Trigama fonksiyonu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
kompleks düzlem'de Trigama fonksiyonu  \psi_1(z) Renkli nokta  z 'ye karşı kodlanan değer  \psi_1(z) . koyu renkler sıfıra yakın değerlerdir ve tonlar argument olarak kodlanmıştır.

Matematik'te, trigama fonksiyonu, ψ1(z),olarak gösterilen ikincil poligama fonksiyonu'dur,ve tanımı

\psi_1(z) = \frac{d^2}{dz^2} \ln\Gamma(z).

Bu tanıma dayanarak

\psi_1(z) = \frac{d}{dz} \psi(z)

burada ψ(z) digama fonksiyonu'dur. Seri toplamı olarak da tanımlanabilir.

 \psi_1(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{(z + n)^2},

özel bir durumu Hurwitz zeta fonksiyonu'dur.

 \psi_1(z) = \zeta(2,z).

Not son iki formülde 1-z doğal sayı değildir..

Hesaplama[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir çift integral gösterimi

 \psi_1(z) = \int_0^1\frac{dy}{y}\int_0^y\frac{x^{z-1}\,dx}{1 - x}

geometrik seri toplamı için kullanılan bir formül. Kısmi integrasyonla:

 \psi_1(z) = -\int_0^1\frac{x^{z-1}\ln{x}}{1-x}\,dx

Asimtotik açılım Bernoulli sayıları yardımıyla olur

 \psi_1(1+z) = \frac{1}{z} - \frac{1}{2z^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}} .

Tekrarlama ve refleksiyon formulleri[değiştir | kaynağı değiştir]

The trigamma fonksiyonuna karşı gelen tekrarlama ilişkisi:

 \psi_1(z + 1) = \psi_1(z) - \frac{1}{z^2}

ve refleksiyon formülü:

 \psi_1(1 - z) + \psi_1(z) = \pi^2\csc^2(\pi z). \,

Özel değerler[değiştir | kaynağı değiştir]

Trigama fonksiyonunun bazı özel değerleri:

 \psi_1\left(\frac{1}{4}\right) = \pi^2 + 8K

 \psi_1\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{2}

 \psi_1(1) = \frac{\pi^2}{6}

Burada K gösterimi Catalan sabiti'dir.

Bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]