Meromorfik fonksiyon
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Meromorfik fonksiyon, karmaşık analizde, karmaşık düzlemin açık bir D kümesi üzerinde fonksiyonun kutup noktaları olan belli bir izole edilmiş noktalar kümesi dışındaki diğer noktaların tümünde holomorfik olan fonksiyondur. Meromorfik kelimesi Yunanca "kısım", "parça" anlamına gelen “meros” (μέρος) ve "tüm", "bütün" anlamına gelen “holos” (ὅλος) kelimelerinin tezat bir birleşiminden ortaya çıkmış bir kelimedir.
D üzerindeki her meromorfik fonksiyon, pay ve paydası D üzerinde holomorfik olan ve paydası sabit bir şekilde 0 olmayan rasyonel bir fonksiyon şeklinde yazılabilir. Bu halde kutup noktaları, paydanın sıfır olduğu yerde olmaktadır.
Yani sezgisel olarak, meromorfik fonksiyon iki tane güzel (yani holomorfik) fonksiyonun oranıdır. Bu tür bir fonksiyon, orandaki paydanın sıfır olduğu ve bu yüzden fonksiyonun sonsuz değerleri aldığı noktalar dışında hala güzeldir.
Cebirsel bakış açısıyla, eğer D bağlantılıysa, o zaman meromorfik fonksiyonlar kümesi holomorfik fonksiyonların tamlık bölgesinin kesirler cismidir. Bu ilişki rasyonel sayılar kümesi 
ile tamsayılar kümesi 
arasındaki ilişkiye denktir.
[değiştir] Riemann yüzeylerinde meromorfik fonksiyonlar
Bir Riemann yüzeyi üzerindeki her noktanın karmaşık düzlemin açık bir kümesine izomorf (eşyapılı) olan açık bir komşuluğu vardır. Bu sebeple, meromorfik fonksiyon fikri her Riemann yüzeyi için de tanımlanabilir.
D tüm bir Riemann küresi olduğu zaman, her meromorfik fonksiyon küre üzerinde rasyonel olduğu için, meromorfik fonksiyonlar cismi karmaşık cisim üzerindeki bir değişkenli rasyonel fonksiyonlar cismi olur. (Bu GAGA prensibi denilen ifadenin özel bir durumudur.)
Her Riemann yüzeyinde, meromorfik bir fonksiyon, Riemann küresine gönderilen ve sabit ∞ olmayan holomorfik bir fonksiyonla aynıdır. Kutuplar burada ∞ 'a gönderilen karmaşık sayılara karşılık gelir.
Tıkız olmayan bir Riemann yüzeyinde, her meromorfik fonksiyon iki tane holomorfik fonksiyonun bölümü şeklinde yazılabilir. Tersine, tıkız bir Riemann yüzeyinde sabit olmayan meromorfik fonksiyonlar bulmak mümkünken, her holomorfik fonksiyon sabittir.
Elliptik eğriler üzerindeki meromorfik fonksiyonlar aynı zamanda elliptik fonksiyonlar olarak da bilinirler.
[değiştir] Daha yüksek boyutlar
Çoklu karmaşık değişkenlerde, meromorfik fonksiyonlar yerel olarak iki holomorfik fonksiyonun bölümü olarak tanımlanırlar. Mesela, f(z1,z2)=z1/z2 iki boyutlu karmaşık afin uzayda meromorfik bir fonksiyondur. Burada, artık, her meromorfik fonksiyonu Riemann küresi üzerinde değerleri olan holomorfik fonksiyon şeklinde anlamak doğru değildir: İki eşboyutu olan bir "belirsizlik" kümesi vardır (verilen örnekte bu küme (0,0) 'dan oluşmaktadır).
Bir boyuttakilerin aksine, daha yüksek boyutlarda sabit olmayan meromorfik fonksiyonların bulunmadığı, çoğu karmaşık simit gibi, karmaşık manifoldlar bulunmaktadır.
[değiştir] Kaynakça
- Lang, Serge (1999), Complex analysis (4th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98592-3
