Hurwitz zeta fonksiyonu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematik'te, Hurwitz zeta fonksiyonu, adını Adolf Hurwitz'ten almıştır, çoğunlukla zeta fonksiyonu denir. Formel tanımı için kompleks değişken s 'in Re(s)>1 ve q 'nun Re(q)>0 yardımıyla

\zeta(s,q) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(q+n)^{s}}.

Bu serinin tanımı verilen s ve q değerleri için mutlak yakınsaktır. Meromorf fonksiyon'a genişletilebilir. Bütün s≠1 değerleri için geçerlidir. Riemann zeta fonksiyonu için ζ(s,1)dir.

Analitik devamlılık[değiştir | kaynağı değiştir]

Hurwitz zeta fonksiyonu için analitik devamlılık genişletilirse meromorf fonksiyon olarak tanımlanır, bütün kompleks sayılar için s ile s ≠ 1. s = 1 bir basit kutup vardır. artık 1. Sabit terimlerle verilirse

\lim_{s\to 1} \left[ \zeta (s,q) - \frac{1}{s-1}\right] = 
\frac{-\Gamma'(q)}{\Gamma(q)} = -\psi(q)

burada Γ Gama fonksiyonu'dur ve ψ digama fonksiyonu'dur.

Seri Gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

q > −1 ve herhangi kompleks s ≠ 1 için bir yakınsak seri gösterimi tanımı 1930'da Helmut Hasse tarafından verildi. [1]:

\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} 
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n+1}
\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{1-s}.

Bu yakınsak seri s-düzleminde tam fonksiyon'un tekdüze tıkız altküme'sidir. Burada q^{1-s} n inci ileri fark iç toplamı olarak görülebilir; bu şöyledir,

\Delta^n q^{1-s} = \sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n \choose k} (q+k)^{1-s}

Burada Δ ileri fark operatorü'dür. Böylece, yazmak istersek,

\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1} 
\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} \Delta^n q^{1-s}
= \frac{1}{s-1} {\log(1 + \Delta) \over \Delta} q^{1-s}.

Integral Gösterimi[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu fonksiyonun integral gösterimi Mellin dönüşümü'nün terimleri içindedir

\zeta(s,q)=\frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty 
\frac{t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}dt

için \Re s>1 and \Re q >0.

Hurwitz formülü[değiştir | kaynağı değiştir]

Hurwitz formülü bu teoremdir:

\zeta(1-s,x)=\frac{1}{2s}\left[e^{-i\pi s/2}\beta(x;s) + e^{i\pi s/2} \beta(1-x;s) \right]

burada

\beta(x;s)=
2\Gamma(s+1)\sum_{n=1}^\infty \frac {\exp(2\pi inx) } {(2\pi n)^s}=
\frac{2\Gamma(s+1)}{(2\pi)^s} \mbox{Li}_s (e^{2\pi ix})

Bu gösterim 0\le x\le 1 aralığı ve s>1 değerleri içindir, burada, \mbox{Li}_s (z) polilogaritma'dır.

Fonksiyonel denklem[değiştir | kaynağı değiştir]

Zetanın kompleks düzlemde sağ sol yarı düzlemde fonksiyonel denklem'le ilişkili değerleri 1\leq m \leq n tamsayıları için

\zeta \left(1-s,\frac{m}{n} \right) = 
\frac{2\Gamma(s)}{ (2\pi n)^s } 
\sum_{k=1}^n \cos 
\left( \frac {\pi s} {2} -\frac {2\pi k m} {n} \right)\;
\zeta \left( s,\frac {k}{n} \right)

bütün s değerleri için geçerlidir..

Taylor serisi[değiştir | kaynağı değiştir]

İkinci değişken bir zeta türevi ve bir shift(kayma)'dır:

\frac {\partial} {\partial q} \zeta (s,q) = -s\zeta(s+1,q).

Böylece, Taylor serisi'nin eşik formu vardır:

\zeta(s,x+y) = \sum_{k=0}^\infty \frac {y^k} {k!} 
\frac {\partial^k} {\partial x^k} \zeta (s,x) =
\sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} (-y)^k \zeta (s+k,x).

Kapalılık ilişkisi Stark-Keiper formülüdür:

\zeta(s,N) = 
\sum_{k=0}^\infty \left[ N+\frac {s-1}{k+1}\right]
{s+k-1 \choose s-1} (-1)^k \zeta (s+k,N)

tamsayı değerleri için N değişke için s tir. Bakınız Faulhaber formülü tamsayıların kuvvet serisi sonlu toplamı için benzer bir ilişki.

Fourier dönüşümü[değiştir | kaynağı değiştir]

Hurwitz zeta fonksiyonunun ayrık Fourier dönüşümü'nde skonulduğunda Legendre chi fonksiyonu olur.

Bernoulli polinomları ile ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

\beta fonksiyonunun genelleştirilmiş şekli Bernoulli polinomları'dır:

B_n(x) = -\Re \left[ (-i)^n \beta(x;n) \right]

burada \Re z z reel kısmı gösterir. Karşıt olarak,

\zeta(-n,x)=-{B_{n+1}(x) \over n+1}.

Özel olarak, n=0 değeri için

\zeta(0,x)= \frac{1}{2} -x.

Jacobi teta fonksiyonu ile ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

\vartheta (z,\tau) fonksiyonuna Jacobi teta fonksiyonu denir, burada

\int_0^\infty \left[\vartheta (z,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}= 
\pi^{-(1-s)/2} \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) 
\left[ \zeta(1-s,z) + \zeta(1-s,1-z) \right]

\Re s > 0 ise ve z kompleks ise, ama bir tamsayı değilse.. z=n tamsayısı için ,bu basitçe

\int_0^\infty \left[\vartheta (n,it) -1 \right] t^{s/2} \frac{dt}{t}= 
2\  \pi^{-(1-s)/2} \ \Gamma \left( \frac {1-s}{2} \right) \zeta(1-s)
=2\  \pi^{-s/2} \ \Gamma \left( \frac {s}{2} \right) \zeta(s).

Burada ζ Riemann zeta fonksiyonu'dur. Buradaki ikinci formun fonksiyonel denklem'in orijinali Riemann tarafından verilen Riemann zeta fonksiyonu olduğu unutulmamalıdır. z ayrık tabanlı bir tamsayı olmalıdır ve burada z nin t\rightarrow 0 için Jacobi teta fonksiyonunun Dirac delta fonksiyonu'na yakınsaması hesaplanamaz.

Dirichlet L-fonksiyonu ile ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Dirichlet L-fonksiyonu ile Hurwitz zeta fonksiyonu lineer kombinasyon olarak ifade edilebilir. aynı şekilde:ζ(s) eşitlik q=1, q=1/2 ve q=n/k ve bunun yanında k>2, (n,k)>1 ise 0<n<k ise .(2s-1)ζ(s),ya gider Hurwitz zeta fonksiyonu ,Riemann zeta fonksiyonu ile çakışır ve ,sonuç olarak

\zeta(s,n/k)=\sum_\chi\overline{\chi}(n)L(s,\chi),

Dirichlet karakteri her zaman mod k 'dır. Ters yönde de bizim lineer kombinasyonumuz var

L(s,\chi)=\frac {1}{k^s} \sum_{n=1}^k \chi(n)\; \zeta \left(s,\frac{n}{k}\right).

Burada çarpım teoremi

k^s\zeta(s)=\sum_{n=1}^k \zeta\left(s,\frac{n}{k}\right),

şöyle bir genelleştirme kullanılabilir

\sum_{p=0}^{q-1}\zeta(s,a+p/q)=q^s\,\zeta(s,qa).

(Bu son formda q değeri bir doğal sayıdır ve 1-qa doğal sayı değildir.)

Sıfırlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer "q" = 1 ise Hurwitz zeta fonksiyonu kendini Riemann zeta'ya indirger , q = 1 / 2 durumunda ise basit bir fonksiyonun s karmaşık argümanı çarpımı ile Riemann zeta fonksiyonuna indirgenir (s için yukarıya bakınız), her durumda Riemann zeta fonksiyonunda sıfır ile çalışmak zordur. Özellikle, burada daha gerçel kısmı 1 veya daha büyük ve hiçbir sıfır olmayacaktır. Ancak,Hurwitz's zeta fonksiyonu için 0 <q <1 ve q ≠ 1 / 2, olduğunda ise o zaman 1<Re(s)<1+ε aralığında ε gerçeldir. . Bu Davenport ve Heilbronn[2] tarafından [2] rasyonel ve cebirsel olmayan irrasyonel q ve Cassels[3] tarafından [3]ise cebirsel irrasyonel q için ispat edildi.

Rasyonel değerler[değiştir | kaynağı değiştir]

The Hurwitz zeta function occurs in a number of striking identities at rational values (given by Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski, reference below). In particular, values in terms of the Euler polynomials E_n(x):

E_{2n-1}\left(\frac{p}{q}\right) = 
(-1)^n \frac{4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}
\sum_{k=1}^q \zeta\left(2n,\frac{2k-1}{2q}\right)
\cos \frac{(2k-1)\pi p}{q}

ve

E_{2n}\left(\frac{p}{q}\right) = 
(-1)^n \frac{4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}
\sum_{k=1}^q \zeta\left(2n+1,\frac{2k-1}{2q}\right)
\sin \frac{(2k-1)\pi p}{q}

Birde şu var:

\zeta\left(s,\frac{2p-1}{2q}\right) = 
2(2q)^{s-1} \sum_{k=1}^q \left[
C_s\left(\frac{k}{q}\right) \cos \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right) +
S_s\left(\frac{k}{q}\right) \sin \left(\frac{(2p-1)\pi k}{q}\right) 
\right]

1\le p \le qdeğeri için. Burada, C_\nu(x) ve S_\nu(x) ifadesiLegendre chi function anlamına gelir \chi_\nu as

C_\nu(x) = \operatorname{Re}\, \chi_\nu (e^{ix})

ve

S_\nu(x) = \operatorname{Im}\, \chi_\nu (e^{ix}).

For integer values of ν, these may be expressed in terms of the Euler polynomials. These relations may be derived by employing the functional equation together with Hurwitz's formula, given above.

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Hurwitz zeta fonksiyonu'nun birçok disiplin içinde uygulamaları vardır . En yaygın, sayı teorisi'nde ortaya çıkar, ve gelişmiş derinleşmiş teoridir.. Bunun yanında, fraktal'ler ve dinamik sistemler'in derinlemesine araştırılmasında kullanılır.istatistik uygulamalarında ;Zipf's kanunu ve Zipf-Mandelbrot kanunu'nda..parçacık fiziği'nde; Julian Schwinger'in bir formülünün içindeki [4] dirac'ın bir oranı düzgün elektrik alanındaki elektron çift üretimi için kesin sonuç verir.

Özel durumlar ve genellemeler[değiştir | kaynağı değiştir]

Hurwitz zeta fonksiyonunun genelleştirilmiş şekli poligama fonksiyonu'dur:

\psi^{(m)}(z)= (n-1)^{m+1} m! \zeta (m+1,z).\,

Hurwitz zeta'nın genelleştirilmiş şekli Lerch transandant'ıdır :

\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty 
\frac { z^k} {(k+q)^s}

ve böylece

\zeta (s,q)=\Phi(1, s, q).\,

Hipergeometrik fonksiyon

\zeta(s,a)=a^{-s}\cdot{}_{s+1}F_s(1,a_1,a_2,\ldots a_s;a_1+1,a_2+1,\ldots a_s+1;1)\qquad\qquad a_1=a_2=\ldots=a_s=a\text{ und }a\notin\N\text{ und }s\in\N^+.

Meijer G-fonksiyon

\zeta(s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1 \; \left| \; \begin{matrix}0,1-a,\ldots,1-a\\0,-a,\ldots,-a\end{matrix}\right)\right.\qquad\qquad s\in\N^+.

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458-464.
  2. ^ Davenport, H. and Heilbronn, H. On the zeros of certain Dirichlet series J. London Math. Soc. 11 (1936), pp. 181-185
  3. ^ Cassels, J. W. S. Footnote to a note of Davenport and Heilbronn J. London Math. Soc. 36 (1961), pp. 177-184
  4. ^ Schwinger, J., On gauge invariance and vacuum polarization, Phys. Rev. 82 (1951), pp. 664-679.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]