Çokludoğrusal harita

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Çokludoğrusal cebir veya daha genel olarak doğrusal cebirde, bir çokludoğrusal harita her değişken içinde ayrı ayrı doğrusal birkaç değişkenin bir fonksiyondur. Daha kesin olarak, çokludoğrusal harita şöyle bir fonksiyondur:

burada ve , tüm değişkenleri sabit tutulan her için, aşağıdaki özellikleri sağlayan vektör uzayları (veya modülleri) oluyorsa, ifadesi 'nin bir doğrusal fonksiyonudur.

İki değişkenin bir çokludoğrusal haritası bir çiftdoğrusal haritadır. Daha genel bir ifade ile, k değişkeninin bir çokludoğrusal haritası k-doğrusal harita olarak adlandırılır. Eğer bir çokludoğrusal haritanın ko-domeni, skalerin alanı ise o bir çokludoğrusal form olarak adlandırılır. Çokludoğrusal haritalar ve çokludoğrusal formlar çokludoğrusal cebrin çalışmasında temel nesnedir.

Tüm değişkenler aynı alana ait ise, k-doğrusal haritası için, simetrik, antisimetrik ve alternatizasyon kavramlarından bahsedilebilir.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Her bir çiftdoğrusal harita bir çokludoğrusal haritadır. Örneğin, bir vektör uzayındaki herhangi bir iç çarpım uzayı bir çokludoğrusal haritadır, içinde çapraz çarpım vektörleri elde edilir.
  • Bir matrisin determinantı, bir kare matrisin sütunlarının (veya satırlarının) antisimetrik çokludoğrusal fonksiyonudur.
  • Eğer bir Ck fonksiyonu ise, 'nin her noktasındaki inci türevinde -doğrusal fonksiyon simetrik olarak görülebilir.
  • Çokludoğrusal altuzay öğrenimindeki vektöre-tensör izdüşümü de bir çokludoğrusal haritadadır.

Koordinat gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki

sonlu boyutlu vektör uzayları arasında bir çokludoğrusal haritası olsun. Burada boyutu 'dir ve boyutu 'dir. Her bir için ve için taban seçersek, skalerlerini şöyle ifade edebiliriz:

Ardından skalerleri, çokludoğrusal fonksiyonunu tam olarak tanımlar.

Özel olarak eğer, için,

oluyorsa,

olur.

Tensör çarpımıyla ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada, çokludoğrusal haritalar arasında doğal bire-bir karşılaştırma yapılmıştır.

ve doğrusal haritalar

burada ifadesi tensör çarpımıdır.

ve fonksiyonlar arası ilişki şu formül ile verilir:

n×n matrislerindeki çokludoğrusal fonksiyonlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir K değişmeli halkasındaki n×n matrisindeki çokludoğrusal fonksiyonlar, matrisin satırları (veya eşdeğer sütunları) olarak ifade edilir. Diyelim ki A gibi bir bir matris ve , Anın 1 ≤ in aralığındaki satırları olsun. Bu durumda D çokludoğrusal fonksiyonu şöyle yazılabilir:

Daha geniş bir ifade ile;

ifadesini, tanım matrisinin j.inci satırı olarak ele alırsak, her bir satırını şöyle olur.

Dnin çokludoğrusallığı kullanılarak D(A) yı yeniden yazalım;

Her için 1 ≤ i ≤ aralığında sürekli yerine konulursa,

Burada seçtiğimiz aralığında;

İç içe toplamlar serisi elde edilir.

Burada, satırlarında fonksiyonu vasıtasıyla D(A)'nın nasıl elde edildiği görüldü.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

2×2 matrisleri şöyle yazılır;

Burada ve 'dir. D'yi bir alternatif fonksiyon olarak sınırlandırırsak;

ve olur. olursa, 2×2 matrisinde şu determanant fonksiyonunu elde ederiz:

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Çokludoğrusal haritada bir sıfır değeri varsa, bağımsız değişkenlerden biri sıfır olur.

n>1 için, yalnızca n-doğrusal harita ve sıfır fonksiyonudur. Çifte doğrusallık#Örneklere bakınız.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]