end{align}
Yayvan küresel koordinatlar

(\xi, \eta, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,2\pi)

\begin{align}
x&=a\sinh\xi\sin\eta\cos\phi\\
y&=a\sinh\xi\sin\eta\sin\phi\\
z&=a\cosh\xi\cos\eta
\end{align} \begin{align}
h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta} \\
h_3&=a\sinh\xi\sin\eta
\end{align}
Yatık küresel koordinatlar

(\xi, \eta, \phi)\in[0,\infty)\times\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\times[0,2\pi)

\begin{align}
x&=a\cosh\xi\cos\eta\cos\phi\\
y&=a\cosh\xi\cos\eta\sin\phi\\
z&=a\sinh\xi\sin\eta
\end{align} \begin{align}
h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta} \\
h_3&=a\cosh\xi\cos\eta
\end{align}
Elipsoidal koordinatlar

\begin{align}
& (\lambda, \mu, \nu)\\
& \lambda < c^2 < b^2 < a^2,\\
& c^2 < \mu < b^2 < a^2,\\
& c^2 < b^2 < \nu < a^2,
\end{align}

\frac{x^2}{a^2 - q_i} + \frac{y^2}{b^2 - q_i} + \frac{z^2}{c^2 - q_i} = 1

where (q_1,q_2,q_3)=(\lambda,\mu,\nu)

h_i=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(q_j-q_i)(q_k-q_i)}{(a^2-q_i)(b^2-q_i)(c^2-q_i)}}
Bipolar koordinatlar

(u,v,z)\in[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)\times(-\infty,\infty)

\begin{align}
x&=\frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u}\\
y&=\frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u}\\
z&=z
\end{align} \begin{align}
h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\
h_3&=1
\end{align}
Toroidal koordinatlar

(u,v,\phi)\in(-\pi,\pi]\times[0,\infty)\times[0,2\pi)

\begin{align}
x &= \frac{a\sinh v \cos\phi}{\cosh v - \cos u}\\
y &= \frac{a\sinh v \sin\phi}{\cosh v - \cos u} \\
z &= \frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u}
\end{align} \begin{align}
h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\
h_3&=\frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u}
\end{align}
Konikal koordinatlar

\begin{align}
& (\lambda,\mu,\nu)\\
& \nu^2 < b^2 < \mu^2 < a^2 \\
& \lambda \in [0,\infty)
\end{align}

\begin{align}
x &= \frac{\lambda\mu\nu}{ab}\\
y &= \frac{\lambda}{a}\sqrt{\frac{(\mu^2-a^2)(\nu^2-a^2)}{a^2-b^2}} \\
z &= \frac{\lambda}{b}\sqrt{\frac{(\mu^2-b^2)(\nu^2-b^2)}{a^2-b^2}}
\end{align} \begin{align}
h_1&=1\\
h_2^2&=\frac{\lambda^2(\mu^2-\nu^2)}{(\mu^2-a^2)(b^2-\mu^2)}\\
h_3^2&=\frac{\lambda^2(\mu^2-\nu^2)}{(\nu^2-a^2)(\nu^2-b^2)}
\end{align}

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Şablon:Orthogonal coordinate systems

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Eric W. Weisstein. "Orthogonal Coordinate System". MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalCoordinateSystem.html. Erişim tarihi: 10 July 2008. 
  2. ^ Morse and Feshbach 1953, Volume 1, pp. 494-523, 655-666.
  3. ^ Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
  4. ^ a b Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Korn GA ve Korn TM. (1961), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, ss. 164–182 
  • Morse & Feshbach (1953), Methods of Theoretical Physics, Volume 1, McGraw-Hill 
  • Margenau H. ve Murphy GM. (1956), The Mathematics of Physics and Chemistry, 2. basım, Van Nostrand,, ss. 172–192 
  • Leonid P. Lebedev ve Michael J. Cloud (2003), Tensor Analysis, ss. 81–88