Laguerre polinomları

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Laguerre polinomları, matematik'te adını Edmond Laguerre'den (1834 – 1886) almıştır. Kanonik (benzer) adlandırma Laguerre denklemi'dir:


x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,

İkinci mertebeden bir lineer diferansiyel denklem'dir. Bu denklemin tekil olmayan çözümleri yalnızca n negatif olmayan tamsayı ise vardır. Laguerre polinomlarının sayısal integral hesaplaması için Gaussian dördünü kullanılan formudur

\int_0^\infty f(x) e^{-x} \, dx.

L0L1, ..., şeklindeki bu polinomları, tanımlayabilmek için Rodrigues formülü tarafından polinomal dizi kullanılmalıdır


L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right).

Diğer önemli her bir iç ürün ortogonal polinomlar tarafından verilir.

\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^{-x}\,dx.

Laguerre polinomlarının dizisi bir Sheffer dizisi'dir.

Laguerre polinomları kuantum mekaniği'nde tek-elektronlu atomun (Hidrojen atomu) Schrödinger denklemi'nin radyal kısmının çözümlemesinde ortaya çıkar.

Laguerre polinomları için Fizikte sıklıkla kullanılan bir tanım , n!, gibi bir faktör tarafından burada kullanılan tanımdır.

İlk birkaç polinom[değiştir | kaynağı değiştir]

İlk birkaç Laguerre polinomları:

n L_n(x)\,
0 1\,
1 -x+1\,
2 {\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,
3 {\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,
4 {\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,
5 {\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,
6 {\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,
ilk altı Laguerre polinomu.

Tümevarımsal tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Tümevarımsal olarak Laguerre polinomları'nın tanımını yapabiliriz, tanımdaki ilk iki polinom:

L_0(x) = 1\,
L_1(x) = 1 - x\,

ve izleyen polinomlar için özyineleme ile k ≥ 1 'i kullanabiliriz:

L_{k + 1}(x) = \frac{1}{k + 1} \left( (2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)\right).

Genelleştirilmiş Laguerre polinomları[değiştir | kaynağı değiştir]

ortogonal özellikli durumda üstel dağılım rasgele değişken ile olasılık ağırlık fonksiyonu ise; X ile eşdeğer gösterim

f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x} & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.

buradan

E \left[ L_n(X)L_m(X) \right]=0\ \mbox{whenever}\ n\neq m.

üstel dağılım sadece gamma dağılımı değildir. önemli Bir polinomal dizi orthogonal olasılık ağırlık fonksiyonunun gama dağılımı için ,α > −1,

f(x)=\left\{\begin{matrix} x^\alpha e^{-x}/\Gamma(1+\alpha) & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.

('Genelleştirilmiş Laguerre polinomu için Rodrigues tanımı ile verilen gama fonksiyonu içeren denklemi görebiliriz):

L_n^{(\alpha)}(x)=
{x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right).

Bazen uyarlanmış Laguerre polinomları olarak adlandırılır;genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının α = 0 durumunda düzenlenmiş polinomları Basit Laguerre polinomları:

L^{(0)}_n(x)=L_n(x).

Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının özellikleri ve açık örnek[değiştir | kaynağı değiştir]

    • İlk birkaç genelleştirilmiş Laguerre polinomları:
 L_0^{(\alpha)} (x) = 1
 L_1^{(\alpha)}(x) = -x + \alpha +1
 L_2^{(\alpha)}(x) = \frac{x^2}{2} - (\alpha + 2)x + \frac{(\alpha+2)(\alpha+1)}{2}
 L_3^{(\alpha)}(x) = \frac{-x^3}{6} + \frac{(\alpha+3)x^2}{2} - \frac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2}
+ \frac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}
  • hesaplamada kullanılan genelleştirilmiş Laguerre polinomları için açık formülü Horner metodu sağlar, bunula beraber, algoritma sonuçları kararlı' değildir.

izlenen kararlı metod:

  function LaguerreL(n, alpha, x) {
    L1:= 0; LaguerreL:= 1;
    for i:= 1 to n {
        L0:= L1; L1:= LaguerreL;
        LaguerreL:= ((2* i- 1+ alpha- x)* L1- (i- 1+ alpha)* L0)/ i;}
  return LaguerreL;
 }
  • n'in büyük değerleri için polinomun asimptotik davranışı \alpha sabit ve x>0, verilirse,
L_n^{(\alpha)}(x) \approx \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi}} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \cos\left(2 \sqrt{x \left(n+\frac{\alpha+1}{2}\right)}- \frac{\pi}{2}\left(\alpha+\frac{1}{2} \right) \right), and
L_n^{(\alpha)}(-x) \approx \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{2\sqrt{\pi}} \frac{e^{-\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \exp\left(2 \sqrt{x \left(n+\frac{\alpha+1}{2}\right)} \right).[1].

Kaynaklar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
  • B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
  • Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial", From MathWorld – A Wolfram Web Resource.
  • George Arfken ve Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6. 
  • S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.
  1. ^ Abramowitz, p. 506, 13.3.8