Poligama fonksiyonu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematik'te, poligama fonksiyonu' eşitliğin soludur ve türevin kuvvetine m konulduğunda eşitliğin sağ tarafındaki gama fonksiyonu'nun logaritma'sının (m + 1)'inci türevi olarak tanımlanır.


\psi^{(m)}(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^m \psi(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^{m+1} \ln\Gamma(z).

Burada

\psi(z) = \psi^{(0)}(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}

digama fonksiyonu'dur ve \Gamma(z) gamma fonksiyonudur. Bu fonksiyon yani \psi^{(1)}(z) bazen trigama fonksiyonu olarak kodlanabilir.


Gama fonksiyonunun logaritması ve ilk birkaç poligama fonksiyonunun karmaşık düzlemde gösterimi
Complex LogGamma.jpg
Complex Polygamma 0.jpg
Complex Polygamma 1.jpg
Complex Polygamma 2.jpg
Complex Polygamma 3.jpg
Complex Polygamma 4.jpg

\ln\Gamma(z)

\psi^{(0)}(z)

\psi^{(1)}(z)

\psi^{(2)}(z)

\psi^{(3)}(z)

\psi^{(4)}(z)


Integral gösterimleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Poligama fonksiyonunun integral gösterimi

\psi^{(m)}(z)= (-1)^{(m+1)}\int_0^\infty 
\frac{t^m e^{-zt}} {1-e^{-t}} dt

Re z >0 ve m > 0 şeklindedir. m = 0 için digama fonksiyonu tanımlanır.

Tekrarlayan ilişki[değiştir | kaynağı değiştir]

tekrarlayan ilişki

\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-(m+1)}. şeklindedir.

Çarpım teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

çarpım teoremi m>1 için

k^{m} \psi^{(m-1)}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1} 
\psi^{(m-1)}\left(z+\frac{n}{k}\right) olarak verilir.

ve m=0,için digama fonksiyonu adı verilir;

k (\psi(kz)-\log(k)) = \sum_{n=0}^{k-1} 
\psi\left(z+\frac{n}{k}\right).

Seri gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Poligama fonksiyonu seri gösterimi

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty 
\frac{1}{(z+k)^{m+1}}

m > 0 ve z herhangi bir negatif tamsayıya eşit olmamalıdır. Bu gösterimde Hurwitz zeta fonksiyonu'nun içinde bulunduğu daha sağlam bir şekilde yazılımı

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z).

Karşıt olarak, Hurwitz zeta da değerler tamsayı olmak zorunda değildir. bazı seriler poligama fonksiyonunun çıkarılmasına izin verir. Schlömilch tarafından verilen,

1 / \Gamma(z) = z \; \mbox{e}^{\gamma z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) \; \mbox{e}^{-z/n}. Bu sonuç Weierstrass faktörizasyon teoremidir.

Böylece gama fonksiyonunu tanımlayabiliriz:

\Gamma(z) = \frac{\mbox{e}^{-\gamma z}}{z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \; \mbox{e}^{z/n}

Böylece,gama fonksiyonunun doğal logaritma'sının basitçe gösterimi:

\ln \Gamma(z) = -\gamma z - \ln(z) + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{z}{n} - \ln(1 + \frac{z}{n}) \right)

Poligama fonksiyonunu bir toplam gösterimi sonuç olarak \psi^{(n)}(z) = \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\ln \Gamma(z) = -\gamma \delta_{n0} \; - \; \frac{(-1)^n n!}{z^{n+1}} \; + \; \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \delta_{n0} \; - \; \frac{(-1)^n n!}{(k+z)^{n+1}} şeklinde verilebilir.

Burada \delta_{n0} Kronecker delta'sıdır.

Taylor serisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada Taylor serisi z = 1 değeri için

\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty 
(-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!},

ve |z| < 1 yakınsak seridir. Burada, ζ Riemann zeta fonksiyonu'dur. Buradan Hurwitz zeta fonksiyonuna karşılık gelen Taylor serisi kolaylıkla elde edilebilir ; Bu seri rasyonel zeta serisi elde edebilmek için kullanılabilir.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]