Hipotez testi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Hipotez testi diğer bir deyişle tahmin sınamaları olarak adlandırabiliriz. Hipotez testinin ne olduğunu tam olarak anlayabilmemiz için gerekli olan birkaç tanımı bilmemizdir. Bunlardan ilki hipotez kelimesinin ne anlama geldiği bizim için ne ifade ettiğidir.

Hipotez kısaca doğruluğu bir araştırma ya da deney ile test edilmeye çalışılan öngörülere, denencelere denir.

Hipotez testleri bir örneklem ortalaması ile bu örneklemin çekilmiş olduğunu düşündüğümüz ortalaması etrafındaki farkın anlamlı olup olmadığını (yani önemli bir fark olup olmadığını) araştırmamızı sağlayan testlerdir.

Eğer iki anakütlenin ortalamaları arasındaki fark ile ilgileniyorsak; bunlardan çekilen örneklemlerin ortalamalar arasındaki farka ait hipotez testleri yaparak, farkın doğru olup olmadığını anlayabiliriz.

Hipotezler[değiştir | kaynağı değiştir]

1) Sıfır hipotezi (Ho)

Ana madde: Sıfır Hipotezi

Null, Yokluk Hipotezi, İstatistiksel Hipotez => :Örneklemden elde edilen ortalama ile anakütleye ait ortalamanın farkı "sıfır","0" sayılabilir. Yani anakütle üzerinde yapılan deformasyonların anakütle aritmetik ortalamasını değiştirmeyeceği görüşünü savunur. Bu görüş savunulurken istatistiksel anlamlılık denilen (%99 %97 veya %95) yanılgı payı göz önüne alınır. Zaten yapılan işlemlerden sonra farkın çok küçük de olsa sıfırdan farklı olduğu görülür

2) Karşıt Hipotez (H1) main: Karşıt hipotezi

Alternatif, Araştırma Hipotezi.:Yani yapılan deformasyonun anakütle aritmetik ortalamasını değiştireceği öngürüsüdür.

Karşılaşabileceğimiz durumlar[değiştir | kaynağı değiştir]

1) Ho doğrudur : Hipotez testi sonunda biz doğru olduğunu buluyoruz. Yani "KABUL" ediyoruz. (1-α) güven katsayısı ile bu çıkardığımız sonuç doğrudur.)

2) Ho doğru olmasına karşın hipotez testi sonunda biz onun yanlış olduğunu zannedip H_o'ı reddediyoruz.(I. tür hata veya α hata)

3) H0 hatalı veya yanlıştır : Biz onu doğru zannedip kabul ettik. HATA!(II. tür hata veya β hata)

4) H0 hatalı veya yanlıştır : Biz onun yanlış olduğunu bulduk; H_0reddettik. (1-β veya testin gücü ile bu çıkardığımız sonuç doğrudur .

Not : "Güç" ,bir hipotez testinin isabetliliği için önemli bir kriterdir ve her zaman maksimize edilmek istenir. Güç'ün 1 çıkması o testin ideal olduğunu gösterir ama pratikte Güç = 1 olan testlere çok nadir rastlanır.

I.Tür-α ve II.Tur-β tipi hatalar bilinçli olarak yapılan hatalardır.Burada bu hataların bilinçli yapılmasının sebebi olaylara bir de tersinden bakma gereksiniminden dolayıdır

Özetle:

H_0 gerçek H_0 hatalı
H_0 kabulu Doğru karar çıkarım II.Tür hata (β)
H_0 reddi I.Tür hata (α) Doğru karar çıkarım

Olasılıklar[değiştir | kaynağı değiştir]

α : Hatalı karar, Ho doğru, biz onu yanlış diye reddediyoruz. (I. Tip Hata)

β : Hatalı karar, Ho yanlış, biz onu doğru diye kabul ediyoruz.

(1-α) : Doğru bir Ho hipotezini kabul etmemiz olasılığı olup buna testin güvenilirlik düzeyi denir.

(1-β) : Yanlış bir H0 hipotezini red etmemiz olasılığı olup buna testin gücü denir.


Soru : Hipotez testi yaparken, α ve β hatalarını en aza indirmek için ne yapılmalı? Cevap : Örneklemdeki birim sayısını olabildiğince fazlalaştırmak.

Soru : α hatası yapma olasılığım azalırsa β hatası yapma olasılığı da azalır mı? Cevap : Aksine artar! Bu iki hatadan biri azalırken, diğeri artar.

Önemli : Aynı testte hem α hem de β hatası beraber yapılamaz.

Önemli : Hatasız bir test yapmak mümkün değildir. %100 doğru karar verilemez. Normal dağılım asimtotik olup x-ekseni ile kesişmediği için çok küçük de olsa bir risk söz konusudur.


Hipotez testleri için temel varsayımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Örneğe alınan birimler birbirlerinden bağımsız olarak seçilmiş olmalıdırlar.
  • Anakütle normal dağılıma sahip olmalıdır.
  • İki anakütle söz konusu ise bunların varyansları eşit olmalıdır.

Hipotez testinin aşamaları[değiştir | kaynağı değiştir]

1) Hipotezlerin Oluşturulması nasıl yapacağım?

2) Anlam düzeyinin α belirlenmesi

3) Örnekleme dağılımının belirlenmesi

4) Ret alanının ve kritik değerin belirlenmesi

5) Karşılaştırmalar, sonuç ve yorum

Tek Anakütle Ortalaması İçin Test[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada araştırma sorunu tek bir anakütle paramatresi (anakütle ortalaması) hakkındadır. Bu anakütle ortalama değeri tam olarak bilinmemekte ve belirlenen bir hipotez değerde \mu_0 (Mü sıfır diye okunur) olduğu varsayılmaktadır. Hipotez testi anakütle ortalamasına verilen değer hakkındadır. "Sıfır hipotez" değeri bu parametre için belirtilen değerde olduğudur ve yani

Ho : μ = μo

alternatif hipotez ise

Ho : μ <> μo

Bir anakütleden "basit olasılık örnekleme yöntemi" kullanarak "n" örneklem büyüklüğü olan bir örneklem ele geçirilir; istenilen değerler ölçülür ve \bar x (x bar diye okunur) değerindeki örneklem ortalaması bulunur. Hipotez testi yönteminde araştırma hedefi bu örneklemin söz konusu anakütleden çekilmiş olup olamayacağını ya da kaynagi olan anakütleden çekilmiş olabilmesinin olasılığının ne olabileceğini ortaya koymaktir.

Örnek:


Alçı dolum makinamız μo=20 kg ortalama ağırlıklı alçı dolumu yaparken arıza yapar. Tamirci getirip tamir ettiririz. Acaba yine μo=20kglık dolum yapabilecek mi?

Deneme yapıp görmek lazım!'

40 torba basit örneklem yöntemine göre seçilip bu 40 alçı torbası ağırlıkları şöyle ölçülmüştür:

X_1 = 19,8 kg, X_2 = 20,5 kg, X_3 = 21,2 kg, X_4 = 18,9 kg,

.......,

X_{40} = 20,8 kg

Örneklem ististikleri şöyle hesaplanmıştır:

n = 40 torba Örneklem ortalaması : \bar x = 21,4 kg Örneklem standard sapması: σ = 3,2 kg

\sigma_\bar x = 3,2/\sqrt40 = 0,506

\bar x \mp \sigma_\bar x --> 21,4±0,506 kg

Şimdi hipotez testi sürecine geçebiliriz:

Hipotezler[değiştir | kaynağı değiştir]

Ho : Elimizdeki örneklem anakütle ortalaması Mo = 20 kg olan bir anakütleden çekilmiş bir rassal örneklem olup, örneklem ortalaması X- değeri anakütle ortalamasına eşit olarak kabul edilebilir. Aradaki 1,4 kg lık fark ise tesadüfe bağlanabilecek, önemli olmayan, anlam taşımayan çok küçük bir farktır. Dolayısıyla X- = Mo yazabiliriz. Yani elimizdeki örneklemin ait olduğu anakütle ortalamasını M ile gösteririz.

H1 : Bu örneklem Mo=20 kg olan bir anakütleden çekilmiş bir rassal örneklem olamaz. Aradaki 1,4 kg lık fark tesadüfe bağlı değil, ayarlamanın yapılmamış olması nedeni ile gerçekleşmiştir. Bu kadarlık farkın tesadüfen ortaya çıkmış olması olasılığı çok küçüktür. Dolayısıyla dolum ayarı iyi olmadığı için istenenden daha hafif ya da daha ağır dolumlarla karşılaşmamız olasıdır. Bu örneklemin çekilmiş olduğu anakütle 20 kg olamaz. Örneklemimiz kendine ait başka bir anakütleden çekilmiş olmalıdır.

Anlam düzeyinin belirlenmesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Risk düzeyi, Yanılgı Payı, Hata payı

α nın saptanması.

Hatasız bir test yapamayacağımız için her testte bir miktar yanılma riskimiz vardır. Bunu 0,05 ; 0,01 ; 0,005 ; 0,0001;... gibi bir düzey olarak benimseyebiliriz. Yanılma payımız küçüldükçe, teste olan güven düzeyimiz yükselir. O nedenle istatistikçiler olabildiğince az yanılma ile test yapmak isterler. Yine de α =0,05 ve &alfa;=0,01 düzeyleri en çok kullanılanlardır.

α=0,05 olsun. Testin güven düzeyi = 1 - α = 0,95 olur.

Örnekleme dağılımının belirlenmesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Elimizdeki veriler tartma yoluyla elde edilmiş sürekli, nitelik, nicel bir değişkene aittir. Bu tip veriler genelde normal dağılım gösterirler. Yani örneklemimiz "normal dağılım" lı bir anakütleden çekilmiştir. Anakütle sonsuz büyüklüktedir. Seçim iadesiz seçimdir ve tamamen rassal bir süreçle yapılmıştır. Yani torbaların ağırlıkları birbirini etkilememiştir. n>30 olduğu için büyük bir örneklem ile çalışıyoruz. Aynı anakütleden n=40 birimli pek çok sayıda örneklem çekmiş olsak, bunların X- ortalama dağılımı bir normal dağılım olur. Bu ortalamaların ortalaması anakütle ortalamasını verir. "kg" biriminden kurtulmak için X- ortalama değerlerini standardize edersek, verilerimiz z değerlerine dönüşür ve dağılımımız bir standart normal dağılım olan 'z dağılımı na dönüşür.

Red alanının belirlenmesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Kritik değerin saptanması

Ret alanı demek; normal dağılım eğrisi altında seçtiğimiz güven alanı (Ho'ın kabul alanı) dışında kalan Ho'ın reddedilmesini sağlayan küçük alanlardır. Ret alanı çift yönlü olabilir. (eksi taraf, artı taraf) veya tek taraflı olabilir. (Yani ya sol tarafta ya da sağ tarafta) Bunun anlaşılması için H1 hipotezine bakarız.

Test istatistiği[değiştir | kaynağı değiştir]

Elimizdeki örnekleme ait zh değeri örneklemin bir istatistiğidir. Bu istatistik yardımıyla hipotez testini sonuçlandıracağız. O nedenle, zh değerine Test İstatistiği adını veriyoruz.

zh=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}

= (21,4-20)/0,51 = 2,74

Karşılaştırma, sonuç ve yorum[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir hipotez testinde; zh < zα ise; Ho kabul edilir. Bu elimizdeki X-in, M ye yakın kabul edilebilecek bir konumda (Ho'ın kabul alanında) bulunduğunu gösterir.

Eğer zh > zα ise; Ho reddedilir. Elimizdeki örneklemin, Mo ortalamalı bir anakütleden çekilmiş rassal bir örneklem olmayacağı çünkü böyle bir şeyin gerçekleşmesi olasılığının çok küçük (p<0,05 veya p<0,01) olduğu sonucuna ulaşılır.

SONUÇ : zh = 2,74 > z0,05 = 1,96 --> Ho RET

Bu duruma göre: elimizdeki örneklemin ortalaması, ilgilendiğim anakütlenin ortalamasından çok uzağa düşen bir büyüklüktedir. O nedenle iki ortalama arasındaki farkı z değerine dönüştürdüğümde, bulduğum zh = 2,74 değeri de z0,05 = 1,96 nın ötesine düşmüştür. Yani %5'lik ret alanına düşmüştür. Bu durumda X- = Mo biçiminde ifade ettiğim ve oradan M=Mo düzeyine yükselttiğim Ho hipotezini kabul edemem. Demek ki, bu makine hatalı dolum yapmakta, ortalaması 20 kg olan dolumlar gerçekleştirememektedir. Aynı deneyi n=40 olan 100 örneklem ile tekrarlarsam, bunun 95inde gene aynı sonuçla karşılaşmayı beklerim. Belki yalnızca 5inde makinenin ayarı iyiymiş gibi hatalı bir sonuca ulaşabilirim.

Dolayısıyla; verdiğim kararın doğru olması olasılığı %95 iken hatalı olması olasılığı en fazla %5 tir.

Test sonucundaki değerlendirmeler ve yorum[değiştir | kaynağı değiştir]

1) zh<zα olduğunda, Ho hipotezini kabul ediyoruz ve;

  • Bu iki örneklemin çekilmiş olduğu anakütle ortalamalarının birbirlerine eşit olduklarını,
  • Bu iki anakütlenin aynı anakütleden çekilmiş birer rassal örneklem olduğunu,
  • İki örneklem ortalaması arasında gözlediğimiz farkın bir olasılık eseri olarak ortaya çıkmış, istatistik bakımından anlamlı olmayan, önemli olmayan küçük bir fark olduğunu düşünürüz.

2) zh>zα olduğunda, Ho hipotezini reddediyoruz ve;

  • Ho hipotezine ait olan düşüncemizin tersini kabul ediyoruz, yani H1'i kabul ediyoruz.
  • Bu büyüklükteki zh değerinin olasılığa bağlı olarak ortaya çıkmış olması olasılığı (ihtimali) çok düşüktür. Bu olasılık (p değeri) seçtiğimiz α dan da küçüktür. Bu kadar küçük bir olasılıkla ortaya çıkan bu z değerini artık rastgeleliğe değil anakütlenin gerçekten farklı olmasına bağlarız.

Önemli parametrik hipotez sınamaları özeti[değiştir | kaynağı değiştir]

Tek örneklem ve tek anakütle parametresi için hipotez sınamaları[değiştir | kaynağı değiştir]

İsim Formül Varsayımlar
Tek-örneklem z-testi z=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} (Normal dağılım veya n > 30) ve bilinen σ değeri.

(z standard sapmalar sayı birimleri ile ölçülen ortalamaya uzaklıktır. n standard sapma aralığına düşen bir anakütlenin oranin en küçük değerini hesaplamak mümkündür; (bakin: Chebyshev'in eşitsizliği).

Tek-örneklem t-testi t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}},

df=n-1 \

(Normal anakütle veya n < 30) ve bilinmeyen σ değeri
Tek-oran için z-testi z=\frac{\hat{p} - p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} n .p > 10 ve n (1 − p) > 10



İki-örneklem ve iki anakütle parametresi farkı için hipotez sınamaları[değiştir | kaynağı değiştir]

İsim Formül Varsayımlar
İki-örneklem z-testi z=\frac{(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} Normal dağılım ve bağımsız gözlemler ve (bilinen σ1 ve σ1 değerleri)
İki-örneklem pool edilmiş t-testi t=\frac{(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}},

s_p^2=\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2},
df=n_1 + n_2 - 2 \

(Normal anakütle veya n1+n2 > 40) ve bağımsız gözlemler ve σ1 = σ2 ve (bilinmeyen σ1 ve σ2 değerleri)
İki-örneklem pool edilmemiş t-testi t=\frac{(\overline{x}_1 - \overline{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}},

df=\frac{(n_1 - 1)(n_2 - 1)}{(n_2 - 1)c^2 + (n_1 - 1)(1 - c)^2},
c=\frac{\frac{s_1^2}{n_1}}{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}
veya sd=\min\{n_1,n_2\} - 1\

(Normal anakütleler veya n1+n2 > 40) ve bağımsız gözlemler ve σ1 ≠ σ2 ve (bilinmeyen σ1 ve σ2 değerleri)
Çiftleştirilmiş t-testi t=\frac{\overline{d}-d_0}{s_d},

sd=n-1 \

(Normal farklar anakütlesi veya n < 30) ve bilinmeyen σ değeri
İki-oran için z-testi, eşit varyanslar z=\frac{{p}_1 - {p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1 - \hat{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}

\hat{p}=\frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2}

n1.p1 >  5  ve n1(1 − p1) >  5  ve n2.p2 > 5  ve n2(1 − p2) >  5  ve bağımsız gözlemler
İki-oran için z-testi, eşit olmayan varyanslar z=\frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - (p_1 - p_2)}{\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1 - \hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1 - \hat{p}_2)}{n_2}}} n1.p1 >  5  ve n1(1 − p1) >  5  ve n2.p2 > 5  ve n2(1 − p2) >  5  ve bağımsız gözlemler

Sembollerin tanımlanması n = örneklem büyüklüğü
\overline{x} = örneklem ortalaması
\mu_0 = anakütle ortalaması
\sigma = anakütle standard sapması
t = t istatistiği
sd = serbestlik derecesi
n_1 = örneklem 1 büyüklüğü
n_2 = örneklem 2 büyüklüğü
s_1 = örneklem 1 std. sapması
s_2 = örneklem 2 std. sapması
p_1 = oran 1
p_2 = oran 2
\mu_1 = anakütle 1 ortalaması
\mu_2 = anakütle 2 ortalaması
\min\{n_1,n_2\} = n1 veya n2 için en küçük değer
!--hiçbir varsayım yok-->

Kaynak[değiştir | kaynağı değiştir]

Dışsal bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]