Venn şeması

Üç kümeli Venn şeması. A, B ve C daireleri, U evreninin dış bölgesi de sayılınca düzlemi sekiz bölgeye ayırır.

Venn şeması, kümeler arasındaki bütün olası mantıksal ilişkileri, düzlemde birbirini kesen kapalı eğrilerle gösteren şemadır ve en temel küme gösterimlerinden biridir. Her küme bir kapalı eğriyle, çoğunlukla bir daire ya da elipsle gösterilir. Bu gösterimde küme elemanları, kümeyi belirten kapalı şeklin içindeki birer nokta olarak düşünülür; eğrinin dışında kalan noktalar kümede olmayan elemanlardır. Boş kümeyi göstermek için içi boş bir daire kullanılır. Kümeler şemada büyük harflerle adlandırılır.

n kümeli bir Venn şemasında eğriler, her kümenin içinde ya da dışında kalmanın bütün birleşimlerini gösterecek biçimde kesiştirilir; bu yüzden şema, bütün eğrilerin dışında kalan bölge de sayılınca tam 2ⁿ bölgeden oluşur. Şema adını İngiliz mantıkçı John Venn'den alır. Venn şemayı 1880'de Philosophical Magazinede yayımladığı bir makaleyle tanıtmış, ertesi yıl Symbolic Logic adlı kitabında geliştirmiştir. Venn şemaları kümeler teorisinin öğretiminde, olasılık hesabında, mantıkta ve veri kümeleri arasındaki ilişkilerin gösterildiği biyoenformatik gibi alanlarda kullanılır.

Şemaların matematiksel özellikleri 20. yüzyılda ayrı bir araştırma alanına dönüştü. Dairelerle en çok üç kümelik bir Venn şeması çizilebilir, ama başka eğrilerle her küme sayısı için şema kurulabilir. Dönme simetrili şemalar yalnızca asal sayıda küme için vardır; bu koşulun yeterli olduğu da 2004'te kanıtlanmıştır. Lewis Carroll'dan Charles Sanders Peirce'e uzanan eleştiriler ise şemaların anlatım gücünün ve okunabilirliğinin sınırlarını tartışmıştır.

Tanım

Branko Grünbaum'un verdiği tanıma göre düzlemde çizilmiş n basit kapalı eğriden oluşan bir topluluk, her eğrinin ya içi ya da dışı seçilerek elde edilen 2ⁿ kesişimin hiçbiri boş değilse bağımsız bir aile oluşturur. Bu kesişimlerin her biri ayrıca bağlantılı tek bir bölgeyse ve eğriler yalnızca sonlu sayıda noktada kesişiyorsa topluluk bir Venn şemasıdır. Tanımda dış bölge de bölgelerden biri sayılır. 2ⁿ'den az bölgesi olan şemalar Venn şeması değil, Euler şemasıdır. Aynı noktadan en çok iki eğrinin geçtiği şemalara basit Venn şeması denir; bunlar çizmesi ve okuması en kolay şemalardır.

Bir bölgenin derecesi, onu içeren eğrilerin sayısıdır. n kümeli bir Venn şemasında derecesi r olan bölgelerin sayısı n elemandan r tanesini seçme sayısına eşittir. Örneğin üç kümeli şemada bir kümenin içinde kalan üç, iki kümenin içinde kalan üç ve üç kümenin birden içinde kalan bir bölge vardır.

Clarence Irving Lewis'in 1918'deki anlatımıyla bu şemaların ilkesi, kümeleri bölgelerle göstermek ve bu bölgeleri, aralarındaki bütün olası mantıksal ilişkiler aynı şemada gösterilebilecek biçimde yerleştirmektir. Şema başlangıçta her olası ilişkiye yer bırakır; verilen asıl ilişki, belirli bir bölgenin boş olduğu ya da boş olmadığı işaretlenerek belirtilir.

Örnek

Bir iskambil destesindeki 52 kart üzerinde iki küme düşünülsün. A kümesi kırmızı kartlardan, B kümesi vale, kız ve papazdan oluşan resimli kartlardan oluşur. Destede 26 kırmızı kart ve 12 resimli kart vardır; kırmızı resimli kartların sayısı ise 6'dır. İki daireli şemada bu altı kart iki dairenin ortak bölgesine düşer. Yalnız A dairesinde kalan bölgede resimsiz 20 kırmızı kart, yalnız B dairesinde kalan bölgede 6 siyah resimli kart, iki dairenin dışında da resimsiz 20 siyah kart yer alır. Dört bölgedeki kartların toplamı desteyi verir. İki dairenin kapladığı bölge, birleşim A ∪ B, 26 + 12 − 6 = 32 kart içerir; ortak bölgedeki altı kart, iki daire ayrı ayrı sayılırken iki kez sayıldığı için bir kez çıkarılır.

Şema hiçbir kartın hangi bölgeye düştüğünü bilmeden de çizilebilir. Dört bölgenin her biri, bir kartın taşıyabileceği iki niteliğin olası bir birleşimine karşılık gelir; dolu ya da boş olmaları şemanın kendisini değiştirmez. Venn şemasını Euler şemasından ayıran da budur.

Tarihçe

John Venn (1834-1923).

Öncüller ve Euler şemaları

Kapalı eğrileri anlam taşıyan bölgeler olarak kullanmak mantıkta Venn'den çok eskidir. Martin Gardner'ın aktardığına göre Ramon Llull, varlığa doğruluk, iyilik ve birlik gibi aşkın niteliklerin ait olduğunu göstermek için kesişen dört daire kullanmıştır; birbirini kesen üç daireyle Teslisin birliğini anlatmak da Orta Çağ'da yaygın bir figürdü. Daireyi sınıf önermelerini ve tasımları göstermek için ilk kimin kullandığını belirlemek güçtür. Alonzo Church bu amaçla daire kullananlar arasında Johann Christoph Sturm'u (Universalia Euclidea, 1661), Leibniz'i ve Johann Christian Lange'yi (Nucleus Logicae Weisianae, 1712) anar.

Venn, 1881'deki kitabında şemaları serbestçe kullanan ilk mantıkçının 1708'de ölen Zittau okulu müdürü Christian Weise olduğunu ve onun yönteminin Lange'nin 1712 tarihli kitabında anlatıldığını yazmıştı. 1894'teki ikinci baskıda bu görüşü düzeltti. Weise'nin kendi mantık kitaplarında hiçbir şema bulamadığını, şemaların Lange'nin katkısı olduğundan kuşkulandığını belirtti. Kendi gördüğü en eski örneğin, Juan Luis Vives'in De Censura Veri adlı eserinde bir tasımın üç terimi arasındaki ilişkiyi Euler'in yöntemine çok benzer biçimde gösteren tek bir şekil olduğunu yazdı. Venn'e göre bu tür şemalar pek çok mantıkçının aklına birbirinden bağımsız olarak gelmiş olmalıdır; Augustus De Morgan gibi kendisi de Euler'in yöntemini bir yerde görmeden önce bulduğunu söyler.

Kümeleri daireyle gösteren şemaları mantıkçılar arasında yaygınlaştıran Leonhard Euler oldu. Euler bu şemaları Bir Alman Prensesine Mektuplar adlı eserinde anlatır ve bu yüzden şemalar onun adıyla anılır. Şemaları içeren mektuplar 102 ile 108. mektuplardır; bunların ilki 14 Şubat 1761 tarihlidir ve mektuplar 1772'de basılan ikinci ciltte yer alır. Euler daireleri hep daire olarak çizdi, ama mektuplarından birinde şeklin ne olduğunun önemli olmadığını belirtti. Euler'in bugün bilinen üç daireli Venn şemasını kullandığına ilişkin yazılı bir kayıt yoktur. Euler'le aynı dönemde Johann Heinrich Lambert, 1764'teki Neues Organon adlı eserinde Euler dairelerine yakın, ama çizgilere dayanan bir gösterim geliştirdi.

Venn, 1880'deki makalesine Euler dairelerinin mantıkta genel kabul görmüş tek şema yöntemi olduğunu belirterek başlar. 1881'deki kitabında da son yüzyılda yayımlanmış mantık kitapları arasından rastgele seçtiği altmış kitabın otuz dördünün şemalara başvurduğunu, bunların hemen hepsinin de Euler yöntemini kullandığını saptar. Venn bu şemaların gücünü yadsımaz. Ona göre her biri bir önermenin anlamını gerçek bir deneyin kanıtlama gücüyle gösterir; "Bütün A'lar bazı B'lerdir" ve "Hiçbir B hiçbir C değildir" öncüllerinden "Hiçbir A hiçbir C değildir" sonucunun çıktığından kuşku duyan biri, daireleri izleyerek sonucu fiziksel bir deneyin sonucunu görür gibi görür. Ancak ders kitaplarının çoğunun bu şemalara, önermelerin anlamına ilişkin kuramlar arasındaki farkı hiç belirtmeden başvurmasını yanlış bulur.

Euler şemasında iki kümenin gerçek ilişkisi doğrudan çizilir. "Bütün A'lar B'dir" önermesi A dairesinin B dairesinin içine, "Hiçbir A B değildir" önermesi iki dairenin birbirinden ayrı çizilmesiyle gösterilir. Ancak "Bazı A'lar B'dir" önermesi için çizilen kesişen iki daire "Bazı A'lar B değildir" ve "Bazı B'ler A değildir" gibi başka önermeler olarak da okunabilir. Ayrıca yöntem, birbiriyle çelişmeyen bazı bilgi parçalarını tek bir şemada göstermeye izin vermez.

Venn'in yöntemi

Venn'e göre Euler şemalarının iki ciddi kusuru vardı. Birincisi, gündelik önermeler çoğunlukla sınıflar arasındaki ilişkinin eksik bilinmesine dayanır, oysa Euler daireleri bu belirsizliği anlatmaya izin vermez. İkincisi, karmaşık bir sorun adım adım çözülemez; önce ilişkilerin tümüyle bulunması, ardından dairelerin çizilmesi gerekir. Venn bunun yerine, George Boole'un yönteminin temelinde yatan bir düşünceden yola çıktı. Boole'un yönteminde terimlerin bütün olası birleşimleri ayrı sınıflar olarak ele alınır; n terim 2ⁿ alt sınıf verir. Venn şemayı buna göre kurdu. Her yeni eğri, var olan bütün bölmeleri bir kez ve yalnız bir kez keser; böylece ortaya bir önermeyi değil, önermelerin yerleştirileceği bir çerçeveyi gösteren şema çıkar.

Venn üç terime dek daireleri kullandı ve dördüncü bir dairenin öteki üçünü gereken biçimde kesemeyeceğini belirtti. Dört terim için en basit ve en düzenli şekli dört eş elipsle kurdu; beş terim için ortasında küçük bir elips olan daha karmaşık bir şekil önerdi. Altı terim için iki beş terimli şeklin yan yana kullanılmasını salık verdi. Venn ayrıca herhangi bir sayıda küme için bir kural verdi. Herhangi bir kapalı şekille başlanır ve her yeni şekil, öncekilerin oluşturduğu bütün bölmeleri bir kez ve yalnız bir kez kesecek biçimde çizilir.

Önermeler şemaya, neyin var olmadığını söyledikleri göz önüne alınarak işlenir. Venn her tümel önermeyi bir ya da birkaç yadsımaya çevirdi ve yadsınan bölmeyi taradı. "Bütün X'ler Y'dir" önermesi "Y olmayan X" diye bir sınıfın bulunmadığı anlamına gelir ve iki daireli şemada bu bölmenin taranmasıyla gösterilir. Yeni bilgi geldikçe aynı şema, yeniden çizilmeden işaretlenir; bütün veriler işlendikten sonra taranmadan kalan bölmeler, var olabilecek sınıfları gösterir. Makalenin başlığındaki "mekanik gösterim" ifadesi, bu işlemlerin bir aygıta yaptırılabileceğine değinir; ancak Venn, o dönemde mantık makinesi diye anılan düzeneklerin akıl yürütmenin ancak küçük bir bölümünü yapabildiğini düşünüyordu.

Venn yöntemini ertesi yıl yayımlanan Symbolic Logic kitabının beşinci bölümünde ayrıntılı olarak anlattı. Venn, Hull'da doğmuş, Cambridge'deki Gonville and Caius College'da okumuş bir mantıkçıydı; mantık ve olasılık kuramı üzerine dersler verdi, 1883'te Royal Society üyeliğine seçildi.

Adın yerleşmesi ve sonraki gelişmeler

Venn'in eğrili şekilleri terim sayısı arttıkça güç çizildiği için Allan Marquand 1881'de kareyi art arda ikiye bölen dikdörtgen bir şema önerdi. Lewis Carroll 1886'da The Game of Logic kitabıyla birlikte bir oyun tahtası olarak kare bir şema yayımladı, 1896'daki Symbolic Logic kitabında da yöntemini Euler'inki ve Venn'inkiyle karşılaştırarak ayrıntılı biçimde anlattı. Charles Sanders Peirce ise Venn şemalarının varlık bildiren önermeleri ve "ya da" bağlacıyla kurulan bilgiyi gösteremediğini fark etti. Peirce, Venn'in taramasının yerine boşluğu gösteren "o" imini, varlığı gösteren "x" imini ve bu imleri birbirine bağlayan çizgileri getirdi; bu genişletme şemanın anlatım gücünü artırdı ama görsel açıklığını azalttı.

"Venn şeması" adı zamanla yerleşti. Clarence Irving Lewis 1918'de yayımlanan A Survey of Symbolic Logic adlı kitabında şemalardan "Venn diagrams" diye söz eder. Oxford English Dictionarynin ikinci baskısı da adın bilinen ilk kullanımı olarak Lewis'in bu kitabını gösterir. Ruskey ve Weston'a göre şemaların kökeni Venn'den çok eskidir, ama onlarla Venn'in adının anılması yerindedir; çünkü kullanımlarını kapsamlı biçimde inceleyip biçimselleştiren ve onları ilk kez genelleştiren Venn olmuştur.

1994'te Sun-Joo Shin, Peirce'in çalışmasını izleyerek Venn şemaları için sözdizimi ve anlambilimi tanımlanmış iki biçimsel sistem kurdu ve bunların sağlam ve tam olduğunu kanıtladı. İkinci sistemin mantıksal gücü, yalnız tek yerli yüklemler içeren yüklem mantığına (İngilizce: monadic predicate logic) denktir. Bu sonuç, şemaların doğası gereği yanıltıcı olduğu ve kanıtlarda kullanılamayacağı yönündeki yaygın kanıyı çürüttü. Aynı dönemde şemaların kombinatorik ve geometrik özellikleri de yoğun biçimde incelendi. Bu çalışmaların önemli bir bölümü, Frank Ruskey ile Mark Weston'ın 1997'de yayımlamaya başladığı ve 2001 ile 2005'te güncellenen bir taramada toplanmıştır.

Küme işlemleri ve Boole cebri

Venn şemasında birleşim, kesişim, fark ve tümleyen işlemleri. Her panelde dolgulu bölge işlemin sonucudur.

Venn şemaları temel küme işlemlerini göstermek için kullanılır. Şemayı çevreleyen dikdörtgen evrensel kümeyi gösterir. İki kümenin birleşimi (A ∪ B), iki dairenin kapladığı bölgenin tamamıdır; kesişimi (A ∩ B), iki dairenin ortak bölgesidir. A'nın B'den farkı (A − B), A dairesinin B'nin dışında kalan bölümüdür. A'nın tümleyeni (A′) ise dikdörtgenin A dairesi dışında kalan bütün bölgesidir. Bir kümenin başka bir kümenin alt kümesi olması da şemada bir dairenin ötekinin içinde kalmasıyla görülür.

Venn şemaları küme ifadelerinde ayraçların önemini görmeyi de kolaylaştırır. Yalnız birleşim ya da yalnız kesişim içeren bir ifadede ayraçların yeri sonucu değiştirmez; örneğin A ∩ B ∩ C ifadesi hangi sırayla kurulursa kurulsun üç dairenin ortak bölgesini verir. Buna karşılık (A ∩ B) ∪ C ile A ∩ (B ∪ C) için çizilen şemalar farklı bölgeleri tarar; bu yüzden iki işlemin birlikte geçtiği ifadelerde ayraç zorunludur. Ders kitaplarında Venn şemaları bu nedenle kanıtın parçası olarak değil, kümelerin nasıl birleştiğini anlamaya ve kanıt yolu bulmaya yardım eden bir karalama aracı olarak önerilir.

Aynı bölgeler Boole cebrinin işlemleriyle de adlandırılabilir. Lewis'e göre Venn şemaları, sınıfların Boole ve Schröder'in cebrinde ele alınan mantıksal ilişkilerini göstermek için tasarlanmıştır. Şema başlangıçta söylem evrenini, cebirdeki 1'i gösterir. Bu evren iki terim için 1 = (a + a′)(b + b′) = ab + ab′ + a′b + a′b′ biçiminde dört bölgeye, üç terim için aynı yolla sekiz bölgeye açılır. Sayısal elektronikte birleşim VEYA işlemine (A + B), kesişim VE işlemine (AB), tümleyen de DEĞİL işlemine karşılık gelir; bu yüzden Venn şeması Boole cebrinden Karno haritasına geçişte bir köprü olarak kullanılır. Üç dairenin kesişimlerinden ve tümleyenlerinden oluşan sekiz bölge birleştirilerek 256 farklı Boole birleşimi elde edilir. Şemalar önermeler mantığında da kullanılabilir; burada her daire bir önermeyi gösterir ve bir bölgenin taranması, o doğruluk değerleri birleşiminin olanaksız olduğunu gösterir. Gardner'a göre üç terime dek olan sorunlar bu şemalarla çok hızlı çözülebilir; Venn de Carroll da kendi yöntemleriyle mantık sorunlarını şemayı yalnızca gözlerinin önüne getirerek, kâğıda çizmeden çözmeyi kolayca öğrendiklerini yazmıştır.

Olasılık ve sayma

Olasılık hesabında olaylar örnek uzayın alt kümeleri olarak ele alındığından, olaylar arasındaki ilişkiler Venn şemalarıyla gösterilir. Birbirini dışlamayan iki olayın birleşiminin olasılığı için kullanılan P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) eşitliğinin mantığı şema üzerinde kolayca görülür. İki olayın ortak bölgesi P(A) ve P(B) toplanırken iki kez sayılır, bu yüzden bir kez çıkarılır.

Aynı akıl yürütme eleman saymada da kullanılır. Sonlu iki küme için |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| eşitliğine içerme-dışlama formülü denir. Adı, ortak bölgedeki elemanların toplamda iki kez sayılıp (içerilip) ardından bir kez çıkarılmasından (dışlanmasından) gelir. İki küme ayrıksa ortak bölge boştur ve birleşimin eleman sayısı iki kümenin eleman sayılarının toplamına eşit olur. Üç kümeli şemada aynı akıl yürütme

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

eşitliğini verir. Burada üç kümenin ortak bölgesindeki elemanlar ilk üç terimde üç kez eklenir, ikili kesişimlerde üç kez çıkarılır ve son terimle yeniden bir kez eklenir. Olasılık kuramında bu ilkenin genel biçimi, n olaydan en az birinin gerçekleşme olasılığını verir. Önce her olayın olasılığı toplanır, ardından bütün ikili kesişimlerin olasılıkları çıkarılır, bütün üçlü kesişimlerinkiler eklenir ve bu böyle sürer. Kanıtta, tam k olayın içinde kalan bir sonucun olasılığının sağ yanda toplam olarak tam bir kez sayıldığı gösterilir.

İki ve üç kümeli şemalar

Üç kümeli Venn şemasının renkli bir çizimi. Her daire bir renkle boyandığında kesişimler renklerin karışımıyla ayırt edilir.

İki terimli şema kesişen iki daireden oluşur ve X ile Y'nin dört birleşimini gösterir. Bunlar X olup Y olan, X olup Y olmayan, Y olup X olmayan ve ne X ne Y olan sınıflardır. Euler yönteminde aynı çizim "Bazı X'ler Y'dir" önermesini anlatırken Venn yönteminde henüz hiçbir önerme bildirmez, yalnızca önermelerin yerleştirileceği çerçeveyi gösterir. Üçüncü bir terim eklendiğinde, iki daireyi kesen üçüncü bir daire çizilir ve sekiz bölme elde edilir. Venn'e göre harf birleşimleri ile bölmeler birbirine tam olarak karşılık gelir; herhangi bir birleşim söylendiğinde ona ait bölme hemen gösterilebilir, parmak bir bölmenin üstüne konduğunda da hangi birleşimin kastedildiği tartışmasız anlaşılır.

Taramanın getirdiği esneklik, birbiriyle çelişmeyen birden çok bilginin aynı şemaya işlenmesine izin verir. İki daireli şemada "Bütün A'lar B'dir" ve "Hiçbir A B değildir" önermeleri birlikte işlendiğinde A dairesinin tamamı taranır ve şema "Hiçbir şey A değildir" bilgisini gösterir. "Bütün A'lar B'dir" ile "Bütün B'ler A'dır" birlikte işlendiğinde ise yalnız ortak bölge taranmadan kalır ve A ile B'nin aynı küme olduğu görülür. Euler'in çizdiği türden şemalarda bu birleştirme yapılamaz.

Üç kümeli şema, tasımları sınamak için de kullanılır. Venn, "Hiçbir Y Z değildir; bütün X'ler Y'dir; öyleyse hiçbir X Z değildir" tasımını üç daireli şemasıyla gösterir. Ancak bu kadar basit bir tasımda sonucun kendi yöntemiyle daha açık görünmediğini kabul eder; yöntemin üstünlüğü, çok sayıda terimin birbirine bağlandığı karmaşık öncül kümelerinde ortaya çıkar.

Euler şemasıyla farkı

A = {1, 2, 5}, B = {1, 6} ve C = {4, 7} kümelerinin Euler şeması. Yalnızca boş olmayan bölgeler çizilir.

Aynı kümelerin Venn şeması. Sekiz bölgenin tamamı çizilir, boş bölgeler de şemada yer alır.

Venn şemaları, kümeleri kapalı eğrilerle gösteren Euler şemalarının özel bir türüdür; boş olanlar da dahil bütün kesişimleri gösterir. Euler şemasında yalnızca gerçekten var olan ilişkiler çizilir; bir kümenin başka bir kümenin içinde kalması, iki eğrinin iç içe çizilmesiyle gösterilir. Venn şemasında ise bütün bölgeler baştan çizilir ve bir bölgenin boş olduğu, o bölgenin taranmasıyla belirtilir. Venn'in Euler yöntemine yönelttiği başlıca eleştiri, bu şemaların sınıfların birbiriyle gerçek ilişkisini gösterdiği, oysa önermelerin çoğu zaman bu ilişkiye dair eksik bir bilgiyi anlattığıydı.

Ruskey ve Weston'ın biçimsel tanımında Euler şeması da sonlu noktada kesişen basit kapalı eğrilerden oluşur ve her iç-dış seçiminin verdiği bölgenin bağlantılı olması istenir, ama bu bölgelerin boş olmasına izin verilir. Bu yüzden her küme sistemi, boş bölgeleri taranmış bir Venn şemasıyla gösterilebilir. Euler şemasında ise bir bölge ancak en az bir eleman içeriyorsa çizildiğinden bazı küme sistemleri Euler şemasıyla hiç çizilemez. Örneğin üç küme için dış bölgenin yanında yalnızca Aya, yalnızca Bye, yalnızca A ile Cye ve yalnızca B ile Cye ait bölgelerin dolu olduğu sistem bu türdendir.

Lewis de Euler şemalarının kusurlarını açık bulur. "Bütün a'lar b'dir" önermesi için a dairesini b'nin içine çizmek, geçerli olmayan "Bazı b'ler a değildir" çıkarımını düşündürür; "Hiçbir a b değildir" için çizilen ayrı iki daire de ne a ne b olan şeylerin bulunduğunu ima eder. Bu şemalarda bir bölgenin boş olduğunu göstermenin yolu yoktur. Lewis buna karşın Euler şemalarının Venn'in buluşuna dek genel kullanımda kaldığını ve kimi yerlerde hâlâ kullanıldığını belirtir.

Üç kümeli örnekte A = {1, 2, 5}, B = {1, 6} ve C = {4, 7} kümelerinden C, öteki iki kümeyle ortak eleman taşımaz. Euler şemasında C dairesi ötekilerden ayrı çizilirken Venn şemasında C dairesi de öteki iki daireyi keser ve boş kalan kesişimler şemada yer alır.

Dört ve daha çok küme

Venn'in dört eş elipsle kurduğu dört kümeli şema. Dış bölge de sayılınca 16 bölge vardır.

Dört ve daha çok küme için daireler yetersiz kalır. İki daire en çok iki noktada kesiştiğinden, düzlemde çizilen dairelerle dört kümenin bütün kesişimlerini gösteren bir Venn şeması kurulamaz. Bu yüzden dört küme için elipsler kullanılır. Terim sayısı arttıkça gözün bir noktanın hangi eğrilerin içinde kaldığını hızla seçebileceği şekiller kurmak güçleşir ve eğrilerin biçimi olağandışı hâle gelir. Venn'in beş terimli şemasında Z kümesi halka biçimini alır, ortadaki küçük elips Z'nin dışında kalır. Daha yüksek boyutlarda da benzer bir sınır vardır. Rényi, Rényi ve Surányi, d boyutlu uzayda kürelerden oluşan bağımsız bir ailenin en çok d + 1 üyesi olabileceğini kanıtladılar; bu, dairelerle en çok üç kümelik bir Venn şeması çizilebileceği sonucunun genellemesidir.

Venn'in genel kuruluşunda üç daireli şemayla başlanır ve her yeni eğri, en son eklenen eğrinin izini sürerek var olan her bölgeyi ikiye böler. Anthony W. F. Edwards başka bir tümevarımsal kuruluş geliştirdi. Bu kuruluşta iki küme birbirine dik iki çizgiyle, üçüncü küme bir daireyle gösterilir; sonraki her eğri bu dairenin çevresinde bir içeri bir dışarı dolanarak ilerler ve her bölgeyi yeniden ikiye böler. Edwards, kendi kuruluşundaki eğrilerin ikili Gray koduyla ilişkili olduğunu da fark etti. Daire en anlamlı bite, yatay çizgi ikinci bite karşılık gelir; en sık değişen en düşük anlamlı bit ise en çok dalgalanan eğridir. Edwards'ın dört kümeli şeması küre üzerine taşındığında bir tenis topunun dikiş çizgisine benzer.

• 
  Edwards'ın kuruluşuyla dört küme
• 
  Edwards'ın kuruluşuyla beş küme
• 
  Edwards'ın kuruluşuyla altı küme

Şemaların geometrik özellikleri de araştırılmıştır. Bütün eğrileri dışbükey olan Venn şemaları her küme sayısı için vardır. Jeremy Carroll 2000'de altı üçgenden oluşan bir Venn şeması buldu; yedi üçgenle bir Venn şemasının kurulamayacağını da sonradan kanıtladı. Çokgenlerle kurulan şemalarda küme sayısı arttıkça gereken kenar sayısı da artar. En çok k kenarlı iki dışbükey çokgen en çok 2k noktada kesişebildiği, basit bir şemada da 2ⁿ − 2 kesişme noktası bulunması gerektiği için Grünbaum'un gösterdiği bir alt sınır ortaya çıkar. Buna göre basit bir Venn şeması için sekiz kümede en az beş, on kümede en az on iki kenarlı dışbükey çokgenler gerekir. Eş eğrilerden oluşan şemaları ilk kez Grünbaum 1975'te kurdu. Venn'in beş eş elipsle bu türden bir şema kurulamayacağını söylemesine karşın Hamburger ve Pippert, bir eğrisi çıkarıldığında dört kümeli bir Venn şeması bırakan beş eş elipsli basit şemalar bulunduğunu kanıtladılar.

Çizge kuramındaki karşılığı

Bir Venn şeması düzlemde çizilmiş bir çizge olarak da ele alınabilir. Eğrilerin kesişme noktaları düğüm, iki kesişme noktası arasındaki eğri parçaları da kenar olur; kenarlar ait oldukları eğriye göre renklendirilir. Üç daireli şemada 6 düğüm ve 12 kenar vardır. Düzlemde çizilmiş çizgelerde yüz, kenar ve düğüm sayılarını birbirine bağlayan Euler bağıntısından, basit bir n kümeli Venn şemasında düğüm sayısının 2ⁿ − 2, kenar sayısının 2ⁿ⁺¹ − 4 olduğu çıkar. Basit bir şemada birbirine değen iki eğri her zaman birbirini keserek geçer.

Şemanın her bölgesi bir düğüm alınıp ortak sınırı olan bölgeler birbirine bağlandığında şemanın ikiz çizgesi (İngilizce: dual graph) elde edilir. Bu çizgede her bölge, i. biti o bölgenin i. eğrinin içinde kalıp kalmadığını gösteren n bitlik bir dizgiyle etiketlenebilir. Komşu iki bölgenin etiketleri tam olarak bir bitte ayrılır, çünkü aralarındaki sınır tek bir eğriye aittir. Bu yüzden her n kümeli Venn şemasının ikiz çizgesi, n boyutlu küp çizgesinin düzlemde çizilebilen ve bütün düğümleri kapsayan bir alt çizgesidir; üç daireli şemanın ikiz çizgesi de üç boyutlu küpün düzleme çizilmiş biçimidir. Dört ve daha çok boyutta küp çizgesinin kendisi düzlemde kesişmesiz çizilemediğinden, bir Venn şeması bu çizgenin bütün kenarlarını kullanamaz. Bu etiketleme Venn şemalarını Gray kodlarıyla ilişkilendirir. İkiz çizgenin kenarları bir bölgenin ötekinin alt kümesi olup olmadığına göre yönlendirildiğinde de Boole kafesinin Hasse diyagramından bütün düğümleri kapsayan bir alt çizge elde edilir.

Bir şemaya yeni bir eğri eklenerek bir küme daha gösterilebiliyorsa şema genişletilebilir sayılır. Peter Winkler, basit bir şemanın basit kalarak genişletilebilmesinin, ikiz çizgesinde bütün düğümlerden bir kez geçen bir Hamilton çevrimi bulunmasına bağlı olduğunu gözlemledi ve her basit Venn şemasının bu biçimde genişletilebileceği sanısını ortaya attı. Grünbaum basitlik koşulunu kaldırarak sanıyı genelleştirdi; genel biçimi Chilakamarri, Hamburger ve Pippert kanıtladı, Winkler'in özgün sanısı ise 2005'te hâlâ çözülmemişti. Bir eğrisi çıkarıldığında geriye n − 1 kümeli bir Venn şeması kalan şemalar indirgenebilir şemalardır. Venn'in ve Edwards'ın genel kuruluşları doğaları gereği indirgenebilir şemalar üretir; Grünbaum'un beş elipsli simetrik şeması ise indirgenemez.

Derecesi 0 ile n arasında olan her bölgenin, derecesi bir eksik olan bir bölgeye ve derecesi bir fazla olan bir bölgeye komşu olduğu şemalar tekdüze (İngilizce: monotone) şemalardır. Edwards'ın kuruluşu tekdüzedir, Venn'inki değildir. Bultena, Grünbaum ve Ruskey, sonlu noktada kesişen basit kapalı eğrilerden oluşan ve iç bölgelerinin ortak kesişimi boş olmayan bir ailenin bütün eğrileri dışbükey olacak biçimde çizilebilmesi için tekdüze olmasının gerekli ve yeterli olduğunu kanıtladılar. Basit bir şemada kesişme noktalarının sayısı 2ⁿ − 2'dir; birden çok eğrinin aynı noktadan geçtiği şemalarda bu sayı azaltılabilir. Bultena ile Ruskey, tekdüze bir n kümeli şemanın en az kaç kesişme noktası taşıyabileceğini bulmuş ve bu sınıra ulaşan şemaların her küme sayısı için var olduğunu göstermiştir.

Venn şemalarının sayısı

Biri düzlemin sürekli bir dönüşümüyle ötekine ya da onun ayna görüntüsüne çevrilebilen iki şema aynı sayılır. Bu ölçüyle bir ve iki küme için yalnızca bir Venn şeması vardır. Üç küme için on dört farklı Venn şeması vardır ve bunların yalnızca biri, bilinen üç daireli şema, basittir. Şemalar küre üzerine taşındığında aynı şemaya dönüşenler bir sınıfta toplanırsa üç küme için altı sınıf ortaya çıkar. Dört küme için iki farklı basit şema ve bunların oluşturduğu tek bir sınıf vardır. Beş küme için basit şemaların sınıflarının sayısı on dokuzdur. Bu sayımlar Chilakamarri, Hamburger ve Pippert'in çalışmalarına dayanır. Altı kümeli şemaların toplam sayısı bilinmemektedir; Jeremy Carroll altı üçgenli şema araştırması sırasında, herhangi iki eğrisi en çok altı noktada kesişen 1833 farklı basit ve tekdüze altı kümeli şema saydı.

Simetrik şemalar

Branko Grünbaum'un beş eş elipsle kurduğu, beş katlı dönel simetrili, beş kümeli Venn şeması.

Üç daireli şema, merkezi çevresinde üçte bir tur döndürüldüğünde kendisiyle çakışır. Bir n kümeli Venn şeması bir nokta çevresinde 1/n tur döndürüldüğünde değişmiyorsa n katlı dönel simetrilidir ve simetrik şema diye anılır. Simetrik bir şemadaki bütün eğriler birbirinin eşidir.

David W. Henderson 1963'te, n kümeli bir Venn şemasının n katlı dönel simetrisi olabilmesi için küme sayısının asal sayı olması gerektiğini gösterdi. Gerekçe kısadır. Simetrik bir şemada dönme merkezi, bütün eğrilerin içinde kalan tek bölgededir; dış bölge ise hiçbir eğrinin içinde değildir. Aradaki dereceleri r olan bölgeler şemanın n eş dilimine eşit olarak dağılmak zorunda olduğundan, bu bölgelerin sayısı n ile bölünebilmelidir. n elemandan r tanesini seçme sayılarının 0 < r < n için hepsinin n ile bölünmesi ise yalnızca n asal olduğunda gerçekleşir.

Grünbaum beş elipsten simetrik bir şema buldu. Bu şemanın bölgeleri içinde bulundukları elips sayısına göre boyandığında her renkten bölge sayısı ilgili seçme sayısına eşit çıkar; bir dış bölge, bir elipsin içinde kalan beş, iki elipsin içinde kalan on, üç elipsin içinde kalan on, dört elipsin içinde kalan beş ve beşinin birden içinde kalan bir bölge vardır. Yedi kümeli ilk simetrik şemaları Grünbaum ve Anthony W. F. Edwards birbirinden bağımsız olarak, on bir kümeli ilk simetrik şemayı Peter Hamburger buldu. Jerrold Griggs, Charles Killian ve Carla Savage 2004'te her asal n için simetrik bir Venn şeması bulunduğunu kanıtlayarak Henderson'ın koşulunun yeterli de olduğunu gösterdi. Kanıt, şemanın bir diliminin ikiz çizgesini Boole kafesindeki zincirlerden kurup bu dilimi döndürerek bütün şemayı elde ediyordu. Sonuç bilim basınında geniş yer buldu ve Donald Knuth 2002'deki geleneksel Noel konferansında bu kuruluşu anlattı.

Griggs, Killian ve Savage'ın kuruluşunun ürettiği şemalar basit değildir; bütün eğrilerin birlikte geçtiği n nokta vardır. Her asal n için simetrik şemalar bulunmuş olsa da aynı noktadan en çok iki eğrinin geçtiği basit simetrik şemalar 2006'da yalnızca yedi kümeye dek biliniyordu. Yedi kümeden büyük asal sayılar için basit simetrik şemaların varlığını engelleyen bilinen bir koşul da yoktur. Killian, Ruskey, Savage ve Weston, bu kuruluşa yeni kesişme noktaları eklemenin yollarını gösterdi. 2005'te on bir küme için basit bir şemada bulunması gereken 2.046 kesişme noktasına karşılık, bilinen en çok noktalı simetrik şemada 1.837 nokta vardı.

Asal olmayan küme sayıları için simetrik Venn şeması kurulamadığından simetri kavramını gevşeten türler de incelenmiştir. Ruskey ve Weston'ın tanımladığı sözde simetrik şemalarda şemanın bir dilimi döndürülüp eğrilerin adları sabit bir sırayla değiştirilerek bütün şema elde edilir. Bunun için dilim sayısının asal, küme sayısının da bu asal sayının birden büyük bir kuvveti olması gerekir. Simetrik şemalardan farklı olarak sözde simetrik şemalarda bütün eğriler birbirinden farklıdır. Dört, sekiz ve dokuz küme için bu türden şemalar elle kurulmuştur.

Alanla orantılı şemalar

Klasik Venn şemalarında bölgelerin büyüklüğü bir anlam taşımaz. Venn, bölgelerin büyüklüğünü sınıfların kapsamıyla ilişkilendirme girişimlerine karşı çıktı. Ona göre bu tür düşünceler nitel olan mantık ile nicel olan matematiğin alanlarını birbirine karıştırıyordu; şemadaki bölmeler yalnızca hangi çizgilerin içinde ya da dışında kaldıklarıyla değerlendirilmeliydi.

Buna karşın veri çözümlemesinde, her bölgenin alanının o bölgedeki eleman sayısıyla orantılı çizildiği şemalar kullanılır. İki küme için bu her zaman kesişen iki daireyle yapılabilir, ama üç küme için daireler her veri kümesini doğru göstermeye yetmez. Frank Ruskey ile Stirling Chow bu tür şemaları ilk kez 2003'teki bir çalışmada inceledi ve kenarları eksenlere koşut dikdörtgenler kullanan bir çizim yöntemi geliştirdi. Ruskey ve Weston'a göre bu çalışmanın çıkış noktası, taramalarının ilk sürümünü okuyanlardan gelen ve farklı büyüklükteki veri kümelerini gösterebilen şemalar isteyen çok sayıdaki istekti. Luana Micallef ile Peter Rodgers'ın 2014'te tanıttığı eulerAPE yazılımı, üç kümeli şemaları daire yerine elipslerle çizerek dairelerin yol açtığı yanıltıcı alanları önler. Kesişimlerin büyüklüklerini karşılaştırmak için alan, konuma göre daha zor algılanan bir göstergedir; bu nedenle çok sayıda küme için kesişimleri bir matris üzerinde çubuklarla gösteren UpSet gibi yöntemler de önerilmiştir.

Bütün bölgelerin alanının eşit olduğu özel durum, Venn poliominolarıyla incelenmiştir. Poliomino, birim karelerin kenar kenara yapıştırılmasıyla oluşan bir şekildir; Venn poliominosunda her eğri bir poliominonun sınırıdır ve her bölge bir ya da birkaç birim kareden oluşur. Bu soruyu Mark Thompson ortaya attı. Thompson dört kümeye dek eş poliominolardan şemalar buldu; Chow ve Ruskey beş küme için eş, altı ve yedi küme için eş olmayan poliominolardan şemalar kurdu ve en küçük alanın en çok bir buçuk katını kullanan bir çizim yöntemi verdi.

Karnaugh haritası ile ilişkisi

Ayrıca bakınız: Karnaugh haritası § Venn şemasıyla ilişkisi

İki değişken için Venn şemasından Karno haritasına: daireler dikdörtgen bölmelere dönüştürülür, A alt yarıyı, B sağ yarıyı kaplar ve dört bölge haritanın dört hücresi olur. Her bölge üç gösterimde de aynı renktedir.

Mantık fonksiyonlarını sadeleştirmekte kullanılan Karno haritası, Venn şemasının bölgelerinin dikdörtgen hücrelere dökülmüş bir biçimi olarak da okunabilir; haritadaki her hücre şemadaki bir bölgeye, bir değişkenin 1 olduğu hücreler de o değişkenin dairesine karşılık gelir.

Venn, şemasındaki komşu bölmeler arasındaki ilişkiye 1880'de dikkat çekmişti. Yalnızca bir çizgi geçilerek birinden ötekine varılan iki bölme tek bir terimin olumlanması ve yadsınmasıyla ayrılır; bu iki bölme birlikte ele alındığında o terim atılabilir. İki çizgiyle ayrılan bölmelerde ise sadeleştirme için dört bölme gerekir ve iki terim birden atılır. Karno haritasında yan yana hücrelerin yalnızca bir değişkende farklılaşması ve bu hücrelerin birleştirilerek o değişkenin atılması aynı ilkeye dayanır.

Dörtten fazla terim için eğrili şemaları çizmek güçleştiğinden Allan Marquand 1881'de eğriler yerine dikdörtgen bölmeler kullandı ve şemasının istenen sayıda terime genişletilebileceğini gösterdi. Gardner'a göre Marquand'ın çizelgesi, Lambert'in çizgilerle gösterimi gibi, Venn'inki gibi çok imgesel bir sistemle imgesel olmayan bir gösterim arasındaki sınırda durur. Venn de 1894'teki ikinci baskıda bu çizelgede her olası birleşimin ayrı bir kareyle gösterildiğini, ancak bir sınıfın bütün parçalarını tek bir sınır içinde toplama kolaylığının yitirildiğini belirtir. Kuphaldt'ın ders kitabında bir bölgenin taranması o hücreye 1 yazılmasına karşılık gelirken, Venn ve Marquand geleneğinde taranan bölge o sınıfın boş olduğunu belirtir.

Uygulamalar

Venn şemaları tıp ve bilimin birçok dalında veri kümeleri arasındaki ilişkileri görselleştirmek ve veri çözümlemesini kolaylaştırmak için yaygın olarak kullanılır. Birbirinden ayrık ya da örtüşen veri kümelerinin görselleştirilmesi biyoenformatikte sık karşılaşılan bir iştir; örneğin R dili için geliştirilen VennDiagram paketi dört kümeye dek Venn, üç kümeye dek Euler şemalarını, isteğe bağlı olarak alanla orantılı biçimde üretir. Biyolojide şemalar özellikle farklı deney koşullarından ya da farklı çözümleme yöntemlerinden çıkan gen listelerini karşılaştırmak için kullanılır. Bu amaçla geliştirilen jvenn kitaplığı altı listeye dek klasik ya da Edwards düzeninde, web sayfasına gömülebilen etkileşimli şemalar üretir. Muz genomunu tanıtan makalede altı bitki genomunun ilişkisi bir Venn şemasıyla gösterilmiştir; InteractiVenn aracı da altı kümeye dek şemalar üzerinde kümelerin birleşimlerini şemanın biçimini bozmadan incelemeye izin verir. Küme sayısı arttıkça kesişimlerin sayısı üstel olarak büyüdüğünden, çok kümeli veriler için Venn şemalarının yerine matris tabanlı gösterimler kullanılabilir.

İki ve üç daireli şemalar, basit mantıksal çıkarımların kanıtlanmasında sık kullanılır ve mantık ders kitaplarının çoğunda yer alır. Gardner'a göre Venn yöntemi, ilke olarak her sayıda terime genişletilebilmesiyle öne çıkar. Matematik eğitiminde şemalar küme işlemlerinin öğretiminde ve kanıt yazmaya hazırlıkta yardımcı bir araç olarak kullanılır.

Eleştiriler ve sınırlılıklar

Lewis Carroll, 1896'daki Symbolic Logic kitabının öğretmenlere yönelik ekinde Euler, Venn ve kendi şema yöntemlerini karşılaştırır. Euler şemalarının hepsinin "Bazı x olmayanlar y olmayandır" önermesini de ileri sürdüğünü ve bu önermenin her zaman doğru olmayabileceğini belirtir. Venn'in yöntemini ise Euler'inkine göre büyük bir ilerleme sayar. Venn'in dolu bilinen bölmeye bir im koyup boş bilinen bölmeyi taraması sayesinde aynı şema her ilişkiyi gösterebilir. Carroll'ın eleştirisi, iki terimli şemada dört sınıftan yalnızca üçüne kapalı bir bölme ayrılması, dördüncüsünün ise düzlemin geri kalanına dağılmasıdır. Aynı nedenle Venn'in dört elipsli şeması on beş, beş terimli şeması otuz bir kapalı bölme verir. Altı terim için önerilen iki şemalı çözüm de 62 kapalı bölmenin yanında iki sınıfın paylaşmak zorunda kaldığı sınırsız bir alan bırakır.

Carroll kendi yönteminde söylem evrenine de kapalı bir alan ayırdı, eğriler yerine düz çizgiler kullandı ve dolu bölmeleri 1, boş bölmeleri 0 ile işaretledi. Gardner'a göre Carroll, evrene aynı biçimde kapalı bir alan ayıran Marquand'ın daha önceki şemasını bilmiyordu; Carroll'ın çizelgesi de Marquand'ınki gibi istenen sayıda terime genişletilebilir ve Symbolic Logic sekiz terim için 256 hücreli bir çizelge de içerir. Carroll'ın 1886'da kitabıyla birlikte verdiği oyun tahtasında dolu bölmeler kırmızı, boş bölmeler gri pullarla işaretleniyordu.

Peirce'e göre Venn'in sistemi varlık bildiren önermeleri, "ya da" ile kurulan bilgileri, olasılıkları ve ilişkileri gösteremez. Euler dairelerinden Venn şemalarına, oradan Peirce'in ve Shin'in sistemlerine uzanan değişikliklerin ortak amacı anlatım gücünü ve mantıksal gücü artırmaktır. Ancak Venn'in taraması ile Peirce'in imleri ve çizgileri gibi yeni kuralların eklenmesi, şemaların görsel açıklığını azaltmıştır. Shin'in sistemleri bu açıklığı anlatım gücünden ödün vermeden geri kazanmayı amaçlar. Hammer ve Shin ise Euler'in dairelerle kümeler arasındaki doğrudan benzerliğini koruyup Venn'in temel şemalarını varsayılan olarak benimseyen bir sistem önermiştir. Bu sistem varlık bildiren önermeleri gösteremediği için tasımla akıl yürütmede tek başına yeterli değildir.

Veri görselleştirmede de Venn şemalarının sınırları vardır. Dört listeye dek şemalar kolayca okunur, ama dörtten fazla listede şema güç anlaşılır hâle gelir; alanla orantılı şemalar ise üçten fazla liste için uygun değildir. InteractiVenn'i geliştirenlere göre dört kümeden sonra çizim giderek güçleşir. Dairelerle üçten, elipslerle beşten fazla küme gösterilemez; yedi kümeli şemalar da hem görünüş hem insanın görsel algısı açısından fazla yüklüdür. Bölgelerin büyüklüğünü karşılaştırmak güç olduğundan, birçok kümenin kesişimlerini incelemek için matris tabanlı gösterimler önerilmiştir.

Kültürdeki yeri

Cambridge'deki Gonville and Caius College'ın yemek salonunda Venn'i anan vitray pencere. Pencerede "JOHN VENN; FELLOW 1857-1923; PRESIDENT 1903-1923" yazılıdır.

Venn'in öğrencisi ve sonradan başkanı olduğu Gonville and Caius College'ın yemek salonunda, klasik üç daireli Venn şemasını gösteren bir vitray pencere vardır. Vitrayı Maria McClafferty yapmıştır. Vitray, istatistikçi Ronald Fisher'ı anan pencerenin üstündeki pencereye konmuş ve Fisher'ın doğumunun 1990'daki yüzüncü yıl kutlamalarına yetiştirilmiştir. Bu iki pencereden sonra koleje bağlı başka bilim insanlarını anan dört pencere daha eklenmiştir. Alttaki Fisher penceresinde onun The Design of Experiments kitabının kapağındaki Latin karesi deseni yer alıyordu. Üstteki pencere için bu desenle uyumlu bir konu aranmış ve kolej başkanlığında Fisher'ın öncüllerinden olan Venn'in üç daireli şeması seçilmişti. Fisher penceresi, onun öjenikle ilişkisine yönelik eleştiriler üzerine 2020'de kolej yönetiminin kararıyla kaldırıldı.

Google, Venn'in doğumunun 180. yıl dönümü olan 4 Ağustos 2014'te ana sayfasında etkileşimli bir Google Doodle yayımladı. Doodle'da kullanıcılar farklı kategorilerdeki kümeleri birleştirerek kesişim bölgesinde ortaya çıkan canlandırmaları görebiliyordu.