Kullanıcı:KocyigitHakan/deneme tahtası

1851'de George Gabriel Stokes, viskoz bir akışkanda çok küçük Reynolds sayılarına sahip küresel nesnelere uygulanan sürtünme kuvveti (sürükleme kuvveti olarak da adlandırılır) için günümüzde Stokes yasası olarak bilinen bir ifade türetmiştir.^[1] Stokes yasası, Navier-Stokes denklemlerinin küçük Reynolds sayıları için Stokes akış limitinin çözülmesiyle elde edilir.^[2]

Yasanın ifadesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Viskoz bir akışkan içerisinde hareket eden küçük bir küre üzerindeki viskozite kuvveti şu şekilde verilir:^[3]

F_{d}=6\pi \mu Rv

burada:

F_d, sıvı ve parçacık arasındaki arayüze etki eden – Stokes sürüklemesi olarak bilinen – sürtünme kuvvetidir.
μ dinamik viskozitedir (bazı yazarlar η sembolünü kullanır).
R, küresel nesnenin yarıçapıdır.
v nesneye göre akış hızıdır.

SI birimlerinde F_d Newton (= kg m s^-2), μ Pa·s (= kg m^-1 s ^-1), R metre ve v m/s olarak verilir.

Stokes yasası, bir sıvı içindeki bir parçacığın davranışı için aşağıdaki varsayımları yapar:

Laminer akış
Küresel parçacıklar
Homojen (bileşimde tek tip) malzeme
Pürüzsüz yüzeyler
Parçacıklar birbirine karışmaz.

Moleküller için Stokes yasası, Stokes yarıçapını ve çapını tanımlamak için kullanılır.

Kinematik viskozitenin CGS birimi, çalışmasından sonra "stokes" olarak adlandırılmıştır.

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Stokes yasası, sıvının dikey bir cam tüp içinde sabit olduğu düşen küre viskozimetresinin temelidir. Bilinen boyut ve yoğunlukta bir kürenin sıvının içinden aşağı inmesine izin verilir. Doğru seçilirse, tüp üzerinde iki işareti geçmek için geçen süre ile ölçülebilen son hıza ulaşır. Opak sıvılar için elektronik algılama kullanılabilir. Son hız, kürenin boyutu ve yoğunluğu ile sıvının yoğunluğu bilindiğinde, sıvının viskozitesini hesaplamak için Stokes yasası kullanılabilir. Hesaplamanın doğruluğunu artırmak için klasik deneyde normalde farklı çaplarda bir dizi çelik bilyalı rulman kullanılır. Okul deneylerinde, sıvı olarak gliserin veya altın şurubu kullanılır ve bu teknik, proseslerde kullanılan sıvıların viskozitesini kontrol etmek için endüstriyel olarak kullanılır. Bazı okul deneyleri, genellikle viskozite üzerindeki etkilerini göstermek için kullanılan maddelerin sıcaklığının ve/veya derişiminin değiştirilmesini içerir. Endüstriyel yöntemler, birçok farklı yağı ve çözeltiler gibi polimer sıvıları içerir.

Stokes yasasının önemi, en az üç Nobel Ödülü'ne yol açan araştırmada kritik bir rol oynaması gerçeğiyle gösterilmektedir.^[4]

Stokes yasası, mikroorganizmaların ve spermlerin yüzmesini ve ayrıca, yerçekimi kuvveti altında sudaki küçük parçacıkların ve organizmaların çökeltilmesini anlamak için önemlidir.^[5]

Aynı teori, küçük su damlacıklarının (veya buz kristallerinin) kritik bir boyuta gelinceye ve yağmur (veya kar ve dolu) olarak düşmeye başlayıncaya kadar havada (bulutlar olarak) asılı kalmasını açıklamak için kullanılabilir.^[6] Denklemin benzer kullanımı, ince parçacıkların su veya diğer sıvılar içerisinde yerleşmesi için yapılabilir.^{[kaynak belirtilmeli]}

Bir sıvıya düşen kürenin son hızı[değiştir | kaynağı değiştir]

Son (veya ayarlanan) hızda, kürenin ağırlığı ve kaldırma kuvveti arasındaki farktan (her ikisi de yerçekiminden kaynaklanır^[7]) kaynaklanan aşırı kuvvet F_g şu şekilde verilir:

F_{g}=\left(\rho _{p}-\rho _{f}\right)\,g\,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3},

ρ_p ve ρ_f sırasıyla kürenin ve sıvının kütle yoğunlukları ve g yerçekimi ivmesidir. F_d = F_g kuvvet dengesinin istenmesi ve v hızının çözülmesi, terminal hıza karşı terminal hızı verir. Aşırı kuvvet R³ olarak arttığından ve Stokes'un sürüklemesi R olarak arttığından, terminal hızın R² olarak arttığına ve bu nedenle aşağıda gösterildiği gibi parçacık boyutuyla büyük ölçüde değiştiğine dikkat edin. Bir parçacık viskoz bir sıvıya düşerken yalnızca kendi ağırlığını taşıyorsa, sıvı nedeniyle parçacık üzerindeki sürtünme ve kaldırma kuvvetlerinin toplamı yerçekimi kuvvetini tam olarak dengelediğinde bir son hıza ulaşılır. Bu hız v (m/s) şu şekilde verilir:^[8]

v={\frac {2}{9}}{\frac {\left(\rho _{p}-\rho _{f}\right)}{\mu }}g\,R^{2}

(ρ_p > ρ_f ise dikey olarak aşağı, ρ_p < ρ_f ise yukarı doğru), burada:

g yerçekimi alan kuvvetidir (m/s²)
R, küresel parçacığın yarıçapıdır (m)
ρ_p parçacığın kütle yoğunluğudur (kg/m³)
ρ_f akışkanın kütle yoğunluğudur (kg/m³)
μ dinamik viskozitedir (kg/(m*s)).

Türetme[değiştir | kaynağı değiştir]

Sabit Stokes akışı[değiştir | kaynağı değiştir]

Stokes akışında; çok düşük Reynolds sayısında, Navier-Stokes denklemlerindeki konvektif ivme terimleri ihmal edilir. Daha sonra sıkıştırılamaz bir sürekli akış için akış denklemleri şöyle olur:^[9]

{\begin{aligned}&\nabla p=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\mu \,\nabla \times \mathbf {\boldsymbol {\omega }} ,\\&\nabla \cdot \mathbf {u} =0,\end{aligned}}

burada:

p sıvı basıncıdır (Pa cinsinden),
u akış hızıdır (m/s cinsinden) ve
ω vortisitidir (s^-1 cinsinden), şu şekilde tanımlanır: ${\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} .$

Bazı vektör hesap özdeşlikleri kullanılarak; bu denklemlerin, vortisite vektörünün her bir bileşeni ve ayrıca basınç için Laplace denklemleriyle sonuçlandığı gösterilebilir:^[10]

\nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0

ve

\nabla ^{2}p=0.

Yerçekimi ve kaldırma kuvveti gibi ek kuvvetler dikkate alınmamıştır, ancak yukarıdaki denklemler lineer olduğundan kolaylıkla eklenebilir, bu nedenle çözümlerin lineer süperpozisyonu ve ilgili kuvvetler uygulanabilir.

^ Stokes, G. G. (1851). "On the effect of internal friction of fluids on the motion of pendulums". Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 9, part ii: 8–106. Bibcode:1851TCaPS...9....8S. The formula for terminal velocity (V) appears on p. [52], equation (127).
^ Batchelor (1967), p. 233.
^ Laidler, Keith J.; Meiser, John H. (1982). Physical Chemistry. Benjamin/Cummings. s. 833. ISBN 0-8053-5682-7.
^ Dusenbery, David (2009). Living at micro scale : the unexpected physics of being small. Cambridge, Mass: Harvard University Press. ISBN 978-0-674-03116-6. OCLC 225874255.
^ Dusenbery, David (2009). Living at micro scale : the unexpected physics of being small. Cambridge, Mass: Harvard University Press. ISBN 978-0-674-03116-6. OCLC 225874255.
^ Hadley, Peter. "Why don't clouds fall?". Institute of Solid State Physics, TU Graz. Erişim tarihi: 30 May 2015.
^ Lamb (1994), §337, p. 599.
^ Lamb (1994), §337, p. 599.
^ Batchelor (1967), section 4.9, p. 229.
^ Batchelor (1967), section 4.9, p. 229.

[1] Stokes, G. G. (1851). "On the effect of internal friction of fluids on the motion of pendulums". Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 9, part ii: 8–106. Bibcode:1851TCaPS...9....8S. The formula for terminal velocity (V) appears on p. [52], equation (127).

[Batch2332-2] Batchelor (1967), p. 233.

[3] Laidler, Keith J.; Meiser, John H. (1982). Physical Chemistry. Benjamin/Cummings. s. 833. ISBN 0-8053-5682-7.

[Dusenbery20092-4] Dusenbery, David (2009). Living at micro scale : the unexpected physics of being small. Cambridge, Mass: Harvard University Press. ISBN 978-0-674-03116-6. OCLC 225874255.

[Dusenbery200922-5] Dusenbery, David (2009). Living at micro scale : the unexpected physics of being small. Cambridge, Mass: Harvard University Press. ISBN 978-0-674-03116-6. OCLC 225874255.

[6] Hadley, Peter. "Why don't clouds fall?". Institute of Solid State Physics, TU Graz. Erişim tarihi: 30 May 2015.

[Lamb59922-7] Lamb (1994), §337, p. 599.

[Lamb5992-8] Lamb (1994), §337, p. 599.

[Batch2292-9] Batchelor (1967), section 4.9, p. 229.

[Batch22922-10] Batchelor (1967), section 4.9, p. 229.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]