Ters Gama fonksiyonu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Reel eksen etrafında 1/Γ(x)'nın çizimi
kompleks düzlemde1/Γ(z) ters gama fonksiyonu. z noktasına karşılık 1/Γ(z). keskin renkler sıfıra yakın olan değerler tonlar argument'olarak kodlanmıştır.

Matematik'te ters gama fonksiyonu özel fonksiyon'dur.

f(z) = \frac{1}{\Gamma(z)},

Burada \Gamma(z) Gama fonksiyonu'nu gösterir.Gama fonksiyonundan dolayı meromorf'tır. Karmaşık düzlemde sıfırdan farklı her yerde,tersi de Tam fonksiyon'dur. . Ters gama bazen sayısal hesaplama'ların başlangıç noktaları için kullanılır.

Karl Weierstrass ters Gamma fonksiyonunu "faktorielle" olarak adlandırdı,ve Weierstrass faktorizasyon teoremi'inin geliştirilmesinde kullandı.

Taylor serisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Taylor serisi 0 etrafında açılım verir:

\frac{1}{\Gamma(z)} = z + \gamma z^2 + \left(\frac{\gamma^2}{2} - \frac{\pi^2}{12}\right)z^3 + \cdots

Burada \gamma Euler-Mascheroni sabiti'dir.k > 2 için katsayı ak için zk terimleri türetilebilir.

a_k = k a_1 a_k - a_2 a_{k-1} + \sum_{j=2}^{k-1} (-1)^j \, \zeta(j) \, a_{k-j}

burada ζ(s) Riemann zeta fonksiyonu'dur.

k a_k
1 1.0000000000000000000000000000000000000000
2 0.5772156649015328606065120900824024310422
3 −0.6558780715202538810770195151453904812798
4 −0.0420026350340952355290039348754298187114
5 0.1665386113822914895017007951021052357178
6 −0.0421977345555443367482083012891873913017
7 −0.0096219715278769735621149216723481989754
8 0.0072189432466630995423950103404465727099
9 −0.0011651675918590651121139710840183886668
10 −0.0002152416741149509728157299630536478065
11 0.0001280502823881161861531986263281643234
12 −0.0000201348547807882386556893914210218184
13 −0.0000012504934821426706573453594738330922
14 0.0000011330272319816958823741296203307449
15 −0.0000002056338416977607103450154130020573
16 0.0000000061160951044814158178624986828553
17 0.0000000050020076444692229300556650480600
18 −0.0000000011812745704870201445881265654365
19 0.0000000001043426711691100510491540332312
20 0.0000000000077822634399050712540499373114
21 −0.0000000000036968056186422057081878158781
22 0.0000000000005100370287454475979015481323
23 −0.0000000000000205832605356650678322242954
24 −0.0000000000000053481225394230179823700173
25 0.0000000000000012267786282382607901588938
26 −0.0000000000000001181259301697458769513765
27 0.0000000000000000011866922547516003325798
28 0.0000000000000000014123806553180317815558
29 −0.0000000000000000002298745684435370206592
30 0.0000000000000000000171440632192733743338

Kontr-integral gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

integral gösterimi Hermann Hankel tarafından;

\frac{1}{\Gamma(z)} = \frac{i}{2\pi} \oint_C (-t)^{-z} e^{-t} dt,

Burada C 0 çevresinde pozitif reel eksen etrafında pozitif yönde,artı sonsuza kadar başlar ve biter. Schmelzer & Trefethen'e göre, Hankel integrali Gama fonksiyonunu sayısal değerlendirmesi için en iyi hesaplama yöntemidir.

Reel eksen etrafında Integral[değiştir | kaynağı değiştir]

Ters Gama fonksiyonu'nun pozitif reel eksen etrafında verilen değeri

\int_{0}^\infty \frac{1}{\Gamma(x)}\, dx \approx 2.80777024,

Fransén–Robinson sabiti olarak bilinir..

Bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]