Poligama fonksiyonu

Matematik'te, poligama fonksiyonu' eşitliğin soludur ve türevin kuvvetine m konulduğunda eşitliğin sağ tarafındaki gama fonksiyonu'nun logaritma'sının (m + 1)'inci türevi olarak tanımlanır.

$\psi^{(m)}(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^m \psi(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^{m+1} \ln\Gamma(z).$

Burada

$\psi(z) = \psi^{(0)}(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$

digama fonksiyonu'dur ve $\Gamma(z)$ gamma fonksiyonudur. Bu fonksiyon yani $\psi^{(1)}(z)$ bazen trigama fonksiyonu olarak kodlanabilir.

Gama fonksiyonunun logaritması ve ilk birkaç poligama fonksiyonunun karmaşık düzlemde gösterimi

$\ln\Gamma(z)$	$\psi^{(0)}(z)$	$\psi^{(1)}(z)$	$\psi^{(2)}(z)$	$\psi^{(3)}(z)$	$\psi^{(4)}(z)$

Integral gösterimleri

Poligama fonksiyonunun integral gösterimi

$\psi^{(m)}(z)= (-1)^{(m+1)}\int_0^\infty \frac{t^m e^{-zt}} {1-e^{-t}} dt$

Re z >0 ve m > 0 şeklindedir. m = 0 için digama fonksiyonu tanımlanır.

Tekrarlayan ilişki

tekrarlayan ilişki

$\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-(m+1)}.$ şeklindedir.

Çarpım teoremi

çarpım teoremi $m>1$ için

$k^{m} \psi^{(m-1)}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1} \psi^{(m-1)}\left(z+\frac{n}{k}\right)$ olarak verilir.

ve $m=0$,için digama fonksiyonu adı verilir;

$k (\psi(kz)-\log(k)) = \sum_{n=0}^{k-1} \psi\left(z+\frac{n}{k}\right).$

Seri gösterimi

Poligama fonksiyonu seri gösterimi

$\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^{m+1}}$

m > 0 ve z herhangi bir negatif tamsayıya eşit olmamalıdır. Bu gösterimde Hurwitz zeta fonksiyonu'nun içinde bulunduğu daha sağlam bir şekilde yazılımı

$\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z).$

Karşıt olarak, Hurwitz zeta da değerler tamsayı olmak zorunda değildir. bazı seriler poligama fonksiyonunun çıkarılmasına izin verir. Schlömilch tarafından verilen,

$1 / \Gamma(z) = z \; \mbox{e}^{\gamma z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) \; \mbox{e}^{-z/n}$. Bu sonuç Weierstrass faktörizasyon teoremidir.

Böylece gama fonksiyonunu tanımlayabiliriz:

$\Gamma(z) = \frac{\mbox{e}^{-\gamma z}}{z} \; \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} \; \mbox{e}^{z/n}$

Böylece,gama fonksiyonunun doğal logaritma'sının basitçe gösterimi:

$\ln \Gamma(z) = -\gamma z - \ln(z) + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{z}{n} - \ln(1 + \frac{z}{n}) \right)$

Poligama fonksiyonunu bir toplam gösterimi sonuç olarak $\psi^{(n)}(z) = \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\ln \Gamma(z) = -\gamma \delta_{n0} \; - \; \frac{(-1)^n n!}{z^{n+1}} \; + \; \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \delta_{n0} \; - \; \frac{(-1)^n n!}{(k+z)^{n+1}}$ şeklinde verilebilir.

Burada $\delta_{n0}$ Kronecker delta'sıdır.

Taylor serisi

Burada Taylor serisi z = 1 değeri için

$\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!},$

ve |z| < 1 yakınsak seridir. Burada, ζ Riemann zeta fonksiyonu'dur. Buradan Hurwitz zeta fonksiyonuna karşılık gelen Taylor serisi kolaylıkla elde edilebilir ; Bu seri rasyonel zeta serisi elde edebilmek için kullanılabilir.

Kaynakça

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0 . See section §6.4