Sinüs (matematik)

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla
Sinüs'ün periyodunun gösterimi.
Sinüs'ün dik üçgende gösterimi. o/h.

Matematikte sinüs, trigonometrik bir fonksiyon. Sin kısaltmasıyla ifade edilir.

Merkezi orijin olan 1 birim yarıçaplı çember üzerindeki bir noktanın y eksenine göre koordinatıdır. Orijinden noktaya çizilen bir doğrunun y ekseniyle yaptığı açı kullanılarak ya da aynı açıya sahip bir dik üçgende, bu açının karşısındaki kenarın hipotenüse bölümüyle hesaplanır.

Sinüs fonksiyonu çoğunlukla ışık, ses, harmonik osilatörlerin konumu ve hızı, güneş ışığı yoğunluğu, gündüz uzunluğu ve yıl içindeki ortalama sıcaklık değişimleri gibi periyodik olayları modellemek için kullanılır.

Sinüs fonksiyonunun tarihi Gupta dönemi Hint astronomisinde kullanılan jyā ve koṭi-jyā fonksiyonlarına kadar uzanır. Sinüs fonksiyonu Sanskritçe'den Arapça'ya, daha sonra Arapça'dan Latince'ye çevrilmiştir.[1]

Dik üçgen tanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir dar açı olan α'nın sinüsünü tanımlamak için α açısını içeren bir dik üçgen düşünün. Yandaki görselde  açısı ilgili açı olmak üzere ABC üçgeninin üç kenarını şu şekilde isimlendirebiliriz:

  • Karşı kenar, ilgili açının karşısındaki kenardır (yandaki üçgende o kenarıdır).
  • Hipotenüs, dik açının karşısındaki kenardır (yandaki üçgende h kenarıdır). Hiptenüs bir dik açılı üçgende her zaman en uzun kenardır.
  • Komşu kenar, son kalan kenardır (yandaki üçgende a kenarıdır). Komşu kenar hem dik açıya hem de ilgili açıya komşudur.

Böyle bir üçgende açının sinüsü karşı kenarın hipotenüsü bölümü ile bulunur, veya:

Diğer trigonometrik fonksiyonlar da benzer şekilde tanımlanabilir; Mesela, bir açının kosinüsü komşu kenar ile hipotenüsün oranıdır, bununla beraber tanjant karşı kenar ile komşu kenarın oranınıdır.

Birim çember tanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

Trigonometride birim çember, yarıçapı bir olan ve Kartezyen koordinat sisteminde merkezi orijin'de (0, 0) olan çemberdir.

Orijinden geçen ve x ekseninin pozitif yarımıyla θ açısı yapan bir çizginin birim çember ile kesişimi bir nokta verir. Bu kesişim noktasının x ve y koordinatları sırasıyla cos(θ) ve sin(θ)'e eşittir.

Dik üçgen tanımının aksine birim çember tanımındaki açı bütün gerçek sayılar olabilir.

Özdeşlikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bunlar 'nın tüm değerleri için geçerlidir.

Çarpmaya göre tersi[değiştir | kaynağı değiştir]

Sinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersi kosekanttır. Başka bir deyişle sin(A)'nın çarpmaya göre tersi csc(A) veya cosec(A)'dır. Bir dik üçgende, hipotenüs'ün karşı dik kenara oranına kosekant denir:

Ters fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Sinüs fonksiyonunun tersi arcsinüstür. y = arcsin(x) fonksiyonu sin(y) = x olarak ifade edilebilir. sin(y) = x'i ifade eden birçok y sayısı vardır. Örneğin sin(0) = 0, aynı zamanda sin(π) = 0, sin(2π) = 0 vb. arcsin fonksiyonu da çok değerlidir: arcsin(0) = 0, aynı zamanda arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π vb. Yalnızca tek bir değer belirtildiğinde, fonksiyon kısıtlanır. Bu kısıtlama ile, tanım kümesindeki her bir x için arcsin(x) ifadesi yalnızca tek bir değere karşılık gelir, bu da asıl değer olarak adlandırılır. Bu özellikler tüm ters trigonometrik fonksiyonlarda uygulanır.

k:

Tek bir denklemde:

için bu iki denklem doğrudur:

ve

Kalkülüs[değiştir | kaynağı değiştir]

Sinüs fonksiyonu için:

Türevi:

İlkel fonksiyonu:

C entegrasyon saibitini temsil ediyor.

Yazılımdaki uygulamaları[değiştir | kaynağı değiştir]

Diğer trigonometrik fonksiyonlarla beraber sinüs fonksiyonu birçok proglamlama dillerinde ve platformlarında mevcuttur. Bilgi işlemde genel olarak sin şeklinde kısaltılır.

Intel x87 FPU'ların 80387 ve daha sonraki jenerasyonlarında olduğu gibi bazı CPU mimarileri sinüs için hazır talimatlar içerir.

Proglamlama dillerinde sin genelde ya hazır bir fonksiyondur ya da dilin standart matematik kütüphanesinde bulunur.

Örneğin, C standart kütüphanesinde sinüs fonksiyonları math.h dosyasında tanımlıdır: sin(double), sinf(float), ve sinl(long double). Her fonksiyonun parametrelerinin veri tipi kayan noktadır ve radyan türünden bir açıyı belirtir. Her fonksiyon aldığı veri tipini geri verir. C standart kütüphanesinde sinüsle beraber bir sürü başka trigonometrik fonksiyon da tanımlanmıştır, mesela kosinüs, arksinüs ve hiperbolik sinüs(sinh).

Benzer olarak, Python dilinde de sinüs fonksiyonu (math.sin(x)) hazır math modülünde tanımlıdır. CPython'un matematik fonksiyonları C math kütüphanesini çağırır.

Sinüs hesaplamak için standart bir algoritma yoktur. kayan nokta hesaplamaları için kullanılan en yaygın standart IEEE 754-2008 sinüs gibi trigonometrik fonksiyonların hesaplanması hakkında bilgi vermemektedir.

[2]

Sinüs hesaplamak için kullanılan algoritmalar hız, kesinlik, taşınabilirlik veya veri girişi aralığı gibi sınırlamalar için dengelenebilir. Bu, farklı algoritmaların farklı sonuçlar vermesine yol açabilir, özellikle çok büyük veri girişi (Örneğin: sin(1022)) gibi özel durumlar için.

Özellikle 3 boyutlu bilgisayar grafiklerinde kullanılan yaygın bir optimizasyon tekniği sinüs değerlerinin bir tablosunu önceden hesaplamaktır, örnepin her derece için bir değer. Bu yöntem her seferinde değeri hesaplamak yerine u tablodan bakıp kullanmayı sağlar.

CORDIC algoritması bilimsel hesap makinelerinde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Tur tabanlı uygulamaları[değiştir | kaynağı değiştir]

Bazı yazılım kütüphaneleri veri giriş açısını yarım tur (180 derece) veya radyan olarak almaktadır. Açıyı yarım turla veya turla ifade etmek bazen kesinliklik ve verimlilik avantajları sağlayabilir.

[3] [4]

Environment Function name Angle units
MATLAB sinpi[3] yarım tur
OpenCL sinpi[5] yarım tur
R sinpi[4] yarım tur
Julia sinpi[6] yarım tur
CUDA sinpi[7] yarım tur
ARM sinpi[8] yarım tur

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Uta C. Merzbach, Carl B. Boyer (2011), A History of Mathematics, Hoboken, N.J.: John Wiley & Sons, 3rd ed., p. 189.
  2. ^ Grand Challenges of Informatics, Paul Zimmermann. September 20, 2006 – p. 14/31 "Archived copy" (PDF). 16 Temmuz 2011 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 11 Eylül 2010. 
  3. ^ a b "MATLAB Documentation sinpi
  4. ^ a b "R Documentation sinpi
  5. ^ "OpenCL Documentation sinpi
  6. ^ "Julia Documentation sinpi
  7. ^ "CUDA Documentation sinpi
  8. ^ "ARM Documentation sinpi 17 Ekim 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.