Sıra kuramı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
(Sıralamalar sayfasından yönlendirildi)
Şuraya atla: kullan, ara

Sıra kuramı, ikili bağıntıları kullanma sırasının sezgisel kavramını inceleyen bir matematik dalıdır. "Bu, şundan daha küçüktür" veya "bu, şundan daha öncedir" gibi durumları inceler.

Örneksel yaklaşım[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir küme ve o küme üzerinde aşağıda tarif edilecek olan ikili bir bağıntıyı içeren aksiyomatik sistemlere denir. Bilinen sıralama bağıntısının soyutlanmasıyla elde edilirler. Kümemize X, bağıntımıza R adını verecek olursak, aşağıdaki aksiyomların sağlandığını varsayarız.

  • X kümesinin her a elemanı için R(a,a) bağıntısı sağlanmalıdır. ( şeklinde düşünülebilir, yansıma özelliği olarak bilinir.)
  • X kümesinin herhangi iki a ve b elemanı için R(a,b) ve R(b,a) bağıntıları sağlanıyorsa, olmalıdır. (hem hem de sağlanıyorsa a=b dir diye düşünülebilir, antisimetrik olma özelliği olarak bilinir.)
  • X kümesinin herhangi üç a, b, ve c elemanı için hem R(a,b) hem de R(b,c) bağıntıları sağlanıyorsa, o zaman R(a,c) bağıntısı da sağlanmalıdır. (hem hem de ise de olmalıdır diye de düşünülebilir, geçişkenlik özelliği olarak bilinir)

Sıralamalara örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

(Doğal sayılar, bağıntısı) -- (Rasyonel sayılar, bağıntısı) -- (Reel sayılar, bağıntısı) -- (Kümeler Uzayı*, bağıntısı)


Teknik olarak bir küme değildir. Ancak bu sorun yaratmaz.

Sıralama çeşitleri[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Eğer elimizdeki sıralama nesnesi, yukardaki aksiyomlara ek başka varsayımlar sağlamıyorsa elimizdeki sıralamaya "kısmi sıralama" denir. Yani her sıralama bir kısmi sıralamadır.
  • Eğer yukardaki aksiyomlara ek olarak X ten seçeceğimiz herhangi iki elemanı karşılaştırabiliyorsak (yani R(a,b) ve R(b,a) bağıntılarından biri mutlaka doğru olmak zorundaysa) o zaman elimizdeki sıralamaya doğrusal sıralama denir. Yukardaki örneklerden (Doğal Sayılar, ), (Rasyonel Sayılar, ) ve (Reel Sayılar, ) aynı zamanda doğrusal sıralamalara da örneklerken, (Kümeler Uzayı, bağıntısı), doğrusal olmayan kısmi bir sıralamadır. Nedeni herhangi iki kümeyi bağıntısına göre karşılaştırmanın mümkün olmamasıdır. Yani biri diğerini içermeyen iki kümenin varlığıdır.
  • Son olarak, doğrusal sıralama şartlarını sağlayan (X, R) sıralamalarından, "X in her alt kümesinin bir en küçük eleman içermesi şartı"nı sağlayanlara iyi-sıralama denir. Yukarıdaki örneklerden reel sayılar ve doğal sayılar iyi-sıralama iken, rasyonel sayılar iyi sıralama değildir. Örnek olarak "karekök ikiden büyük rasyonel sayılar" kümesinin en küçük bir elemanı olmaması verilebilir.

Sıralamaların önemi[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Her sıralama nesnesi bir topolojik uzay yapısına sahiptir. Bu yapının açık kümelerinin temeli "öyle x elemanları ki " şeklinde ifade edilebilen kümelerden oluşur, a veya b az önceki formülde gözükmüyor da olabilirler.
  • Zorn'un Lemması, sayesinde kısmi sıralamalar matematiğin pek çok alanında uygulama bulmuşlardır. Mesela halka'larda maksimal ideallerin varlığı Zorn'un Lemması ve ideallarin bağıntısına göre kısmi bir sıralama oluşturduğu gerçeği kullanılarak ispatlanır.
  • Reel sayılar kümesinin rasyonel sayılar kümesini kullanılarak oluşturulmasının bir temeli de Alman matematikçi Richard Dedekind tarafından verilmiştir. Dedekind'in yöntemi rasyonel sayılar kümesinin bir iyi-sıralama haline getirilmesine dayanır. Diğer yöntem ise "bütünleme"dir.
  • İyi sıralamar matematikte nispeten nadir gözlenen, çok güçlü özellikler içeren objelerdir. Bu ilke ve kümeler teorisi arasındaki ilişki hakkında bilgi için ayrica İyi-sıralılık ilkesi Makalesi'ne bakabilirsiniz.