Laguerre polinomları

Laguerre polinomları, matematik'te adını Edmond Laguerre'den (1834 – 1886) almıştır. Kanonik (benzer) adlandırma Laguerre denklemi'dir:

$x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,$

İkinci mertebeden bir lineer diferansiyel denklem'dir. Bu denklemin tekil olmayan çözümleri yalnızca n negatif olmayan tamsayı ise vardır. Laguerre polinomlarının sayısal integral hesaplaması için Gaussian dördünü kullanılan formudur

$\int_0^\infty f(x) e^{-x} \, dx.$

L₀, L₁, ..., şeklindeki bu polinomları, tanımlayabilmek için Rodrigues formülü tarafından polinomal dizi kullanılmalıdır

$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right).$

Diğer önemli her bir iç ürün ortogonal polinomlar tarafından verilir.

$\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^{-x}\,dx.$

Laguerre polinomlarının dizisi bir Sheffer dizisi'dir.

Laguerre polinomları kuantum mekaniği'nde tek-elektronlu atomun (Hidrojen atomu) Schrödinger denklemi'nin radyal kısmının çözümlemesinde ortaya çıkar.

Laguerre polinomları için Fizikte sıklıkla kullanılan bir tanım , n!, gibi bir faktör tarafından burada kullanılan tanımdır.

İlk birkaç polinom

İlk birkaç Laguerre polinomları:

n	$L_n(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+1\,$
2	${\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,$
3	${\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,$
4	${\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,$
5	${\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,$
6	${\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,$

ilk altı Laguerre polinomu.

Tümevarımsal tanım

Tümevarımsal olarak Laguerre polinomları'nın tanımını yapabiliriz, tanımdaki ilk iki polinom:

$L_0(x) = 1\,$

$L_1(x) = 1 - x\,$

ve izleyen polinomlar için özyineleme ile k ≥ 1 'i kullanabiliriz:

$L_{k + 1}(x) = \frac{1}{k + 1} \left( (2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)\right).$

Genelleştirilmiş Laguerre polinomları

ortogonal özellikli durumda üstel dağılım rasgele değişken ile olasılık ağırlık fonksiyonu ise; X ile eşdeğer gösterim

$f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x} & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.$

buradan

$E \left[ L_n(X)L_m(X) \right]=0\ \mbox{whenever}\ n\neq m.$

üstel dağılım sadece gamma dağılımı değildir. önemli Bir polinomal dizi orthogonal olasılık ağırlık fonksiyonunun gama dağılımı için ,α > −1,

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^\alpha e^{-x}/\Gamma(1+\alpha) & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.$

('Genelleştirilmiş Laguerre polinomu için Rodrigues tanımı ile verilen gama fonksiyonu içeren denklemi görebiliriz):

$L_n^{(\alpha)}(x)= {x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right).$

Bazen uyarlanmış Laguerre polinomları olarak adlandırılır;genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının α = 0 durumunda düzenlenmiş polinomları Basit Laguerre polinomları:

$L^{(0)}_n(x)=L_n(x).$

Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının özellikleri ve açık örnek

• melez hipergeometrik fonksiyon tarafından tanımlanan Laguerre fonksiyonları ve Kummer dönüşümü
  • $L_n^{(\alpha)}(x):= {n+ \alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x)={n+ \alpha \choose n} \sum_{i=0} (-1)^i \frac{{n \choose i}}{{\alpha+i \choose i}}x^i\,$ $= e^x\cdot {n+ \alpha \choose n} M(\alpha+n+1,\alpha+1,-x)$$=\frac{e^x \sin(n \pi )}{\sin((n+\alpha)\pi)}L_{-\alpha-n-1}^{(\alpha)}(-x)$$=e^x\cdot\sum_{i=0}(-1)^i {\alpha+n+i \choose n} \frac{x^i}{i!}.$
  • Eğer $n$ bir tamsayı ise the function reduces to bir polinomun derecesi $n$. alternaif bir ifade $L_n^{(\alpha)}(x)= \frac {(-1)^n}{n!} U(-n,\alpha+1,x)$ içindeki Kummer fonksiyonu'nun ikinci türü terimleridir .

• Genelleştirilmiş Laguerre polinomunun derecesi $n$ ise $L_n^{(\alpha)} (x) = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+\alpha \choose n-i} \frac{x^i}{i!}$ ( diferansiyasyon için Leibniz teoremi tarafından uygulanan Rodrigues' formülü ile eşdeğer eldesi.)

• • İlk birkaç genelleştirilmiş Laguerre polinomları:

$L_0^{(\alpha)} (x) = 1$

$L_1^{(\alpha)}(x) = -x + \alpha +1$

$L_2^{(\alpha)}(x) = \frac{x^2}{2} - (\alpha + 2)x + \frac{(\alpha+2)(\alpha+1)}{2}$

$L_3^{(\alpha)}(x) = \frac{-x^3}{6} + \frac{(\alpha+3)x^2}{2} - \frac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2} + \frac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}$

• • ilk terimleri is (−1)ⁿ/n! katsayı'sıdır;
  • $L_n^{(\alpha)}(0)= {n+\alpha\choose n} \approx \frac{n^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)};$ merkezindeki değer sabit terim'dir.

• hesaplamada kullanılan genelleştirilmiş Laguerre polinomları için açık formülü Horner metodu sağlar, bunula beraber, algoritma sonuçları kararlı' değildir.

izlenen kararlı metod:

  function LaguerreL(n, alpha, x) {
    L1:= 0; LaguerreL:= 1;
    for i:= 1 to n {
        L0:= L1; L1:= LaguerreL;
        LaguerreL:= ((2* i- 1+ alpha- x)* L1- (i- 1+ alpha)* L0)/ i;}
  return LaguerreL;
 }

• L_n^(α) ile n gerçel,kökler kesinlikle pozitif (burada $\left((-1)^{n-i} L_{n-i}^{(\alpha)}\right)_{i=0}^n$ bir Sturm zinciri'dir), bütün $(0, n+\alpha+ (n-1) \sqrt{n+\alpha}]$ aralık'ı içindedir .

• $n$'in büyük değerleri için polinomun asimptotik davranışı $\alpha$ sabit ve $x>0$, verilirse,

$L_n^{(\alpha)}(x) \approx \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi}} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \cos\left(2 \sqrt{x \left(n+\frac{\alpha+1}{2}\right)}- \frac{\pi}{2}\left(\alpha+\frac{1}{2} \right) \right)$, and

$L_n^{(\alpha)}(-x) \approx \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{2\sqrt{\pi}} \frac{e^{-\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \exp\left(2 \sqrt{x \left(n+\frac{\alpha+1}{2}\right)} \right)$..

Kaynaklar

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .
• B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
• Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial", From MathWorld – A Wolfram Web Resource.
• George Arfken ve Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. ISBN 0-12-059825-6. 
• S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.