Hesaplanabilir sayı

π, istenilen herhangi bir doğruluk derecesine kadar hesaplanabilirken, neredeyse tüm reel sayılar hesaplanabilir nitelikte değildir.

Matematikte, hesaplanabilir sayılar, belirlenen herhangi bir doğruluk seviyesine ulaşacak şekilde sonlu ve sona eren bir algoritma ile hesaplanabilen reel sayıları ifade eder. Bu sayılar, yinelemeli sayılar, etkili sayılar ya da hesaplanabilir reel sayılarolarak da adlandırılır. Hesaplanabilir reel sayılar kavramı, o dönemde mevcut olan sezgisel hesaplanabilirlik kavramı üzerinden Emile Borel tarafından 1912'de ortaya konmuştur.

Genel yinelgen fonksiyonlar, Turing makineleri veya λ-hesaplama gibi formal algoritma temsilleri kullanılarak eşdeğer tanımlamalar yapılabilir. Hesaplanabilir sayılar, bir reel kapalı alan oluşturur ve matematikte pek çok durumda, ancak her durumda olmamak üzere, reel sayıların yerini alabilirler.

Turing makinesi örneği üzerinden yapılan gayri resmi tanımlama

Aşağıdaki metinde, Marvin Minsky sayıların hesaplanması konusunu, Alan Turing'in 1936 yılında tanımladığı sayılarla benzer bir yöntemle ifade etmektedir; yani, 0 ile 1 arasında "ondalık kesirler olarak yorumlanan sayı dizileri" şeklinde:

Hesaplanabilir bir sayı, başlangıçta n verilerek çalıştırıldığında, o sayının ninci basamağını kodlanmış olarak sonuçlandıran bir Turing makinesi bulunması halidir.

Tanımın temelini oluşturan kavramlar şöyledir: (1) Başta tanımlanmış bir n değerinin mevcudiyeti, (2) Her bir n değerinde, işlemin yalnızca belirli sayıda adımda gerçekleştirilmesi ve ardından makinenin istenilen sonucu üreterek faaliyetine son vermesidir.

(2) maddesinin bir başka versiyonu şu şekildedir: Makine, üzerindeki şeritte sıralı olarak bulunan tüm n sayısını yazdırır ve ninci sayıyı yazdıktan sonra işlemini durdurur - Bu durum, Minsky'nin gözlemlerini belirginleştirir: (3) Bir Turing makinesinin kullanılmasıyla, makinenin durum tablosunun şeklini alan sonlu bir tanımın, potansiyel olarak sonsuz bir ondalık sayı dizisini tanımlamak için nasıl kullanıldığıdır.

Fakat bu durum, sonucun önceden belirlenmiş herhangi bir doğruluk seviyesine uygun olması gerektiğini öngören modern tanımı kapsamaz. Başlangıçta sunulan gayri resmi tanım, tablo yapımcısının ikilemi (İng. table-maker's dilemma) olarak bilinen ve modern tanımın uğraşmadığı bir yuvarlama problemi ile karşı karşıyadır.

Tanım

Bir reel sayı a, eğer belirli bir hesaplanabilir fonksiyon $f:\mathbb {N} \to \mathbb {Z}$ aracılığıyla aşağıdaki yöntemle yakınsanabiliyorsa, hesaplanabilir olarak kabul edilir: Pozitif her tam sayı n değeri için, fonksiyon, a sayısının aşağıdaki koşulu sağlamasını garantileyen bir f(n) tam sayısını hesaplar:

${f(n)-1 \over n}\leq a\leq {f(n)+1 \over n}.$

İki benzer ve denk tanım mevcuttur:

• Herhangi bir pozitif rasyonel hata sınırı $\varepsilon$ için, $|r-a|\leq \varepsilon ,$ koşulunu tatmin eden bir r rasyonel sayı elde edebilen hesaplanabilir bir fonksiyon vardır.
• Hesaplanabilir rasyonel sayılar dizisi $q_{i}$, a sayısına yakınsamakta ve her i için $|q_{i}-q_{i+1}|<2^{-i},$ eşitsizliğini sağlamaktadır.

Hesaplanabilir sayılar, hesaplanabilir Dedekind kesitleri aracılığıyla tanımlanabilen bir başka denk tanıma sahiptir. Bir hesaplanabilir Dedekind kesiti, bir rasyonel sayı $r$ girdisi sağlandığında $D(r)=\mathrm {true} ;$ ya da $D(r)=\mathrm {false} ;$ değerlerinden birini döndüren hesaplanabilir bir fonksiyon $D$'dir ve şu şartları karşılar:

$\exists rD(r)=\mathrm {true} ;$

$\exists rD(r)=\mathrm {false} ;$

$(D(r)=\mathrm {true} )\wedge (D(s)=\mathrm {false} )\Rightarrow r<s;$

$D(r)=\mathrm {true} \Rightarrow \exists s>r,D(s)=\mathrm {true} .;$

3 sayısının küpkökünü tanımlayan D adlı program tarafından sunulan bir örnekte, $q>0;$ olmak üzere, bu durum şu şekilde ifade edilir:

$p^{3}<3q^{3}\Rightarrow D(p/q)=\mathrm {true} ;$

$p^{3}>3q^{3}\Rightarrow D(p/q)=\mathrm {false} .;$

Bir reel sayının hesaplanabilir olması, ancak ve ancak ona tekabül eden hesaplanabilir bir Dedekind kesiti D'nin varlığı ile mümkündür. Her hesaplanabilir sayı için D fonksiyonu özgündür (tabii ki, farklı iki program aynı fonksiyonu temin edebilir).

Reel ve sanal parçaları hesaplanabilir olan bir karmaşık sayı, hesaplanabilir olarak tanımlanmaktadır.

Özellikler

Hesaplanabilir olarak sıralanamaz

Her bir Turing makinesi tanımına özgü bir Gödel sayısı tahsis edilmesi, hesaplanabilir sayılarla ilişkilendirilen doğal sayılar içerisinde bir $S$ alt kümesi oluşturur ve bu alt kümeden hesaplanabilir sayılara bir örten fonksiyonun varlığını işaret eder. Turing makinelerinin yalnızca sayılabilir miktarda olduğu bilinmekte olup, bu durum hesaplanabilir sayıların alt sayılabilir olduğunu ortaya koymaktadır. Ne var ki, bu Gödel sayılarının oluşturduğu $S$ kümesi hesaplanabilir sıralanabilir nitelikte değildir (ve buna bağlı olarak, bu kümeyle ilintili olarak tanımlanan $S$ alt kümeleri de hesaplanabilir sıralanabilir değildir). Bu, hesaplanabilir reel sayıları üreten Turing makinelerine denk gelen Gödel sayılarını tespit edecek bir algoritmanın bulunmamasından kaynaklanmaktadır. Hesaplanabilir bir reel sayı üretmek için bir Turing makinesinin bir tam fonksiyon hesaplaması gerekmekte, fakat bu durumun ilişkili karar problemi Turing derecesi 0′′ kapsamındadır. Bu nedenle, doğal sayılardan hesaplanabilir reelleri temsil eden makinelerin oluşturduğu $S$ kümesine yönelik örten bir hesaplanabilir fonksiyon mevcut değildir ve Cantor'un diyagonal argümanı, bunların sayılamayacak kadar çok olduğunu oluşturmacı bir biçimde ispatlamak için kullanılamaz.

Reel sayılar kümesinin sayılamaz olduğu bilinirken, hesaplanabilir sayılar kümesi klasik anlamda sayılabilirdir ve böylece reel sayıların büyük bir çoğunluğu hesaplanabilir nitelikte değildir. Bu durumda, herhangi bir hesaplanabilir sayı $x$ için, iyi sıralama prensibi $S$ içinde $x$'e denk gelen minimal bir elementin varlığını öngörür; dolayısıyla, bu haritanın bir bijeksiyon olduğu minimal elemanlardan oluşan bir alt kümenin mevcut olduğu sonucuna varılır. Bu bijeksiyonun ters çevrimi, hesaplanabilir sayıların doğal sayılara enjeksiyonunu sağlar ve bunların sayılabilir olduğunu ispatlar. Ancak, hesaplanabilir reellerin kendileri sıralı olsa dahi, bu alt küme hesaplanabilir değildir.

Alan özellikleri

Hesaplanabilir sayılarda gerçekleştirilen aritmetik işlemler, a ve b reel sayıları hesaplanabilir olduğunda, a + b, a - b, ab ve b sıfır olmadığı durumda a/b olacak şekilde, bu reel sayıların da hesaplanabilir olduğu şekilde kendileri hesaplanabilir niteliktedir. Bu operasyonlar gerçekte tek tip olarak hesaplanabilirdir; bir örneğe göre, (A, B, $\epsilon$) girdisine sahip bir Turing makinesi, ayı yaklaşık olarak betimleyen A Turing makinesinin tanımı, byi yaklaşık olarak betimleyen B Turing makinesinin tanımı ve r, a+bnin bir $\epsilon$ yakınsaması olarak çıktı r üretebilir.

Hesaplanabilir reel sayıların bir alan oluşturduğu gerçeği, ilk defa Henry Gordon Rice tarafından 1954 yılında ispatlanmıştır.

Hesaplanabilir reel sayılar, bir hesaplanabilir alanın gerektirdiği etkin eşitlik tanımını karşılamadığı için, bir hesaplanabilir alan oluşturmamaktadır.

Sıralamanın hesaplanabilir olmaması

Hesaplanabilir sayılar arasındaki sıralama ilişkisi hesaplanabilir nitelikte değildir. A, $a$ sayısının yaklaşık değerini hesaplayan bir Turing makinesinin açıklaması olsun. Bu durumda, girdi A olduğunda, eğer $a>0$ ise "EVET", $a\leq 0.$ ise "HAYIR" yanıtını veren bir Turing makinesi mevcut değildir. Bunun nedenini anlamak için, A ile tanımlanan makinenin, $\epsilon$ yaklaşımları olarak sürekli olarak 0 değerini ürettiğini varsayın. Makinenin, a değerinin pozitif olacağını garanti altına alacak bir yaklaşım üretmeden önce ne kadar süre beklemesi gerektiği belirsizdir. Sonuç olarak, makine, bir çıktı sağlamak amacıyla sayının 0 olacağını tahmin etmek zorunda kalır; ancak dizi sonradan 0'dan farklı bir değer alabilir. Bu düşünce, eğer makine bir tam fonksiyon hesaplıyorsa, bazı dizilerde yanlış olduğunu göstermek için kullanılabilir. Hesaplanabilir gerçeklerin Dedekind kesiti olarak ifade edilmesi durumunda benzer bir sorun meydana gelir. Eşitlik ilişkisi için de benzer bir durum söz konusudur: eşitliği test etme işlemi hesaplanabilir değildir.

Tam sıra ilişkisi hesaplanabilir olmamakla birlikte, birbirinden farklı sayı çiftlerine uygulanan kısıtlaması hesaplanabilir bir özellik göstermektedir. Bu bağlamda, $a\neq b$ koşulunu sağlayan, $a$ ve $b$ sayılarının yaklaşık değerlerini hesaplayan A ve B Turing makineleri için girdi alabilen ve sonuç olarak bu sayıların $a<b$ ya da $a>b$ ilişkisine sahip olup olmadığını belirleyen bir program mevcuttur. $\epsilon <|b-a|/2,$ olacak şekilde $\epsilon$-yaklaşımı kullanmak bu süreç için yeterli olup, $\epsilon$ değeri 0'a yaklaştıkça, $a$ ile $b$ arasındaki ilişkinin $a<b$ veya $a>b$ olduğuna dair kesin bir karara varılabilir.