Lie cebiri

Vikipedi, özgür ansiklopedi
(Lie işlemcisi sayfasından yönlendirildi)
Atla: kullan, ara

Matematikte, Lie cebiri (/ li ː /, değil / laɪ /) içinde sonsuz dönüşümler kavramını incelemek için tanıtılan cebirsel yapılardır. Lie cebiri terimi" (Sophus Lie'den sonra) 1930'larda Hermann Weyl tarafından tanıtıldı. Eski metinlerde, adı "sonsuz grubu" adı ile kullanılır. Lie Cebri, matematikte ve fizikte geniş bir kullanım alanı bulur. Bir cismin üzerine bu dönüşüm ile tanımlanan yöney (vektör) uzayı Lie cebri olarak adlandırılır.Ve yine aslında Lie cebri Doğrusal cebir(yani lineer cebir)dir İlgili matematiksel kavramlar Lie grupları ve türevlenebilir manifoldlar içerir.

Tanımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir vektör uzayı \,\mathfrak{g} 'nin bazı F alanı üzerindeki birlikte ikili işlem'i bir Lie cebiridir [\cdot,\cdot]: \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g} Lie braketi olarak adlandırılır ve aşağıdaki şu aksiyomları sağlar:

F içindeki bütün a, b ve bütün skalerler için ve \mathfrak{g} içindeki x, y, z elemanları için.

 [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad  [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]


  • Alterne \,\mathfrak{g} üstünde \mathfrak{g} içindeki bütün x lar için:
 [x,x]=0\
 [x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] = 0 \quad

olarak verilir.

çiftdoğrusallık ve alternatif özelliklerin karşıt değişmelilik özelliğini işaret ettiği unutulmamalıdır  [x,y]=-[y,x]\, bütün x, y elemanları için \mathfrak{g}, karşıtdeğişmelilik alanını sadece özellik olarak ifade ederken 2. karakteristik değildir.[1]

Bu \mathfrak{g} gibi bir küçük harf fraktürü ile Lie cebirini ifade etmek gelenektir.Eğer bir Lie cebri bir Lie grubu ile ilişkili ise Lie cebiri yazımı bu Lie grubu ile aynıdır. örneğin,Lie cebri SU(n)

\mathfrak{su}(n) olarak yazılabilir.

Üreteçler ve boyut[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğerki \mathfrak{g} dahilindeki en küçük alt cebiri Lie cebirinin kendisi ise,Lie cebrinin üreteçlerinin bir \mathfrak{g} Lie cebrinin ögelerinin koleksiyonu olduğu söyleniyor,bir Lie cebrinin boyutu ise basitçe F üzerinde bir vektör uzayıdır . En az bir üretecin boyutunun her zaman daha az ya da eşit bir boyut olduğuna dikkat edin.

Homomorfizmalar, alt cebirler ve idealler[değiştir | kaynağı değiştir]

Lie braketi genel olarak ilişkisel operasyon değil, yani bunun [[x,y],z] nin [x,[y,z]]'e eşit olması gerekmez. Bununla birlikte,terminolojinin çok ilişkisel teorisi geliştirilmiştir kihalkalar veya ilişkisel cebirlerde yaygın olarak Lie cebri uygulanır. Bir alt uzayı \mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g} bir Lie alt cebiri Lie braketi altında kapalıdır denir. Eğer bir alt uzay I\subseteq\mathfrak{g} bu daha güçlü bir koşula uygun ise

[\mathfrak{g},I]\subseteq I,

I Lie cebri \mathfrak{g}[2]'nde ideal olarak adlandırılır.Komütatörün aynı şekilde sıfır olmadığı bir Lie cebiri ve hiçbir idealleri yoksa yalın denir.Aralarında bir homomorfizma olan iki Lie cebiri için (aynı alan tabanı üzerinden) Komütatörler ile uyumlu bir doğrusal harita:

 f: \mathfrak{g}\to\mathfrak{g'}, \quad f([x,y])=[f(x),f(y)],
\mathfrak{g} bütün x ve y elementleri içindir.İlişkisel halkaların,ideallerin teorisi içinde olarak,homomorfizmaların(eşyapıların) tam da özüdür, verilen bir Lie cebri \mathfrak{g} ve içindeki I ideali üzerinde , bir yapı faktör cebridir \mathfrak{g}/I, ve Lie cebri için ilk izomorfizm teoremidir.

Diyelimki S ,\mathfrak{g} in altkümesi olsun. x elemanlarının kümesi böylece bütün [x, s] = 0 için S içindeki bütün sler bir alt cebir formudur veSin merkezleyeni olarak adlandırılır . \mathfrak{g} merkezleyeni \mathfrak{g}'in kendisi merkez olarak adlandırılır. Benzer merkezleyenler, eğer S bir alt uzay ise,[3] o zaman x kümesi böylece [x, s] S içindeki bütün s in S formundaki bir alt cebir S in normalizeri olarak adlandırılır.

Direk toplam[değiştir | kaynağı değiştir]

iki Lie cebri verilsin \mathfrak{g} ve \mathfrak{g'}, buradadirek toplam Lie vektör uzayı Lie cebri oluşturur.

\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'}, \mathfrak{}(x,x'), \,x\in\mathfrak{g}, x'\in\mathfrak{g'},çifti ile birlikte operasyon
 [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']), \quad x,y\in\mathfrak{g},\, x',y'\in\mathfrak{g'}.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Vektör uzayları[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Herhangi bir vektör uzayıV ile donatılan sıfır Lie braket'in eşdeğeri bir Lie cebri haline gelir.Buna abeliyen tür Lie cebiri denir, cf. aşağıda. herhangi tek-boyutlu Lie cebri üzerinde bir alan abeliyendir, böylece Lie braket'inin antisimetrisidir.
  • Bütün gerçel vektör uzayları n × n çarpık-hermisyen matrisler komütatör altında kapalıdır.\mathfrak{u}(n) formu bir gerçel Lie cebri ifade eder  U(n) üniter grup'un Lie cebridir

Altuzaylar[değiştir | kaynağı değiştir]

Gerçel matris grubu[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Herhangi Lie grubu G gerçel Lie cebri \mathfrak{g}=\mbox{Lie}(G) ile bir ilişki tanımlar.Genel olarak tanımı biraz tekniktir,ama bu gerçel matris grup'larının durumu içinde,üstel haritalama yoluyla formüle edilebilir, veya bu üstel matristir. Lie cebri \mathfrak{g} bu matrislerden oluşmaktadır,∀ t gerçel sayıları \exp(tX)\in G\, için böyle X matrislerinin oluşturduğu Lie cebridir
\mathfrak{g}'nin Lie braketi matrislerin komütatörü tarafından verilir. Somut bir örnek olarak,özel Lie grupları SL(n,R)oluşturmaktadır, bütün n × n matrislerin oluşumu ile gerçel girişler ve determinant 1. Bu bir Lie grubu matristir, ve bu bütün n × n matrislerinin Lie cebridir gerçek giriş ile ve iz 0'dır.
 L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f).\,
Bu Lie cebri M 'in diffeomorfizm'inin yalancı grup'u ile ilişkilidir.

üç boyutlu[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Heisenberg cebri H3(R) bir üç-boyutlu Lie cebri x, y ve z elemanları tarafından Lie braketleri ile üretilir
[x,y]=z,\quad [x,z]=0, \quad [y,z]=0 .

Bu açıkça sergilenmektedir 3×3 kesinlikle üst üçgen matrislerin uzayı olarak, Matris komütatör tarafından verilen Lie braketi ile:


x = \left( \begin{array}{ccc}
0&1&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
y = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
z = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right)~.\quad
[L_x, L_y] = i \hbar L_z
[L_y, L_z] = i \hbar L_x
[L_z, L_x] = i \hbar L_y

Sonsuz boyutlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Sonsuz boyutlu gerçek bir Lie cebirlerinin önemli bir sınıfı diferansiyel topolojisinde ortaya çıkar. Bir diferansiyellenebilir manifold M ile İlgili düzgün vektör alanının uzayı, bir Lie cebri oluşturur Lie braketi vektör alanının komütatörü olarak tanımlanır burada,Lie braketi ifade etmenin bir yolu Lie türevleri'nin formalizmi yoluyladır,ki LX inX yönünde fonksiyonu f yönlü türevi sağlayarak düzgün fonksiyonları üzerinde etkili bir birinci dereceden kısmi diferansiyel operatör LX(f) ile bir vektör alanı X tanımlar;Lie braketi [X,Y] iki vektör alanı aşağıdaki formül ile fonksiyonlar üzerindeki etkisi aracılığıyla tanımlanan vektör alanıdır:

 L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f).\,

Yapı teorisi ve sınıflandırma[değiştir | kaynağı değiştir]

Lie cebiri bir ölçüde sınıflandırılabilir. Özellikle, bu Lie gruplarının sınıflandırılması için bir uygulama vardır..

Değişmeli,sıfırın-gücü ve çözülebilirlik[değiştir | kaynağı değiştir]

Benzer şekilde değişmeli, sıfırın-gücü ve elde edilen alt grupları açısından tanımlanan çözülebilir gruplar, için, bir, değişmeli sıfırın-gücü ve çözülebilir Lie cebiri tanımlayabilirsiniz Bir Lie cebiri \mathfrak{g} abeliandir. Lie braketi yok olur ise,tüm x ve y için \mathfrak{g} içindeki yani [x,y] = 0,Değişmeli Lie cebiri değişmeli karşılık gelir (veya değişmeli) Bu vektör uzayları gibi bağlı Lie grupları K^n veya tori T^n, ve formun tümü vardır \mathfrak{k}^n, bir anlamı n-önemsiz bir Lie braketi boyutlu vektör uzayıdır Lie Cebirlerin daha genel bir sınıfı verilen tüm verilen uzunluğun komütatörlerinin kaybolması ile tanımlanır. Bir Lie cebiri.\mathfrak{g} sıfırın-gücü Lie cebiridir,eğer Düşük Merkez serisi ise

 \mathfrak{g} > [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] > [[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] > [[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],\mathfrak{g}],\mathfrak{g}] > \cdots

eninde sonunda sıfır olur. Engel teoremi tarafından,Bir Lie cebri ancak ve ancak tüm u için ise üstel-sıfırdır. \mathfrak{g} içinde eşlenik endomorfizmadır.

\operatorname{ad}(u):\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}, \quad \operatorname{ad}(u)v=[u,v]

nilpotenttir.

Daha genel olarak hala,bir Lie cebrinin \mathfrak{g} olduğu söylenir çözülebilir elde serisi: eğer

 \mathfrak{g} > [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] > [[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]] > [[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]],[[\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]]]  > \cdots

ise eninde sonunda sıfır olur.

Her sonlu boyutlu Lie cebri benzersiz bir maksimal çözülebilir idealdir,kök olarak adlandırılır. Lie yazışmaları altında,sıfırın-gücüne (sırasıyla çözülebilir) bağlı Lie grupları için(sırasıyla,çözülebilir) sıfırın-gücüne karşılık Lie cebiri gelmektedir

Basit ve yarıbasit[değiştir | kaynağı değiştir]

Kendisinin önemsiz olmayan idealleri var ve değişmeli değilse bir Lie cebiri "basit"tir Onun radikali sıfır ise bir Lie cebiri \mathfrak{g} yarıyalın denir. Herhangi bir sıfır olmayan değişmeli ideallerini içermiyorsa eşdeğeri \mathfrak{g} yarıyalın olur. Özellikle, basit bir Lie cebiri yarıyalındır. Tersine, herhangi yarıyalın Lie cebiri kanonik basit Lie cebirlerinin minimal ideallerin direkt toplamı olduğunu ispat edilebilir.Lie cebiri için yarıyalınlık kavramı temsillerinin tam indirgenemezliği ile yakından ilgilidir.F alanının altyapısı karakteristik sıfır olduğunda,herhangi bir yarıyalın Lie cebir sonlu-boyutlu gösterimleri (indirgenemez temsilleri, yani doğrudan toplam.) yarıyalın olur.Ek temsili semisimple ise genel olarak, bir Lie cebiri indirgeyici denir.Böylece, bir yarıyalın Lie cebiri indirgeyici olur.

Cartan ölçütü[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir Lie cebiri Cartan's ölçütü koşullarını vermesi için sıfırın-gücü, çözünebilirlik, veya yarı yalın olmalıdır. Killing formu, nun gösterim tabanı simetrik çiftdoğrusal form olarak \mathfrak{g} şu formulle tanımlanır

K(u,v)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}(u)\operatorname{ad}(v)),

burada tr bir doğrusal operatörün izi ifadesidir. Bir Lie cebri \mathfrak{g} ancak va ancak Killing formu dejenere olmayan ise yarı yalındır. Bir Lie cebri \mathfrak{g} ancak ve ancak K(\mathfrak{g},[\mathfrak{g},\mathfrak{g}])=0. ise çözünebilirdir

Sınıflandırma[değiştir | kaynağı değiştir]

The Levi bozunumu bir keyfi Lie cebri olarak bir çözünebilir kök ve bir yarıyalın Lie cebirin yarıdoğrusal toplam anlatırken kullanılır, Neredeyse kurallı bir şekilde. Ayrıca, bir cebirsel kapalı bir alan üzerinde yarıbasit Lie cebiri tamamen kendi kök Sistemi lar ile sınıflandırılmıştır. Ancak, çözülebilir Lie cebiri sınıflandırma bir 'vahşi' bir sorundur, ve [kaynak belirtilmeli] genel olarak başarılı olmaz.

Lie gruplarıyla ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Lie cebri sıklıkla kendi başına bir çalışma olsa da tarihsel olarak Lie gruplarını incelemek için bir araç olarak ortaya çıkmıştır a Lie'nin temel teoremleri Lie grupları ve Lie cebri arasında bir ilişki tanımlar. özel olarak, herhangi bir Lie grubu bir kurallı belirlenen Lie cebrine yol açar (somut olarak, tanjant uzayına eş olarak); ve, tersine, herhangi Lie cebri için burada Lie grup (Lie'nin üçüncü teoremi bağlantısına karşılık gelir; bakınız Baker–Campbell–Hausdorff formülü). Bu Lie grubu belirlenemeyen eşitsizliktir; bununla beraber, herhangi iki Lie grubu bağlantısı ile aynı Lie cebri yerel izomorfiktir, ve özel olarak, aynı evrensel örtü var. örneğin, özel ortogonal grup SO(3) ve özel birimsel grup SU(2) aynı Lie cebrine yol açar, bu R3 ye çapraz-çarpım ile izomorfiktir , oysaki SU(2) SO(3)ün bir sade-bağlanmış ikikat örtüktür. Bir Lie grubu göz önüne alındığında, bir Lie cebiri eş haritasının diferansiyeli ile kimliğe tanjant uzay donatarak, ya da örneklerde belirtildiği gibi sol-değişmeyen vektör alanları dikkate alınarak,bunlar ilişkilendirilebilir. Gerçek matris grupları durumunda, Lie cebiri \mathfrak{g}. bu matrisler oluşur exp Üstel tüm reel sayılar t için "X ki exp (tX) ∈ G için". Lie gruplarına tekabül eden Lie cebirinin bazı örnekler şunlardır:

  • Lie cebiri \mathfrak{gl}_n(\mathbb{C}) grubu için \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}) karmaşık n×n matris cebir
  • Lie cebiri \mathfrak{sl}_n(\mathbb{C}) grubu için \mathrm{SL}_n(\mathbb{C}) karmaşık cebir n×n izi 0 olan matrisler olduğunu
  • Lie cebiri \mathfrak{o}(n) grubu için \mathrm{O}(n) ve \mathfrak{so}(n) için \mathrm{SO}(n) hem de gerçek bir anti-simetrik n×n matris cebir (bkz Antisimetrik matrisi:Sonsuz dönmeler
  • Lie cebiri \mathfrak{u}(n) grubu için \mathrm{U}(n) çarpık-Hermityen kompleksi n×n matrislerinin çarpık--Hermitianın cebridir

Lie cebiri "\mathfrak{su}(n) için \mathrm{SU}(n)" çarpık-Hermitsel, iz bırakmadan karmaşık n×n cebir" için ". Yukarıdaki örneklerde, Lie [X, Y] (X ve Lie cebir Y matrisler için),[X,Y] = XY - YX. olarak tanımlanır. verilen bir Ta üreteçlerin kümesi,yani, [Ta, Tb] = f abc Tc kümeden üreteçlerin doğrusal bileşimleri olarak üreteçlerin çiftinin Lie braketleri yapı sabitleri f abc ifadesidir.Lie cebrinin ögelerinin Lie braketleri yapı sabitlerini belirler, ve sonuç olarak neredeyse tamamen Lie grubun grup yapısı belirlenir. Lie grup yapısının yakın özdeş öge Baker–Campbell–Hausdorff formülü ile açıkça gösterilir,Lie cebri ögeleri içinde bir açılım X, Y ve burada Lie braketleri, tek bir üs içinde bir arada iç içe, exp(tX) exp(tY) = exp(tX+tYt2[X,Y] + O(t3) )dir.

Lie cebirine Lie gruplarından gönderme funktöriyeldir, bu Lie cebirlerinin homomorfizmine yükseltilen Lie gruplarının homomorfizmini ima eder , ve çeşitli özellikleri bu yükseltme ile uygundur: bunun bileşim ile sırabağımszlığı, bunun Lie altgrupları göndermeleri, çekirdekleri,Lie alt gruplarına Lie gruplarının bölümleri ve eşçekirdekleri , çekirdekleri,Lie cebirlerinin bölümleri ve eşçekirdekleri, sıralanır.

funktor L bu alınan bu Lie cebrine her Lie grupları ve bu diferansiyele her homomorfizm bağlı ve tamdır. Bu is bununla birlikte bir kategorilerin eşdeğeri değildir: different Lie grupları izomorfik Lie cebirleri olabilir (örneğin SO(3)ve SU(2) ), ve burada (sonsuz boyutlu) bu Lie cebirleri herhangi Lie grupları ile ilişkili değildir.[5]

Bununla birlikte, eğer Lie cebri \mathfrak{g} sonlu-boyutlu ve bu bir basit bağlantılı Lie grubuna bağlantılanabilir Lie cebiri olarak \mathfrak{g} var. Daha kesin bir ifadeyle,Lie cebiri funktor L has bir sol eşlenik funktor Γ Lie gruplarına sonlu-boyutlu (gerçek) Lie cebirinden,Lie grupları basit bağlantılarının tam altkategorileri aracılığı ile bölümleme var.[6] In other words, there is a natural isomorphism of bifunctors

 \mathrm{Hom}(\Gamma(\mathfrak{g}), H) \cong \mathrm{Hom}(\mathfrak{g},\mathrm{L}(H)).

Eklenti \mathfrak{g} \rightarrow \mathrm{L}(\Gamma(\mathfrak{g})) ( \Gamma(\mathfrak{g}) üzerinde özdeşine karşılık) bir isomorfizmdir ve diğer eklenti \Gamma(\mathrm{L}(H)) \rightarrow H Şablon:Mvar'ya Şablon:Mvar'nın özdeş bileşenlerinin evrensel örtük gruplarından izdüşüm homomorfizmidir. Bu hemen aşağıda bu eğer Şablon:Mvar, ise Lie cebri funktorü bir örten Lie group homomorfizmleri G→H ve Lie cebiri homomorfizmleri L(G)→L(H) ne karşılık basit bağlantı kurar.

Evrensel örtük grup yukarıda üstel gönderme altında Lie cebirinin görüntüsü olarak inşa edilebilir. daha genel ,elimizde bu Lie cebirine özdeşin bir yakın komşuluğuna homomorfik vardır. fakat küresel olarak şu durumlarda, eğer Lie grubu sıkı ve üstel birebir olamayacak,ve eğer Lie grubu bağlantılı değil, basit bağlantılı veya sıkı, üstel gönderme örten olması gerekmez.

Eğer Lie cebiri sonsuz-boyutlu,ise sorun daha hassastır. Birçok durumda, üstel gönderme hatta yerel bir homoorfizm değildir (örneğin Diff(S1 içinde),bu özdeşe keyfi yakınlıkta bulunabilen tek difeomorfizm üstelin görüntüsü içinde değildir). Ayrıca, bazı sonsuz-boyutlu Lie cebirleri herhangi grupun Lie cebiri değildir.

Lie cebiri ve Lie grupları arasında iletişim birkaç yol içinde kullanılıyor,Lie gruplarının sınıflandırılması içinde yer alır ve Lie gruplarının gösterim teorisinin maddesiyle ilişkilidir.Bağlantı karşılığının bir gösterimine eşsiz yükseltilen bir Lie cebirinin her gösterimi, basit bağlantılı Lie grupları, ve Lie cebiri gruplarının herhangi bir Lie grubunun tersine her gösterimini uyarır ; gösterim bire bir karşılığı içindedir.Bunun için, Lie grupların gösteriminin sorgusu çerçevesinde bir Lie cebirinin gösterimi biliniyor .

sınıflandırmak için,verilen bir Lie cebiri ile herhangi bağlantılı Lie grupları gösterilebilen evrensel örtük mod bir ayrık merkez altgruba izomorfiktir.merkezin ayrık altgrubu sayımının basit bir maddesi alınarak Lie grupları böylece sınıflandırılıyor, Lie cebirinin ilk kez sınıflandırması biliniyor(Cartan ve diğerleri tarafından yarıbasit durumu içinde çözüldü).

Kategori-teoretik tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

kategori teori dili kullanılıyor, bir Lie cebri Veck içinde A objesi olarak tanımlanabilir, k üzerinde bir alan vektor uzayının kategorisi 2 ye karakteristik değil,bir morfizm ile birlikte [.,.]: AAA, burada ⊗ Veck monoidal ürünü referanstır,böylece;

  • [\cdot, \cdot] \circ (\mathrm{id} + \tau_{A,A}) = 0
  • [\cdot, \cdot] \circ ([\cdot, \cdot] \otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} + \sigma + \sigma^2) = 0

burada τ (ab) := ba ve σ siklik permutasyon örgüsüdür (id ⊗ τA,A) ° (τA,A ⊗ id). In diyagramatik form içinde:

Liealgebra.png

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Humpfreys p. 1
  2. ^ Due to the anticommutativity of the commutator, the notions of a left and right ideal in a Lie algebra coincide.
  3. ^ Jacobson 1962, pg. 28
  4. ^ Humphreys p.2
  5. ^ Beltita 2005, pg. 75
  6. ^ Adjoint property is discussed in more general context in Hofman & Morris (2007) (e.g., page 130) but is a straightforward consequence of, e.g., Bourbaki (1989) Theorem 1 of page 305 and Theorem 3 of page 310.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Boza, Luis; Fedriani, Eugenio M. & Núñez, Juan. A new method for classifying complex filiform Lie algebras, Applied Mathematics and Computation, 121 (2-3): 169–175, 2001
  • Bourbaki, Nicolas. "Lie Groups and Lie Algebras - Chapters 1-3", Springer, 1989, ISBN 3-540-64242-0
  • Erdmann, Karin & Wildon, Mark. Introduction to Lie Algebras, 1st edition, Springer, 2006. ISBN 1-84628-040-0
  • Hall, Brian C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9
  • Hofman, Karl & Morris, Sidney. "The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups", European Mathematical Society, 2007, ISBN 978-3-03719-032-6
  • Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Second printing, revised. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
  • Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
  • Kac, Victor G. et al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras, math.mit.edu
  • O'Connor, J.J. & Robertson, E.F. Biography of Sophus Lie, MacTutor History of Mathematics Archive, www-history.mcs.st-andrews.ac.uk
  • O'Connor, J.J. & Robertson, E.F. Biography of Wilhelm Killing, MacTutor History of Mathematics Archive, www-history.mcs.st-andrews.ac.uk
  • Serre, Jean-Pierre. "Lie Algebras and Lie Groups", 2nd edition, Springer, 2006. ISBN 3-540-55008-9
  • Steeb, W.-H. Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra, second edition, World Scientific, 2007, ISBN 978-981-270-809-0
  • Varadarajan, V.S. Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations, 1st edition, Springer, 2004. ISBN 0-387-90969-9