139. satır:
139. satır:
* [http://www.uv.es/~bernardo/1976AppStatist.pdf] - Bernardo Statistical algorithm Psi(digamma function) computation, pp. 1
* [http://www.uv.es/~bernardo/1976AppStatist.pdf] - Bernardo Statistical algorithm Psi(digamma function) computation, pp. 1
[[Kategori:Matematik]]
[[Kategori:Faktöriyel ve binomi konuları ]]
[[km:អនុគមន៍ ឌីហ្គាំម៉ា]]
[[km:អនុគមន៍ ឌីហ្គាំម៉ា]]
kompleks düzlem 'de
ψ
(
s
)
{\displaystyle \psi (s)}
s
{\displaystyle s}
ψ
(
s
)
{\displaystyle \psi (s)}
argument değerleridir.Matematik 'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu 'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:
ψ
(
x
)
=
d
d
x
ln
Γ
(
x
)
=
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
.
{\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}
Bu poligama fonksiyonu 'nun ilkidir.
Harmonik sayılar ile ilişkisi Digamma fonksiyon 'u , sıklıkla ψ0 (x ), ψ0 (x ) veya
ϝ
{\displaystyle \digamma }
digama 'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir.
Harmonik sayılar 'la ilişkisi
ψ
(
n
)
=
H
n
−
1
−
γ
{\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!}
Burada H n n 'inci harmonik sayıdır, ve γ Euler-Mascheroni sabiti 'dir. yarı tamsayı değerleri için, açılım
ψ
(
n
+
1
2
)
=
−
γ
−
2
ln
2
+
∑
k
=
1
n
2
2
k
−
1
{\displaystyle \psi \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}}
Integral Gösterimleri integral gösterimi
ψ
(
x
)
=
∫
0
∞
(
e
−
t
t
−
e
−
x
t
1
−
e
−
t
)
d
t
{\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt}
x
{\displaystyle x}
ψ
(
s
+
1
)
=
−
γ
+
∫
0
1
1
−
x
s
1
−
x
d
x
{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx}
harmonik sayılar için Euler integrali 'dir .
Seri formülü Digamma negatif tamsayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla
ψ
(
z
+
1
)
=
−
γ
+
∑
n
=
1
∞
(
z
n
(
n
+
z
)
)
,
z
≠
−
1
,
−
2
,
−
3
,
.
.
.
{\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),z\neq -1,-2,-3,...}
Taylor serisi Digama Taylor serisi 'nde z =1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir , .
Burada
ψ
(
z
+
1
)
=
−
γ
−
∑
k
=
1
∞
ζ
(
k
+
1
)
(
−
z
)
k
{\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)\;(-z)^{k}}
yakınsaklık için |z |<1. Burada,
ζ
(
n
)
{\displaystyle \zeta (n)}
Riemann zeta fonksiyonu 'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu 'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.
Newton serisi Digama için Newton serisi Euler integral formulü ile :
ψ
(
s
+
1
)
=
−
γ
−
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
k
(
s
k
)
{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}}
Burada
(
s
k
)
{\displaystyle \textstyle {s \choose k}}
binom katsayısı 'dır.
Refleksiyon formülü Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu 'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar
ψ
(
1
−
x
)
−
ψ
(
x
)
=
π
cot
(
π
x
)
{\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)}}
Özyineleme formülü tekrarlama ilişkisi 'ne dayanılarak
Digamma fonksiyonu
ψ
(
x
+
1
)
=
ψ
(
x
)
+
1
x
{\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}}
Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir , bu nedenle
Δ
[
ψ
]
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}}
Burada Δ ileri diferansiyel operator 'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri 'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi 'ne karşı gelir ,
ψ
(
n
)
=
H
n
−
1
−
γ
{\displaystyle \psi (n)\ =\ H_{n-1}-\gamma }
burada
γ
{\displaystyle \gamma \,}
Euler-Mascheroni sabiti 'dir.
Daha genel bir ifade,
ψ
(
x
+
1
)
=
−
γ
+
∑
k
=
1
∞
(
1
k
−
1
x
+
k
)
{\displaystyle \psi (x+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)}
Gauss toplamı Digama'nın Gaussian toplam formu
−
1
π
k
∑
n
=
1
k
sin
(
2
π
n
m
k
)
ψ
(
n
k
)
=
ζ
(
0
,
m
k
)
=
−
B
1
(
m
k
)
=
1
2
−
m
k
{\displaystyle {\frac {-1}{\pi k}}\sum _{n=1}^{k}\sin \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=\zeta \left(0,{\frac {m}{k}}\right)=-B_{1}\left({\frac {m}{k}}\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {m}{k}}}
Tamsayılar için
0
<
m
<
k
{\displaystyle 0<m<k}
s ,q ) Hurwitz zeta fonksiyonu 'dur ve
B
n
(
x
)
{\displaystyle B_{n}(x)}
Bernoulli polinomu 'dur.Çarpma teoremi 'nin özel bir durumu ;
∑
n
=
1
k
ψ
(
n
k
)
=
−
k
(
γ
+
log
k
)
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=-k(\gamma +\log k),}
ve genelleştirilmiş şekli
∑
p
=
0
q
−
1
ψ
(
a
+
p
/
q
)
=
q
(
ψ
(
q
a
)
−
ln
(
q
)
)
,
{\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\psi (a+p/q)=q(\psi (qa)-\ln(q)),}
Burada q 'nun doğal sayı, ve 1-qa 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .
Gauss'un digama teoremi Pozitif tamsayılar m ve k ( m < k ) şartıyla,digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi
ψ
(
m
k
)
=
−
γ
−
ln
(
2
k
)
−
π
2
cot
(
m
π
k
)
+
2
∑
n
=
1
⌈
(
k
−
1
)
/
2
⌉
cos
(
2
π
n
m
k
)
ln
(
sin
(
n
π
k
)
)
{\displaystyle \psi \left({\frac {m}{k}}\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {m\pi }{k}}\right)+2\sum _{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\ln \left(\sin \left({\frac {n\pi }{k}}\right)\right)}
Hesaplama & yaklaşıklık J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile x , gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir,
ψ
(
x
)
=
l
n
(
x
)
−
1
2
x
−
1
12
x
2
+
1
120
x
4
−
1
252
x
6
+
O
(
1
x
8
)
{\displaystyle \psi (x)=ln(x)-{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+O\left({\frac {1}{x^{8}}}\right)}
veya
ψ
(
x
)
=
l
n
(
x
)
−
1
2
x
+
∑
n
=
1
∞
ζ
(
1
−
2
n
)
x
2
n
{\displaystyle \psi (x)=ln(x)-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{x^{2n}}}}
ψ
(
x
)
=
l
n
(
x
)
−
1
2
x
−
∑
n
=
1
∞
B
(
2
n
)
2
n
(
x
2
n
)
{\displaystyle \psi (x)=ln(x)-{\frac {1}{2x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B(2n)}{2n(x^{2n})}}}
n tamsayı, B(n) n 'inci Bernouilli sayısı ve
ζ
(
n
)
{\displaystyle \zeta (n)}
Riemann zeta fonksiyonu 'dur.
Özel değerler Digama fonksiyonu için bazı özel değerler:
ψ
(
1
)
=
−
γ
{\displaystyle \psi (1)=-\gamma \,\!}
ψ
(
1
2
)
=
−
2
ln
2
−
γ
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2}}\right)=-2\ln {2}-\gamma }
ψ
(
1
3
)
=
−
π
2
3
−
3
2
ln
3
−
γ
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3}-\gamma }
ψ
(
1
4
)
=
−
π
2
−
3
ln
2
−
γ
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma }
ψ
(
1
6
)
=
−
π
2
3
−
2
ln
2
−
3
2
ln
(
3
)
−
γ
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln(3)-\gamma }
ψ
(
1
8
)
=
−
π
2
−
4
ln
2
−
1
2
{
π
+
ln
(
2
+
2
)
−
ln
(
2
−
2
)
}
−
γ
{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{8}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left\{\pi +\ln(2+{\sqrt {2}})-\ln(2-{\sqrt {2}})\right\}-\gamma }
Bakınız Kaynakça Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972. See section §6.4
Eric W. Weisstein , Digamma function MathWorld )Dış bağlantılar Cephes - C and C++ language special functions math library[1] - Bernardo Statistical algorithm Psi(digamma function) computation, pp. 1
={\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f937d04ca5581f9bf986c18bf170bdc9b376cc8)
