Sıfır uzayı

$V$ vektör uzayından, $W$ vektör uzayına bir dönüşüm olan $L$ matrisinin sıfır uzayı $Ker(L)$'in tasviri.

Doğrusal cebirde, bir $M$ matrisinin sıfır uzayı (kernel, null space) $Mx={\textbf {0}}$ bağıntısını sağlayan tüm $x$ vektörlerinin oluşturduğu kümedir. Bir $M$ matrisinin 'sıfırlık' boyutu, $M$ matrisine çarpıldığında sıfır sonucunu veren birbirinden bağımsız $x$ yöneylerine göre hesaplanır.

Tanım

m × n boyutlarına sahip bir $M$ matrisinin sıfır uzayı aşağıdaki şekilde gösterilir:

${\mbox{Null}}(M)={\mbox{Ker}}(M)=\left\{x\in \mathbb {C} ^{n}:Mx={\textbf {0}}\right\}{\text{,}}$

burada ${\textbf {0}}$, m bileşenli bir sıfır vektörüne karşılık gelmektedir. $Mx$ = ${\textbf {0}}$ şeklindeki matris denklemi aşağıdaki türdeş denklemler sistemi ile ayrı ayrı yazılabilir:

$Mx={\textbf {0}}\;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{6}M_{11}x_{1}&&\;+\;&&M_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&M_{1n}x_{n}&&\;=0&\\M_{21}x_{1}&&\;+\;&&M_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&M_{2n}x_{n}&&\;=0&\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&\vdots \,&\\M_{m1}x_{1}&&\;+\;&&M_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&M_{mn}x_{n}&&\;=0.&\end{alignedat}}$

$M$ matrisinin sıfır uzayı yukarıdaki denklem sisteminin çözümü ile elde edilir.

Örnek

Aşağıdaki $M$ matrisini düşünelim

$M={\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.$

Bu $M$ matrisinin sıfır uzayını bulmak için, (x, y, z) ∈ $R$³ üç boyutlu x-y-z uzayında aşağıdaki yazımı kullanabiliriz

${\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}{\text{.}}$

Yukardaki denklemi x, y ve z cinsinden aşağıdaki gibi ayrı ayrı yazabiliriz:

${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&3y&&\;+\;&&5z&&\;=\;&&0,\\-4x&&\;+\;&&2y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&0.\\\end{alignedat}}$

Yukarıdaki denlemler çözüldüğünde

${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.$

çözüm sistemi bulunur. Çözülen denklemler iki tane ve bilinmeyen üç tane olduğundan, c çarpanı herhangi bir şey olmak üzere yukarıdaki gösterim çözümleri gösterir.