Özel fonksiyonların önemli bir bölümünü oluşturan hipergeometrik fonksiyonlar matematik , fizik , mühendislik ve olasılıkta karşımıza çıkar.
Hipergeometrik Seri ve Hipergeometrik Fonksiyonlar [ değiştir | kaynağı değiştir ]
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
γ
{\displaystyle \gamma }
reel ya da kompleks sabitler olmak üzere
1
+
α
β
γ
x
1
!
+
α
(
α
+
1
)
β
(
β
+
1
)
γ
(
γ
+
1
)
x
2
2
!
+
.
.
.
{\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{\gamma }}{\frac {x}{1!}}+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{\gamma (\gamma +1)}}{\frac {x^{2}}{2!}}+...}
1
+
x
+
x
2
+
.
.
.
{\displaystyle 1+x+x^{2}+...}
geometrik serisinin bir genelleştirilmesi olduğundan bu adı alır.
γ
{\displaystyle \gamma }
|
x
|
<
1
{\displaystyle \left|x\right|<1}
|
x
|
>
1
{\displaystyle \left|x\right|>1}
ıraksaktır .
|
x
|
=
1
{\displaystyle \left|x\right|=1}
γ
>
α
+
β
{\displaystyle \gamma >\alpha +\beta }
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
γ
>
α
+
β
−
1
{\displaystyle \gamma >\alpha +\beta -1}
yakınsaktır .
Hipergeometrik serisi aşağıdaki şekilde yazılabilir.
2
F
1
(
α
,
β
;
γ
;
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
a
)
n
(
β
)
n
(
γ
)
n
x
n
n
!
{\displaystyle _{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(\beta )_{n}}{(\gamma )_{n}}}\,{\frac {x^{n}}{n!}}}
Hipergeometrik fonksiyonu ifade eden
2
F
1
{\displaystyle _{2}F_{1}}
F
{\displaystyle F}
F
(
α
,
β
;
γ
;
x
)
=
2
F
1
(
α
,
β
;
γ
;
x
)
{\displaystyle F(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)=_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)}
p
F
q
(
a
1
,
…
,
a
p
;
b
1
,
…
,
b
q
;
z
)
=
∑
n
=
0
∞
(
a
1
)
n
…
(
a
p
)
n
(
b
1
)
n
…
(
b
q
)
n
x
n
n
!
{\displaystyle \,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\dots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\dots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {x^{n}}{n!}}}
p
F
q
(
a
1
,
…
,
a
p
;
b
1
,
…
,
b
q
;
z
)
=
∑
k
=
0
∞
∏
i
=
1
p
Γ
(
k
+
a
i
)
Γ
(
a
i
)
∏
j
=
1
q
Γ
(
b
j
)
Γ
(
k
+
b
j
)
z
k
k
!
;
p
,
q
∈
N
0
,
{\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\frac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\frac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\frac {z^{k}}{k!}};\quad p,q\in \mathbb {N} _{0},}
