Ters Gama fonksiyonu

Reel eksen etrafında 1/Γ(x)'nın çizimi

kompleks düzlemde1/Γ(z) ters gama fonksiyonu. z noktasına karşılık 1/Γ(z). keskin renkler sıfıra yakın olan değerler tonlar argument'olarak kodlanmıştır.

Matematik'te ters gama fonksiyonu özel fonksiyon'dur.

$f(z) = \frac{1}{\Gamma(z)},$

Burada $\Gamma(z)$ Gama fonksiyonu'nu gösterir.Gama fonksiyonundan dolayı meromorf'tır. Karmaşık düzlemde sıfırdan farklı her yerde,tersi de Tam fonksiyon'dur. . Ters gama bazen sayısal hesaplama'ların başlangıç noktaları için kullanılır.

Karl Weierstrass ters Gamma fonksiyonunu "faktorielle" olarak adlandırdı,ve Weierstrass faktorizasyon teoremi'inin geliştirilmesinde kullandı.

Taylor serisi

Taylor serisi 0 etrafında açılım verir:

$\frac{1}{\Gamma(z)} = z + \gamma z^2 + \left(\frac{\gamma^2}{2} - \frac{\pi^2}{12}\right)z^3 + \cdots$

Burada $\gamma$ Euler-Mascheroni sabiti'dir.k > 2 için katsayı a_k için z^k terimleri türetilebilir.

$a_k = k a_1 a_k - a_2 a_{k-1} + \sum_{j=2}^{k-1} (-1)^j \, \zeta(j) \, a_{k-j}$

burada ζ(s) Riemann zeta fonksiyonu'dur.

Kontr-integral gösterimi

integral gösterimi Hermann Hankel tarafından;

$\frac{1}{\Gamma(z)} = \frac{i}{2\pi} \oint_C (-t)^{-z} e^{-t} dt,$

Burada C 0 çevresinde pozitif reel eksen etrafında pozitif yönde,artı sonsuza kadar başlar ve biter. Schmelzer & Trefethen'e göre, Hankel integrali Gama fonksiyonunu sayısal değerlendirmesi için en iyi hesaplama yöntemidir.

Reel eksen etrafında Integral

Ters Gama fonksiyonu'nun pozitif reel eksen etrafında verilen değeri

$\int_{0}^\infty \frac{1}{\Gamma(x)}\, dx \approx 2.80777024,$

Fransén–Robinson sabiti olarak bilinir..

Bakınız

• Bessel–Clifford function
• Inverse-gamma distribution

Kaynakça

• Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations
• Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function
• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
• Eric W. Weisstein, Gamma Function, MathWorld