Steinhaus-Moser gösterimi

Matematikte Steinhaus–Moser gösterimi, aşırı derecede büyük sayıları ifade etme anlamına gelir. Steinhaus çokgen gösteriminin genişlemesidir.

Açıklamalar

Üçgenin içindeki $n$ sayısı $n$^$n$ anlamına gelir.

Karenin içindeki $n$ sayısı "tümü içiçe olan $n$ tane üçgenlerin içindeki $n$ sayısı" ile eşdeğerdir."

Çokgendeki $n$ sayısı "tümü içiçe olan $n$ tane karelerin içindeki $n$ sayısı" ile eşdeğerdir.

örn.: ($m + 1$) kenarlı çokgendeki $n$ yazısı, "tümü içiçe olan $m$ kenarlı $n$ tane çokgenin içindeki $n$ sayısı" ile eşdeğerdir. İçiçe seriye sahip çokgenler, içeriye doğru birleştirilirler. İki üçgenin içindeki $n$ sayısı, $n$^$n$ sayısının kuvvetine yükselen $n$^$n$ ile eşdeğer olan bir üçgen içindeki $n$^$n$ ile eşdeğerdir.

Steinhaus sadece, üçgen, kare ve yukarıda açıklanan çokgenin eşdeğeri olan çemberini tanımladı.

Özel değerler

Steinhaus şunları açıkladı:

• mega, bir çemberdeki 2'ye eşdeğerdir: ②
• megiston, bir çemberdeki 10'a eşittir: ⑩

Moser sayısı, "mega" kenarlı bir çokgen olan "megaton'daki 2" olarak ifade edilir.

Alternatif gösterimler:

• kare(x) ve üçgen(x) fonksiyonlarını kullanma
• $M(n,m,p$ sayısı, $p$ kenarlı $m$ tane çokgenin içindeki $n$ sayısı olarak ifade edildiğinde kurallar şöyle olur:
  • $M(n,1,3) = n^n$
  • $M(n,1,p+1) = M(n,n,p)$
  • $M(n,m+1,p) = M(M(n,1,p),m,p)$

ve

• • mega = $M(2,1,5)$
  • moser = $M(2,1,M(2,1,5))$

Mega

Bir mega (yani ②), zaten çok büyük bir sayıdır. ② = kare(kare(2)) = kare(üçgen(üçgen(2))) = kare(üçgen(2²)) = kare(üçgen(4)) = kare(4⁴) = kare(256) = üçgen(üçgen(üçgen(...üçgen(256)...))) [256 üçgen] = üçgen(üçgen(üçgen(...üçgen(256²⁵⁶)...))) [255 üçgen] = üçgen(üçgen(üçgen(...üçgen(3,2 × 10⁶¹⁶)...))) [255 üçgen] = ...

Diğer gösterimi kullanma:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

$f(x)=x^x$ fonksiyonu ile mega = $f^{256}(256) = f^{258}(2)$ elde ederiz. Buradaki üstindis fonksiyonel kuvveti ifade eder, sayısal kuvveti değil.

Şunları elde ederiz (kuvvetlerin sağdan sola doğru değerlendirildiğine dikkat edin):

• M(256,2,3) = $(256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}$
• M(256,3,3) = $(256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}$≈$256^{\,\!256^{256^{257}}}$

Benzer şekilde:

• M(256,4,3) ≈ ${\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}$
• M(256,5,3) ≈ ${\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$

vb.

Buradan:

• mega = $M(256,256,3)\approx(256\uparrow)^{256}257$. Buradaki $(256\uparrow)^{256}$, $f(n)=256^n$ fonksiyonunun fonksiyonel kuvvetini ifade eder.

Knuth yukarı ok gösterimini kullanıp, çok kabaca yuvarlayarak (256'nın sonuna 257 koyarak) mega ≈ $256\uparrow\uparrow 257$ olarak bulunur.

Birkaç adımdan sonra $n^n$ değeri, her zaman yaklaşık olarak $256^n$'e eşittir. aslında yaklaşık olarak $10^n$'e bile eşit olabilir (Ayrıca çok büyük sayıların yaklaşık aritmetiğine bakınız). 10 tabanlı kuvveti kullanırsak şunu elde ederiz:

• $M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}$
• $M(256,2,3)\approx10^{\,\!1.99\times 10^{619}}$ ($\log _{10} 616$, 616'ya eklenir)
• $M(256,3,3)\approx10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}$ ($619$, ihmal edilebilir değer olan $1,99\times 10^{619}$'a eklenir. Böylece en alta sadece 10 eklenir)

• $M(256,4,3)\approx10^{\,\!10^{10^{1,99\times 10^{619}}}}$

...

• mega = $M(256,256,3)\approx(10\uparrow)^{255}1,99\times 10^{619}$. Buradaki $(10\uparrow)^{255}$, $f(n)=10^n$ fonksiyonunun fonksiyonel kuvvetini ifade eder. Bundan dolayı $10\uparrow\uparrow 257 < \mbox{mega} < 10\uparrow\uparrow 258$

Moser sayısı

Conway dizisi ok gösteriminde şöyle kanıtlanmıştır,

$moser \ < \ 3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2$,

ve Knuth yukarı ok gösteriminde,

$moser \ < \ f(f(f(4))), \quad \mbox{where} \ \ f(n) = 3 \uparrow^n 3.$

Bu yüzden, akıl almaz büyük olmasına rağmen Moser sayısı, Graham sayısı ile kıyaslandığında çöldeki kum tanesi (veya oksayustaki bir damla su) gibidir, şöyle ki:

$moser \ << \ 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2 \ < \ f^{64}(4) \ = \ Graham's \ number.$

Ayrıca bakınız

• Ackermann işlevi

Dış bağlantılar

• Robert Munafo'nun Büyük Sayıları (İngilizce)
• mathworld.wolfram.com sitesindeki megistron (İngilizce)
• mathworld.wolfram.com sitesindeki çember gösterimi (İngilizce)