Çifte doğrusallık

Çifte doğrusallık, matematik'te, çiftdoğrusal işlemci her bir bağımsız dogrusal değişkenlerin üçüncü bir vektör uzayının bir öğesini elde etmek için iki vektör uzayı öğelerini birleştiren bir fonksiyonudur. Matris çarpimi bir örnektir.

Tanım

Eğer V, W ve X aynı tabanlı F alanı üzerinde üç vektör uzayı'ise bu çifte doğrusal gönderim bir fonksiyon ve

B : V × W → X ise

herhangi W gönderim içindeki w için

v ↦ B(v, w)

bir doğrusal gönderim V den X 'adır ve herhangi V içindeki v için gönderim

w ↦ B(v, w)

bir doğrusal gönderim W dan X 'adır. Başka bir deyişle, biz sabit çifte doğrusal haritasının ilk girişi sabit tutar, ikinci girişin değişmesine izin verirsek, sonuç bir doğrusal işlemcidir ve benzer şekilde eğer iki giriş sabit tutulursa ve eğer biz V × W çarpımını bir vektör uzayı olarak kabul edersek, B (V = 0 olmadıkça veya W = 0) vektör uzayının bir doğrusal dönüşüm değildir çünkü, örnek için B(2(v,w)) = B(2v,2w) = 2B(v,2w) = 4B(v,w).

Eğer V = W ve bizim B(v,w) = B(w,v) var bütün v için,V içindeki w ise B ye simetrik'tir deriz.

Bu durumda X, Fdir ve bizde bir çiftdoğrusal form var, özellikle yararlıdır (örnek için skaler çarpım, iç çarpım ve karesel form).

eğer bir F alanı üzerinde vektör uzayının yerine tanımında herhangi bir değişikliğe gerek olmadan çalışırsa, biz değişmeli halka R üzerinde modül kullanıyoruz. Ayrıca n-li fonksiyonlar kolayca genellenebilir, burada uygun terim çokludoğrusaldır.

bir değişmeli olmayan R halka tabanının durumu için ve bir sağ modül M_R ve bir sol modül _RN, biz bir çiftdoğrusal gönderim tanımlarız B : M × N → T, burada T bir değişmeli grup'tur, ayrıca herhangi in N içindeki n için, m ↦ B(m, n) bir grup homomorfizmidir ve herhangi M içindeki m için, n ↦ B(m, n) bir grup homomorfizmidir ve

B(mt, n) = B(m, tn)

bütün M içindeki m N içindeki n ve R içindeki t için yeterlidir

Özellikler

Tanımının Bir ilk acil sonucu bu B(x,y) = 0 her ne zaman x = 0 olduğunda veya y = 0. (Bu yazılarak görülür sıfır vektör 0 olarak 0·0,doğrusallık ile B nin önyüzünde ve skaler 0 "dışına" taşınıyor.)

Bütün çiftdoğrusal haritaların L(V,W;X) kümesi uzayın (viz. vektör uzayı, modül) bir doğrusal altuzayı'dır.

Bir matris M bir gerçek çiftdoğrusal formun içindeki nedensel bir doğrusal harita (v,w) ↦ v′Mw ise ikilik ve müzikal eşbiçim'in ilişkililik'i kullanılarak diğer üç olasılık giderilir.

${\displaystyle }$

${\begin{matrix}{\begin{aligned}&V\times V{\overset {M}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \\&(v,w)\mapsto v'Mw\\&M_{ij}=M(b_{i},b_{j})\\&M\in V^{*}\otimes V^{*}\\&M=M_{st}\beta ^{s}\otimes \beta ^{t}\\~\\~\end{aligned}}&{\begin{aligned}&V\times V^{*}{\overset {M}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \\&(v,f)\mapsto v'Mf'\\&M_{i}^{j}=M(b_{i},\beta ^{j})\\&M\in V^{*}\otimes V\\&M=M_{s}^{t}\beta ^{s}\otimes b_{t}\\&M_{s}^{t}=M_{su}g^{ut}\\&MG^{-1}\end{aligned}}\\{\begin{aligned}&V^{*}\times V{\overset {M}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \\&(f,w)\mapsto fMw\\&M_{j}^{i}=M(\beta ^{i},b_{j})\\&M\in V\otimes V^{*}\\&M=M_{t}^{s}b_{s}\otimes \beta ^{t}\\&M_{t}^{s}=g^{su}M_{ut}\\&G^{-1}M\end{aligned}}&{\begin{aligned}&V^{*}\times V^{*}{\overset {M}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \\&(f,g)\mapsto fMg'\\&M^{ij}=M(\beta ^{i},\beta ^{j})\\&M\in V\otimes V\\&M=M^{st}b_{s}\otimes b_{t}\\&M^{st}=g^{su}M_{uv}g^{vt}\\&G^{-1}MG^{-1}\end{aligned}}\end{matrix}}$

Eğer V, W, X sonlu-boyutlu ise L(V,W;X) böyledir. X = F için, yani çiftdoğrusal formudur, Bu boşluğun boyutu dim V × dim W dir (eğer doğrusal L(V×W;F) formunun dim V + dim W). Bunu görmek için, Viçin bir taban seçebilirsiniz ve W; ise her çiftdoğrusal harita B(e_i,f_j) matrisi tarafından tekli gösterilebilir ya da tam tersi. şimdi, eğer X yüksek boyutlu bir uzaydır, tabii ki bizim dim L(V,W;X) = dim V × dim W × dim X var.

Örnekler

• Matris çarpımı bir lineer haritadır M(m,n) × M(n,p) → M(m,p).
• Eğer gerçel sayı'lar R üzerinde bir vektör uzayı V bir iç-çarpım taşıyor ise iç-çarpım bir çiftdoğrusal V × V → R haritadır.
• Genel olarak, bir vektör uzayı V üzerinde bir F alanı için, bir çiftdoğrusal form olarak V aynı bir çiftdoğrusal olarakV × V → F.
• Eğer V bir vektör uzayı ile ikili uzay V* ise uygulama operatörü, b(f, v) = f(v) çiftdoğrusal harita V* × V'dan alan tabanınadır.
• Diyelimki V ve W vektör uzayı üzerinde aynı alanın tabanı F dir. eğer f V* nin bir üyesi ve g W* nin bir üyesi ise b(v, w) = f(v)g(w) bir lineer harita V × W → F tanımlanır.
• R³ içinde çapraz çarpım bir çiftdoğrusaldır R³ × R³ → R³'dır.
• Diyelimki B : V × W → X bir çiftdoğrusal haritadır ve L : U → W bir doğrusal haritadır, eğer öyleyse (v, u) ↦ B(v, Lu) is bir çiftdoğrusal harita olarak V × U olur.
• sıfır harita,B(v,w) = 0 ile tanımlanır bütün (v,w) için V × W içinde yalnızca V × W haritasından X 'adır bu çiftdoğrusaldır ve aynı zamanda doğrusaldır, gerçekten, eğer(v,w) ∈ V × W ise eğer B doğrusaldır, B(v,w) = B(v,0) + B(0,w) = 0 + 0 eğer B çiftdoğrusaldır.

Ayrıca bakınız

• Çokludoğrusal harita

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Bilinear mapping", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104