Çift merkezli çokgen

Geometride, çift merkezli (bicentric) çokgen, teğet bir çokgendir (tüm kenarları bir iç çemberle teğet olan bir çokgendir) ve aynı zamanda döngüsel yani kirişler dörtgenidir - yani, çokgenin her köşesinden geçen bir çevrel çember içine çizilmiştir. Tüm üçgenler ve tüm düzgün çokgenler çift merkezlidir. Öte yandan, kenarları eşit olmayan bir dikdörtgen çift merkezli değildir, çünkü hiçbir çember dört kenara da teğet olamaz.

Üçgenler[değiştir | kaynağı değiştir]

Her üçgen çift merkezlidir.^[1] Yarıçapları sırasıyla r ve R olan iç teğet çember ve çevrel çember içerisindeki bir üçgen için ilgili denklem aşağıdaki gibidir:

{\frac {1}{R-x}}+{\frac {1}{R+x}}={\frac {1}{r}}

burada x, çemberlerin merkezleri arasındaki mesafedir.^[2] Bu, Euler üçgen formülünün bir versiyonudur.

Çift merkezli dörtgenler[değiştir | kaynağı değiştir]

Tüm dörtgenler çift merkezli değildir (hem bir iç çember hem de bir çevrel çember içerir). $R$ ve $r$ yarıçaplı iki çember (biri diğerinin içinde) verildiğinde $R>r$ , bunlardan birince çevrelenmiş ve diğerine teğet bir dışbükey dörtgen vardır, ancak ve ancak yarıçapları aşağıdaki koşulu sağlarsa,

{\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}

burada $x$ , çemberlerin merkezleri arasındaki mesafedir.^[2]^[3] Bu koşul (ve daha yüksek dereceden çokgenler için benzer koşullar) Fuss teoremi olarak bilinir.^[4]

n > 4 olan çokgenler[değiştir | kaynağı değiştir]

Çevrel çemberin yarıçapı R, iç teğet çemberin yarıçapı r ve çevrel çemberin merkezi ile iç teğet çemberin merkezi arasındaki x mesafesi arasındaki ilişki için herhangi bir n sayıda kenarı olan çokgenler için karmaşık bir genel formül bilinmektedir.^[5] Belirli n sayısı için bunlardan bazıları aşağıdaki gibidir:

n=5:\quad r(R-x)=(R+x){\sqrt {(R-r+x)(R-r-x)}}+(R+x){\sqrt {2R(R-r-x)}},

n=6:\quad 3(R^{2}-x^{2})^{4}=4r^{2}(R^{2}+x^{2})(R^{2}-x^{2})^{2}+16r^{4}x^{2}R^{2},

n=8:\quad 16p^{4}q^{4}(p^{2}-1)(q^{2}-1)=(p^{2}+q^{2}-p^{2}q^{2})^{4},

burada $p={\tfrac {R+x}{r}}$ ve $q={\tfrac {R-x}{r}}$ 'dir.

Düzgün çokgenler[değiştir | kaynağı değiştir]

Her düzgün çokgen çift merkezlidir.^[2] Düzgün bir çokgende, iç çember ve dış çember eş merkezlidir -yani, aynı zamanda düzgün çokgenin de merkezi olan ortak bir merkezi paylaşırlar, bu nedenle iç çember merkezi ile çevrel çember merkezi arasındaki mesafe her zaman sıfırdır. İç teğet çemberin yarıçapı iç yarıçap (apotem)'tır (merkezden düzgün çokgenin sınırına en kısa mesafe).

Düzgün bir çokgen için, ortak kenar uzunluğu $a$ , iç çember yarıçapı $r$ ve çevrel çember yarıçapı $R$ arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir:

R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {r}{\cos {\frac {\pi }{n}}}}.

Pergel ve cetvel ile çizilebilen bazı düzgün çokgenler için, bu ilişkileri gösteren aşağıdaki cebirsel formüllere sahibiz:

$n\!\,$	$R\,{\text{ve}}\,a\!\,$	$r\,{\text{ve}}\,a\!\,$	$r\,{\text{ve}}\,R\!\,$
3	$R{\sqrt {3}}=a\!\,$	$2r={\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}\!\,$	$2r=R\!\,$
4	$R{\sqrt {2}}=a\!\,$	$r={\frac {a}{2}}\!\,$	$2r=R{\sqrt {2}}\!\,$
5	$R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=a\!\,$	$r\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\!\,$	$r({\sqrt {5}}-1)=R\!\,$
6	$R=a\!\,$	${\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=a\!\,$	${\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=R\!\,$
8	$R{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=a\left({\sqrt {2}}+1\right)\!\,$	$r{\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\!\,$	$2r\left({\sqrt {2}}-1\right)=R{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\!\,$
10	$({\sqrt {5}}-1)R=2a\!\,$	$2r{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}=5a\!\,$	${\frac {2r}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}={\frac {R}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\!\,$

Böylece aşağıdaki ondalık yaklaşık değerlere sahibiz:

$\ n\!\,$	${\frac {R}{a}}\!\,$	${\frac {r}{a}}\!\,$	${\frac {R}{r}}\!\,$
$\ 3$	$0,577\,$	$0,289$	$2,000\,$
$\ 4$	$0,707\,$	$0,500$	$1,414\,$
$\ 5$	$0,851\,$	$0,688$	$1,236\,$
$\ 6$	$1,000\,$	$0,866$	$1,155\,$
$\ 8$	$1,307\,$	$1,207$	$1,082\,$
$10$	$1,618\,$	$1,539$	$1,051\,$

Poncelet doğal sonucu[değiştir | kaynağı değiştir]

İki çember, belirli bir çift merkezli n-genin iç teğet ve çevrel çemberleriyse, o zaman aynı iki çember sonsuz sayıda çift merkezli n-genin iç teğet ve çevrel çemberleridir. Daha kesin olarak, iki çemberin içine her teğet doğru, dış çemberle kesiştiği noktalarda doğru üzerine köşeler yerleştirilerek, her bir tepeden başka bir teğet doğru boyunca devam ederek ve aynı şekilde ortaya çıkan çokgen zincir bir n-gene kadar kapanana kadar devam ederek iki merkezli bir n-gene uzatılabilir. Her zaman böyle olacağı gerçeği, daha genel olarak iç teğet ve çevrel konikler için geçerli olan Poncelet kapanış teoremi tarafından da ima edilmektedir.^[6]

Ayrıca, bir iç çember ve dış çember verildiğinde, değişken çokgenin her köşegeni sabit bir çembere teğettir.^[7]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

^ The Facts on File Geometry Handbook, Infobase Publishing, 2009, s. 17, ISBN 9780816073894, 23 Aralık 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 1 Aralık 2020
^ ^a ^b ^c International Mathematical Olympiad: 1976-1990, Anthem Press, 2005, ss. 170-171, ISBN 9781843312000 .
^ Subjects for mathematical essays, Macmillan and co., limited, 1915, s. 98, 23 Aralık 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 1 Aralık 2020 .
^ 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution, Courier Dover Publications, 1965, s. 192, ISBN 9780486613482, 17 Haziran 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 1 Aralık 2020 .
^ Weisstein, Eric W. "Poncelet's Porism." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html 12 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
^ Poncelet's Theorem, American Mathematical Society, 2009, ISBN 9780821886267 .
^ Johnson, Roger A. Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (1929), p. 94.

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Eric W. Weisstein, Bicentric Polygon (MathWorld)
Bicentric Polygon 20 Haziran 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Bicentric Polygon 20 Ocak 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @Geogebra

İlave okumalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Mirko Radić & Nenad I. Trinajstić, (2006), On A System Of Equations Related To Bicentric Polygons, Applied Mathematics E-Notes, 8(2008), 9-16, ISSN:1607-2510, Makale^{[ölü/kırık bağlantı]}
Radić, M. (2009), One System of Equations Concerning Bicentric Polygons. J. geom. 91, ss. 119–139 (2009). https://doi.org/10.1007/s00022-008-2029-9
Mirko Radić, (2010), An improved method for establishing Fuss' relations for bicentric polygons, Comptes Rendus Mathematique, Volume 348, Issues 7–8, ss. 415-417, ISSN 1631-073X, https://doi.org/10.1016/j.crma.2010.02.021.
Giorgadze, Gia. (2013). Remarks on Bicentric Polygons. Bulletin of the Georgian National Academy of Science. 7. 5-10.
Khimshiashvili, G., (2016), Proceedings of A. Razmadze Mathematical Institute Vol. 168 (2015), ss. 41–52, Makale

[1] The Facts on File Geometry Handbook, Infobase Publishing, 2009, s. 17, ISBN 9780816073894, 23 Aralık 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 1 Aralık 2020

[imo-2] International Mathematical Olympiad: 1976-1990, Anthem Press, 2005, ss. 170-171, ISBN 9781843312000 .

[3] Subjects for mathematical essays, Macmillan and co., limited, 1915, s. 98, 23 Aralık 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 1 Aralık 2020 .

[4] 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution, Courier Dover Publications, 1965, s. 192, ISBN 9780486613482, 17 Haziran 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 1 Aralık 2020 .

[5] Weisstein, Eric W. "Poncelet's Porism." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html 12 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

[6] Poncelet's Theorem, American Mathematical Society, 2009, ISBN 9780821886267 .

[7] Johnson, Roger A. Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (1929), p. 94.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]