Euler sayıları

Matematikte Euler sayıları, Taylor serisi açılımıyla tanımlanan bir E_n tam sayı dizisidir. (OEIS'de A122045 dizisi).

${\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}$

Burada $\cosh(t)$, hiperbolik kosinüs fonksiyonudur. Euler sayıları, Euler polinomlarının özel bir değeriyle ilgilidir, yani:

$E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}})$

Euler sayıları, sekant ve hiperbolik sekant fonksiyonlarının Taylor serisi açılımlarında görünmektedir. İkincisi, tanımdaki fonksiyondur. Ayrıca kombinatoriklerde, özellikle çift sayıda elemanlı bir kümenin alternatif permütasyonlarının sayısını sayarken ortaya çıkmaktadırlar.

Örnekler

Tek indeksli Euler sayılarının tümü sıfırdır. Çift indeksli olanlar, (OEIS'de A028296 dizisi) değişken işaretlere sahiptir. Bazı değerler şunlardır:

E0	=	1
E2	=	−1
E4	=	5
E6	=	−61
E8	=	1385
E10	=	-50 521
E12	=
E14	=	-199 360 981
E16	=
E18	=	-2 404 879 675 441

Bazı yazarlar, sıfır değerine sahip tek sayılı Euler sayılarını çıkarmak veya tüm işaretleri pozitif olarak değiştirmek için diziyi yeniden indekslemektedir (OEIS'de A000364 dizisi). Bu madde, yukarıda kabul edilen sözleşmeye bağlıdır.

Açık formüller

İkinci tür Stirling sayıları

Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını ikinci tür Stirling sayıları cinsinden ifade etmektedir.

$E_{r}=2^{2r-1}\sum _{k=1}^{r}{\frac {(-1)^{k}S(r,k)}{k+1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{(k)}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{(k)}\right),$

$E_{2l}=-4^{2l}\sum _{k=1}^{2l}(-1)^{k}\cdot {\frac {S(2l,k)}{k+1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{(k)},$

Burada $S(r,k)$ ikinci türden Stirling sayılarını göstermektedir ve $x^{(n)}=(x)(x+1)\cdots (x+n-1)$ yükselen faktöriyelini ifade etmektedir.

Çift toplam

Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını çift toplamlar olarak ifade etmektedir.

$E_{2k}=(2k+1)\sum _{\ell =1}^{2k}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2k}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2k},$

$E_{2k}=\sum _{i=1}^{2k}(-1)^{i}{\frac {1}{2^{i}}}\sum _{\ell =0}^{2i}(-1)^{\ell }{\binom {2i}{\ell }}(i-\ell )^{2k}.$

Yinelemeli toplam

Euler sayıları için açık bir formül:

$E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {(-1)^{j}(k-2j)^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},$

Burada i, i² = −1 ile hayali birimi göstermektedir.

Bölümlerin toplamı

Euler sayısı E_2n, 2n'nin çift bölümlerinin toplamı olarak ifade edilebilmektedir.

$E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},$

2n − 1'in tek bölümlerinin toplamının yanı sıra,

$E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},$

Her iki durumda da K = k₁ + ··· + k_n ve

${\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}$

çok terimli bir katsayıdır. Yukarıdaki formüllerdeki Kronecker deltaları, ks üzerindeki toplamları sırasıyla 2k₁ + 4k₂ + ··· + 2nk_n = 2n ve k₁ + 3k₂ + ··· + (2n − 1)k_n = 2n − 1.

Örnek olarak,

${\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}$

Determinant

E_2n determinant tarafından verilmektedir.

${\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}$

İntegral

E_2n ayrıca aşağıdaki integrallerle verilmektedir:

${\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int _{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\tan x)\,dx=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int _{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}$

Kongrüanslar

W. Zhang, herhangi bir asal $p$ için Euler sayılarıyla ilgili aşağıdaki birleşik özdeşlikleri elde etmiştir.

$(-1)^{\frac {p-1}{2}}E_{p-1}\equiv \textstyle {\begin{cases}0\mod p&{\text{eğer }}p\equiv 1{\bmod {4}};\\-2\mod p&{\text{eğer }}p\equiv 3{\bmod {4}}.\end{cases}}$

W. Zhang ve Z. Xu herhangi bir $p\equiv 1{\pmod {4}}$ asal ve $\alpha \geq 1$ tam sayı için,

$E_{\phi (p^{\alpha })/2}\not \equiv 0{\pmod {p^{\alpha }}}$

burada $\phi (n)$, Euler'in totient işlevidir.

Asimptotik yaklaşım

Euler sayıları, aşağıdaki alt sınıra sahip oldukları için büyük endeksler için oldukça hızlı bir şekilde büyümektedir.

$|E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.$

Euler zikzak sayıları

Taylor serisi $\sec x+\tan x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n}$

A_n ile başlayan Euler zikzak sayıları

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (OEIS'de A000111 dizisi)

Hepsi için n,

$A_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n}$

burada E_n Euler sayısıdır; ve tüm tek n için,

$A_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}}$

B_n Bernoulli sayısıdır.

Her n için,

${\frac {A_{n-1}}{(n-1)!}}\sin {\left({\frac {n\pi }{2}}\right)}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {A_{m}}{m!(n-m-1)!}}\sin {\left({\frac {m\pi }{2}}\right)}={\frac {1}{(n-1)!}}$

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Euler numbers", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Eric W. Weisstein, Euler number (MathWorld)