Steinhaus-Moser gösterimi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte SteinhausMoser gösterimi, aşırı derecede büyük sayıları ifade etme anlamına gelir. Steinhaus çokgen gösteriminin genişlemesidir.

Açıklamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

üçgendeki n
Üçgenin içindeki n sayısı nn anlamına gelir.
karedeki n
Karenin içindeki n sayısı "tümü içiçe olan n tane üçgenlerin içindeki n sayısı" ile eşdeğerdir."
çokgendeki n
Çokgendeki n sayısı "tümü içiçe olan n tane karelerin içindeki n sayısı" ile eşdeğerdir.

örn.: (m + 1) kenarlı çokgendeki n yazısı, "tümü içiçe olan m kenarlı n tane çokgenin içindeki n sayısı" ile eşdeğerdir. İçiçe seriye sahip çokgenler, içeriye doğru birleştirilirler. İki üçgenin içindeki n sayısı, nn sayısının kuvvetine yükselen nn ile eşdeğer olan bir üçgen içindeki nn ile eşdeğerdir.

Steinhaus sadece, üçgen, kare ve yukarıda açıklanan çokgenin eşdeğeri olan çemberdeki n çemberini tanımladı.

Özel değerler[değiştir | kaynağı değiştir]

Steinhaus şunları açıkladı:

  • mega, bir çemberdeki 2'ye eşdeğerdir: ②
  • megiston, bir çemberdeki 10'a eşittir: ⑩

Moser sayısı, "mega" kenarlı bir çokgen olan "megaton'daki 2" olarak ifade edilir.

Alternatif gösterimler:

  • kare(x) ve üçgen(x) fonksiyonlarını kullanma
  • M(n,m,p sayısı, p kenarlı m tane çokgenin içindeki n sayısı olarak ifade edildiğinde kurallar şöyle olur:
    • M(n,1,3) = n^n
    • M(n,1,p+1) = M(n,n,p)
    • M(n,m+1,p) = M(M(n,1,p),m,p)
ve
    • mega = M(2,1,5)
    • moser = M(2,1,M(2,1,5))

Mega[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir mega (yani ②), zaten çok büyük bir sayıdır. ② = kare(kare(2)) = kare(üçgen(üçgen(2))) = kare(üçgen(22)) = kare(üçgen(4)) = kare(44) = kare(256) = üçgen(üçgen(üçgen(...üçgen(256)...))) [256 üçgen] = üçgen(üçgen(üçgen(...üçgen(256256)...))) [255 üçgen] = üçgen(üçgen(üçgen(...üçgen(3,2 × 10616)...))) [255 üçgen] = ...

Diğer gösterimi kullanma:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

f(x)=x^x fonksiyonu ile mega = f^{256}(256)  = f^{258}(2) elde ederiz. Buradaki üstindis fonksiyonel kuvveti ifade eder, sayısal kuvveti değil.

Şunları elde ederiz (kuvvetlerin sağdan sola doğru değerlendirildiğine dikkat edin):

  • M(256,2,3) = (256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}
  • M(256,3,3) = (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}256^{\,\!256^{256^{257}}}

Benzer şekilde:

  • M(256,4,3) ≈ {\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}
  • M(256,5,3) ≈ {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}

vb.

Buradan:

  • mega = M(256,256,3)\approx(256\uparrow)^{256}257. Buradaki (256\uparrow)^{256}, f(n)=256^n fonksiyonunun fonksiyonel kuvvetini ifade eder.

Knuth yukarı ok gösterimini kullanıp, çok kabaca yuvarlayarak (256'nın sonuna 257 koyarak) mega ≈ 256\uparrow\uparrow 257 olarak bulunur.

Birkaç adımdan sonra n^n değeri, her zaman yaklaşık olarak 256^n'e eşittir. aslında yaklaşık olarak 10^n'e bile eşit olabilir (Ayrıca çok büyük sayıların yaklaşık aritmetiğine bakınız). 10 tabanlı kuvveti kullanırsak şunu elde ederiz:

  • M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}
  • M(256,2,3)\approx10^{\,\!1.99\times 10^{619}} (\log _{10} 616, 616'ya eklenir)
  • M(256,3,3)\approx10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}} (619, ihmal edilebilir değer olan 1,99\times 10^{619}'a eklenir. Böylece en alta sadece 10 eklenir)
  • M(256,4,3)\approx10^{\,\!10^{10^{1,99\times 10^{619}}}}

...

  • mega = M(256,256,3)\approx(10\uparrow)^{255}1,99\times 10^{619}. Buradaki (10\uparrow)^{255}, f(n)=10^n fonksiyonunun fonksiyonel kuvvetini ifade eder. Bundan dolayı 10\uparrow\uparrow 257 < \mbox{mega} < 10\uparrow\uparrow 258

Moser sayısı[değiştir | kaynağı değiştir]

Conway dizisi ok gösteriminde şöyle kanıtlanmıştır,

moser \  <  \ 3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,

ve Knuth yukarı ok gösteriminde,

moser \  <  \ f(f(f(4))), \quad \mbox{where} \ \ f(n) = 3 \uparrow^n 3.

Bu yüzden, akıl almaz büyük olmasına rağmen Moser sayısı, Graham sayısı ile kıyaslandığında çöldeki kum tanesi (veya oksayustaki bir damla su) gibidir, şöyle ki:

moser \  <<  \ 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2 \ < \ f^{64}(4) \ = \ Graham's \ number.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]