Skewes sayısı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Sayılar teorisinde, Skewes' sayısı, birkaç çok büyük sayıdan biridir. Güney Afrikalı matematikçi Stanley Skewes tarafından bulunan ve en küçük x doğal sayılarının üst sınırlarını belirleyen şöyle bir ifadedir:

\pi(x) > \operatorname{li}(x),

buradaki π(x), asal hesaplama fonksiyonu ve li(x) is the logaritmik integral fonksiyonudur. Bu sınırlar geliştirildi: e^{727,952} bir geçiş noktasıdır.

Skewes sayıları[değiştir | kaynağı değiştir]

Skewes'ın öğretmeni olan John Edensor Littlewood, 1914'de [[Littlewood'da, büyük bir sayı olduğunu ve π(x) − li(x) fark işaretinin son derece sık değişdiğini kanıtladı. Sonradan tüm sayısal deliller, π(x)'nin daima li(x)'den daha az olduğunu gösterdi.

1933'de Skewes, Riemann hipotezinin doğruluğunu ve x gibi bir sayının π(x) < li(x)'i ihlal ettiğini aşağıdaki şekilde ispatladı;

e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}.

1955'de Skewes, Riemann hipotezini varsaymaksızın. x gibi bir değerin olduğunu şöyle ispatladı;

10^{10^{10^{963}}}.

Her iki Skewes sayıları, matematiksel delillerdeki çoğu büyük sayılarla karşılaştırıldığında onlardan büyüktür ve neredeyse Graham sayısı kadardır.

Son tahminler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu devasa üst sınırlar, Rieman zeta fonksiyonunun sıfırlarıyla büyük ölçekli bilgisayar hesaplamalarını kullanarak epeyce azaltıldı. Keşisme noktasının geçerli değerini için ilk yaklaşım 1966'da Lehman tarafından yapıldı. Lehman, 1,53×101165 ile 1,65×101165 arasında, 10500 ardışık x tam sayıları olduğunu π(x) > li(x) ile gösterdi. Riemann hipotezini kullanmadan Herman te Riele, 2000 yılında 7×10370 şeklinde bir üst sınır olduğunu ispatladı.

Riemann formülü[değiştir | kaynağı değiştir]

Riemann, π(x) için şöyle bir formül geliştirdi;

\pi(x) = \operatorname{li}(x) - \frac{\operatorname{li}(\sqrt{x})}{2} - \sum_\rho \operatorname{li}(x^\rho) + \text{ ufak terimler }

buradaki toplama, Rieman zeta fonksiyonunun ρ sıfırlarından fazladır. π(x) = li(x) (eğer Riemann hipotezi doğruysa) En büyük hata terimi yaklaşımındaki en büyük hata terimi  {\operatorname{li}(\sqrt{x})}/2 'dir. li(x), genellikle π(x)'den daha büyüktür. Yukarıdaki diğer terimler biraz daha küçüktür.

Rieman hipotezinin yanlış olduğu varsayılırsa, argüman çok basit olur. li(xρ) terimlerinden dolayı, sıfırlal ihlal edilirse, Riemann hipotezi (gerçek bölüm 1/2'den daha büyüktür), nihayet li(x1/2)'den büyük olur.

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Patrick Demichel. Asal hesaplama fonksiyonu ve ilgili konular. http://web.archive.org/web/20060908033007/http://demichel.net/patrick/li_crossover_pi.pdf 20.09.2009'da gözden geçirildi