Kullanıcı:Hknrgl/Complete metric space

Matematiksel analizde, M metrik uzay olmak üzere, elemanları M 'de olan her Cauchy dizisinin yine M'de bir limiti varsa ,veya alternatif olarak, M'deki her Cauchy dizisi yine M'de yakınsaksa M metrik uzayına tam (veya Cauchy uzayı) denir.

Sezgisel olarak, bir uzay içinde veya sınırlarında eksik bir nokta yoksa tamdır. Örneğin, rasyonel sayılar kümesi tam değildir, çünkü her ne kadar ${\sqrt {2}}$ 'ye yakınsayan rasyonel sayılardan oluşan bir Cauchy dizisi oluşturulabilse de bu nokta uzayda eksiktir(aşağıdaki diğer örneklere bakınız). Aşağıda açıklandığı gibi verilen bir uzayı tamlaştırılmak için "tüm delikleri doldurmak" her zaman mümkündür.

Örnekler

Rasyonel sayılar uzayı $\mathbb {Q}$, farkın mutlak değeri olarak tanımlanan standart metrik ile tam değildir. Örneğin, ${\textstyle x_{1}=1}$ ve ${\textstyle x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}}$ şeklinde verilen dizi gözönüne alınsın. Bu rasyonel sayılardan oluşan bir Cauchy dizisidir, ancak herhangi bir rasyonel bir limite yakınsamaz: Eğer bu dizinin limiti var ve limit $x$ ise , o zaman ${\textstyle x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}}$ eşitliğinden ${\textstyle x^{2}=2}$ bulunur ki hiçbir rasyonel sayı bu özelliği taşımaz. Bununla birlikte, aynı dizi gerçek sayıların bir dizisi olarak kabul edilirse ${\sqrt {2}}$ irrasyonel sayısına yakınsar.

Yine mutlak değer metriğiyle $(0,1)$ açık aralığı da tam değildir.$x_{n}={\frac {1}{n}}$ ile tanımlanan dizi Cauchy dizisidir, fakat verilen uzayda bir limiti yoktur. Ancak $[0,1]$ kapalı aralığı tamdır; örneğin, verilen dizinin bu aralıkta bir limiti vardır ve bu limit sıfırdır.

Reel sayılar uzayı $\mathbb {R}$ ve karmaşık sayılar uzayı $\mathbb {C}$(mutlak değer yardımıyla oluşturulan metrikle) tamdır ve bu nedenle Öklit uzaklık metriği ile verilen Öklid uzayı $\mathbb {R} ^{n}$ de tamdır. Buna karşılık, sonsuz boyutlu normlu vektör uzayları tam olabilir de olmayabilir de; tam olanları Banach uzaylarıdır . Kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli reel değerli fonksiyonların uzayı $C[a,b]$ bir Banach uzayıdır ve dolayısıyla supremum normuna göre tam bir metrik uzaydır. Ancak supremum normu $(a,b)$ aralığındaki sürekli fonksiyonlar uzayı $C(a,b)$ üzerinde bir norm oluşturmaz, çünkü sınırsız fonksiyonlar içerir. Bunun yerine, kompakt yakınsamanın topolojisi ile, $C(a,b)$ uzayına bir Fréchet uzayı yapısı verilebilir: bu uzay, üzerindeki topoloji öteleme dönüşümü altında değişmeyen tam bir metrik ile oluşturulabilen lokal konveks bir topolojik vektör uzayıdır.

P -sel sayıların uzayı $\mathbb {Q} _{p}$ , herhangi bir $p$ asal sayısı için tamdır. Bu uzay, $p$-sel metriğiyle $\mathbb {Q}$'yu, tıpkı $\mathbb {R}$'nin $\mathbb {Q}$'yu normal metrikle tamamladığı gibi tamamlar.

$S$ keyfi bir küme olmak üzere, $S$ kümesi üzerindeki tüm dizilerinkümesi $S^{N}$ tam metrik uzaydır. Gerçekten $(x_{n})$ ve $(y_{n})$ dizileri arasındaki uzaklığı;  $x_{N}$ ile  $y_{N}$ yi farklı yapan en küçük indis $N$ olmak üzere 1/N,   böyle bir indis yoksa $0$ olarak tanımlanırsa görülebilir. Bu uzay, $S$ ayrık uzayının sayılabilir sayıda kopyasının çarpımı ile homeomorftur . 

Bazı teoremler

[[Kategori:Metrik geometri]]