Sonlu elemanlar yöntemi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
denklemin 1 yarıçaplı bir disk içinde çözümü. Çözümün gerçekleştirilebilmesi için alan küçük üçgenlere ayrılmıştır.
Sonlu elemanlar yöntemi ile denklen çözümü.

Sonlu elemanlar yöntemi ya da sonlu elemanlar metodu (FEM), mühendislik ve matematiksel modellerde sıklıkla kullanılan bir sayısal analiz yöntemidir. FEM, özellikle yapı statiği, ısı aktarımı, akışkanlar mekaniği, kütle aktarımı ve elektrik potansiyeli problemlerinde kullanılır; yöntem, özellikle iki veya üç boyutlu kısmi diferansiyel denklemleri ve sınır değer problemlerinin çözümünde uygulanır.[1]

FEM, esasta geniş bir sistemi sonlu eleman adı verilen daha küçük bileşenlere ayırır: bu, denklemin çözüldüğü uzayın ayrıklaştırılarak küçük bölgelere bölünmesi ile gerçekleştirilir. Sınır değer probleminin bu formülasyonu sonucu bir cebirsel denklem sistemi elde edilir. bu sistem daha sonra Rayleigh–Ritz veya Galerkin metodu gibi değişkenli metodlar ile çözülür. Bu metodlarda sonuçlar temel fonksiyonlar (basis function) cinsinden elde edilir: diğer bir deyişle bu fonksiyonlar kullanılarak asıl çözümün interpolasyonu yapılır.[1][2]

Bir sistemin sonlu elemanlar yöntemi ile incelenmesi sonlu elemanlar analizi (FEA) olarak bilinmektedir. Yöntem ilk kez 1940'lı yıllarda öne sürülmüş ve 1950'li yıllarda uçak tasarımlarında kullanılmaya başlanmıştır.[2]

Sonlu elemanlar yöntemi ile modelleme örneği[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir yay modelinin sonlu elemanlar yöntemi ile incelenmesi aşağıdaki şekilde gerçekleştirilebilir:

1. Her bir yayı çeken 6kN kuvvetle uç uca bağlanmış iki yaydan oluşur. Yapının sol ucu "sabittir". Yayınların her birinin sertliği "21 kN / m" olarak verilmiştir.
2. Bu yapı, uygun bir şekilde 3 düğüme ve 2 öğeye ayrılabilir; öğe 1, düğüm 1 ve 2'ye ve öğe 2, düğüm 2 ve 3'e bağlanır. Düğümlerin yakınına yazılan sayılarla düğümleri tanımlamak gelenekseldir. Öğeler ayrıca sayılarla da belirtilir; eleman numaralarını düğüm numaralarından ayırmak için, bunlar genellikle daire içine alınır.
3. Bu yapıyı modellemek için, Şekil'de gösterildiği gibi 2 düğümlü tek boyutlu yay elemanlarını kullanmak en iyisidir. Bu nedenle eleman türü "doğrusal yay"dır. Bu unsur için aşağıdaki varsayımlar yapılmıştır: Yay, Hooke Yasasına uyar; yay yönünde kuvvetlere direnir. 1. ve 2. noktalar 'düğümlerdir'. f1 ve f2 yerel x yönündeki kuvvetlerdir. u1 ve u2 yerel düğüm yer değiştirmeleridir (düğüm serbestlik derecesi de denir). k- yay sabiti veya yayın sertliğidir. x, düğüm 1'den düğüm 2'ye giderken pozitif alınır.
4. Bu eleman için aşağıda verilen doğrusal bir yer değiştirme işlevi varsayılabilir: 𝑢=𝑎1 + 𝑎2𝑥. Matris biçiminde şu şekilde ifade edilebilir:
5. Katsayıları belirlemek için düğüm değerleri: 𝑢0 = 𝑢1 = 𝑎1, 𝑢𝐿 = 𝑢2 = 𝑎2𝐿 + 𝑢1, . Bu nedenle, düğümsel terimlerle ifade edilen yer değiştirme işlevi şöyle olur:

1-D ısı transferi problemi Sonlu elemanlar yöntemile çözüm[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir boyutlu ısı transferi problemine ait olan ısı transferi denkleminin eleman matrislerini açık bir şekilde oluşturması ve bu problemi sonlu elemanlar yöntemi ile çözüm. Bu problemde kompozit bir duvar verilmiş. Siz şekilde duvarın kalınlığına karşılık gelen enkesitini görüyorsunuz. Duvarın sağındaki ve solundaki odalarda duvar yükseklikleri boyunca sıcaklık sabittir. Dolayısı ile problemi bir boyutlu olarak modellemek mümkündür. Duvar enkesiti boyunca meydana gelen sıcaklık ve ısı akısı değişimini bulmak gerekmektedir.

WA/°C

WA/°C

WA/°C

Global kuvvet matrisini aşağıdaki gibi belirleyin,

Yerel rijitlik matrislerini birleştirerek f in için global rijitlik matrisini belirleyin,

İlişkiyi kullanarak düğüm noktalarındaki sıcaklığı belirleyin,

K için:

için:

için:

Sonyçta,

Global matristen denklemleri aşağıdaki gibi elde ediriz,

°C

500°C ve için:

Global matristen sonraki ilişkiyi aşağıdaki gibi elde ediriz,

Düğüm 2 ve düğüm 3'teki sıcaklıklar için değerler elde ediyoruz:

°C, °C. Bu nedenle, ara sıcaklıklar için hesaplanan değerler sırasıyla t1 ve t2 olarak gözlenir.

İlişkiyi kullanarak kompozit duvarın 8 cm'lik kısmı boyunca ısı geçişini belirleyin,

Burada ısı akısı . 3. eleman için termal iletkenlik ve 3 ve 4 düğümleri arasındaki mesafe L'dir. L=0.8 m. için: > W/m°C, °C, °C,

W/m2

Bu nedenle, 8 cm'lik kısım boyunca ısı akısı için hesaplanan değer, 3986.25W/m2.

Galeri[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Temel kitaplar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • A First Course in the Finite Element Method 6th Edition by Daryl L. Logan CL Engineering; 5th edition (January 1, 2011) 976 pages. ISBN-10:0495668257
  • David Hutton’ın “Introduction to Finite Element Method

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ a b Zienkiewicz, Olek C.; Taylor, Robert L.; Zhu, J. Z. (2013). The finite element method: Its basis and fundamentals (İngilizce). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-08-095135-5. 
  2. ^ a b Jin, Jian-Ming (2014). The Finite element method in electromagnetics (İngilizce). Wiley-IEEE Press. ISBN 978-1-118-57136-1.