Euler formülü

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Euler denklemi,

 e^{inx} = \cos(nx)+i\sin(nx) \,

şeklindeki eşitliktir. Burada i kompleks sayı \sqrt{-1} dir ve sin, cos ve  e^{nx} için gerekli tüm türev ve integral koşullarını sağlamaktadır.

Bir örnekle ispatı[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu basit türev denklemlerini kullanarak,

  1. \frac{d}{dx}\sin(nx)=n\cos(nx)
  2. \frac{d}{dx}\cos(nx)=-n\sin(nx)
  3. \frac{d}{dx}e^{nx}=ne^{nx}

Euler formülünün iki tarafının türevini alalım:

  • \frac{d}{dx}e^{inx}=ine^{inx}=in\cos(nx)-n\sin(nx)
  • \frac{d}{dx}(\cos(nx)+i\sin(nx))=in\cos(nx)-n\sin(nx)

Görüyoruz ki denklemin iki tarafının da türevini aldığımızda aynı sonucu bulduk, ki bu bizim teoremimizi ispatlar.

Formülün varyantları[değiştir | kaynağı değiştir]

Euler formülü'nde x yerine

\ln(x)\!,
e^{ix}\!,
ix+e^{ix}\!,
x^{i}\!

gibi değişkenler konularak yeni bağıntılar türetilebilir. Bu bağıntılardan yaralanılarak yeni trigonometrik bağıntılara varılabilir. Ve yine bir kümenin alt küme sayılarını veren Bell sayıları'nı veren üreteç fonksiyonu'nde kompleks değişken verilerek trigonometrik analog'u bulunabilir. Aşağıda belirtilen gösterim şekilleri benzeştiği temel fonksiyon'a göredir:

Cebirsel gösterim[değiştir | kaynağı değiştir]

e^{ix} = \cos x + i \sin x \!

ifadesinde x yerine \ln(x)\,n\! konursa

x^{i\,n} = \cos (\ln(x)\,n) + i \sin (\ln(x)\,n) \!

ve bu bu ifade yukardakinin daha genel şeklidir.

\cos (\ln(x)\,n) = \frac{x^{i\,n}+ x^{-i\,n}}{2} \!,
\sin (\ln(x)\,n) = \frac{x^{i\,n}- x^{-i\,n}}{2\,i} \! elde edilir

(n sabit bir sayı veya herhangi bir fonksiyon olabilir.)

ayrıca yukardaki bağıntılar yardımıyla

\sum_{n=0}^k\ x^{i\,n} = \sum_{n=0}^k\cos (\ln(x)\,n) + i \sin (\ln(x)\,n)

toplamıda bulunabilir. x yerine x^{i} konursa

\sum_{n=0}^k x^{i\,n}= \frac{1-x^{i\,(k+1)}}{1-x^{i}} \!

İki katlı üstel[değiştir | kaynağı değiştir]

e^{ix} = \cos x + i \sin x \!

temel eşitliği üs alınarak elde edilebilen özdeşliklerdir.

e^{e^{ix}} = e^{\cos x + i \sin x \,}\!
e^{e^{ix}} = e^{\cos x \,}\,[{\cos(\sin(x))+i\sin(\sin(x))}]\!
e^{e^{-ix}} = e^{\cos x \,}\,[{\cos(\sin(x))-i\sin(\sin(x))}]\!
e^{\cos x \,}\,{\cos(\sin(x))} = \frac{(e^{e^{ix}}+e^{e^{-ix}})}{2} \!
e^{\cos x \,}\,{\sin(\sin(x))} = \frac{(e^{e^{ix}}-e^{e^{-ix}})}{2i} \!

x yerine

\frac{\pi}{2}-x\! konursa;
e^{\sin x \,}\,{\cos(\cos(x))}=\frac{(e^{-i\,e^{ix}}+e^{i\,e^{-ix}})}{2} \!
e^{\sin x \,}\,{\sin(\cos(x))}=\frac{(e^{-i\,e^{ix}}-e^{i\,e^{-ix}})}{2i} \!

İmajiner trigonometrik[değiştir | kaynağı değiştir]

x-->ln(x) alınırsa

e^{\cos (\ln(x)) \,}\,{\cos(\sin(\ln(x)))} = \frac{e^{x^i}+e^{x^{-i}}}{2} = \cos(i\,x^i) \!
e^{\cos (\ln(x)) \,}\,{\sin(\sin(\ln(x)))} = \frac{e^{x^i}-e^{x^{-i}}}{2i} = \sin(i\,x^i)\!
e^{\cos (\ln(x)) \,}\,{\cos(\cos(\ln(x)))} = \frac{e^{-i\,x^i}+e^{i\,x^{-i}}}{2} = \cos(x^i) \!
e^{\cos (\ln(x)) \,}\,{\sin(\cos(\ln(x)))} = \frac{e^{-i\,x^i}-e^{i\,x^{-i}}}{2i} = \sin(x^i)\!

Karma bağıntılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Üslerin toplamına göre[değiştir | kaynağı değiştir]

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\!
e^{-ix} = \cos(x) - i\sin(x)\!

ve

e^{e^{ix}} = e^{\cos x \,}\,[{\cos(\sin(x))+i\sin(\sin(x))}]\!
e^{e^{-ix}} = e^{\cos x \,}\,[{\cos(\sin(x))-i\sin(\sin(x))}]\!

yardımıyla karma bağıntılar elde edilebilir.

e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}+e^{-i(\sin(x)+x)} ] =2\,e^{\cos (x)}(\cos(\sin(x)+x) \!
e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}-e^{-i(\sin(x)+x)} ] =2\,i\,e^{\cos (x)}(\sin(\sin(x)+x) \!

sonuç olarak

\frac{e^{e^{ix}+ix}+e^{e^{-ix}-ix}}{2} = e^{\cos (x)}(\cos(\sin(x)+x) \!
\frac{e^{e^{ix}+ix}-e^{e^{-ix}-ix}}{2\,i} = e^{\cos (x)}(\sin(\sin(x)+x) \!

elde edilir.

e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}+e^{-i(\sin(x)+x)} ] =2\,e^{\cos (x)}(\cos(\sin(x)+x) \!
e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+x)}-e^{-i(\sin(x)+x)} ] =2\,i\,e^{\cos (x)}(\sin(\sin(x)+x) \!

ifadesinde üs ifadesindeki x yerine y koyarak formülü dahada genelleştirebiliriz.Çünkü köşeli parantezin dışında üsse cos(x) ve x bağımsız olarak konup birleştirilmiştir,cos(x) değiştirilmezken x yerine y konabilir.


e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+y)}+e^{-i(\sin(x)+y)} ] =2\,e^{\cos (x)}(\cos(\sin(x)+y) \!
e^{\cos x}[e^{i(\sin(x)+y)}-e^{-i(\sin(x)+y)} ] =2\,i\,e^{\cos (x)}(\sin(\sin(x)+y) \!

Üslerin çarpımına göre[değiştir | kaynağı değiştir]

Buradaki ifadeler

e^{ix(e^{ix})} = e^{ix[\cos(x)+i\sin(x)]}\!
e^{-ix(e^{-ix})} = e^{-ix[\cos(x)-i\sin(x)]}\!

veya

e^{ix(e^{ix})} = [\cos(x)+i\sin(x)]^{[\cos(x)+i\sin(x)]}\!
e^{-ix(e^{-ix})} = [\cos(x)-i\sin(x)]^{[\cos(x)-i\sin(x)]}\!

eşitliğidir.

e^{ix(e^{ix})} = e^{ix\cos(x)-xsin(x)}\!
e^{-ix(e^{-ix})} = e^{-ix\cos(x)-xsin(x)}\!
e^{-x\sin(x)}{\cos(x\cos(x))} = \frac{e^{ix(e^{ix})}+e^{-ix(e^{-ix})}}{2} = \cos(xe^{ix}) \!
e^{-x\sin(x)}{\sin(x\cos(x))} = \frac{e^{ix(e^{ix})}-e^{-ix(e^{-ix})}}{2\,i} = \sin(xe^{ix}) \!

x yerine -x konursa;

e^{-x\sin(x)}{(-\sin(x\cos(x)))} = \frac{e^{-ix(e^{-ix})} - e^{ix(e^{ix})}}{2\,i} = \sin(xe^{-ix}) \!
\cos(xe^{ix}) + \sin(xe^{-ix}) = {e^{-x\sin(x)}}{[{\cos(x\cos(x))} - {\sin(x\cos(x))}]} \!

Bell sayıları ile ilgisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Eric Temple Bell'e atfedilmiştir.

\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.

x yerine ix konursa;

\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} (ix)^n+\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} (-ix)^n =  e^{e^{ix}-1}+e^{e^{-ix}-1}
\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n\,(i^{n}+(-i)^{n}) = e^{e^{ix}-1}+e^{e^{-ix}-1},
(i^{n}+(-i)^{n}) = e^{n{i \pi/2}}+e^{-n{i \pi/2}},\,\!
\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n\,cos\left(\frac{n{ \pi}}{2}\right) = \frac{(e^{e^{ix}-1}+e^{e^{-ix}-1})}{2},
\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n\,cos\left(\frac{n{ \pi}}{2}\right) = e^{\cos x-1 \,}\,{\cos(\sin(x))}.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. İngilizce Vikipedi'deki 11.05.2009 tarihli Bell_numbers maddesi
  2. İngilizce Vikipedi'deki 02.08.2009 tarihli Natural_logarithm maddesi
  3. İngilizce Vikipedi'deki 02.08.2009 tarihli Summation maddesi