Fourier dönüşümü

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Fourier dönüşümü, sürekli ve ayrık olarak ikiye ayrılabilir. İki dönüşüm de bir nesneyi ortogonal iki uzay arasında eşler. Sürekli nesneler için dönüşüm:

F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-ikx} dx ve

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(k) e^{ikx} dk

şeklinde verilir. Yukarıdaki dönüşümde görüleceği üzere x uzayındaki bir nesne k uzayında tanımlanmıştır. Bu dönüşüm diferansiyel denklemlerin çözümünde çok büyük rahatlık sağlar zira bu dönüşüm sayesinde x uzayındaki diferansiyel denklemler k uzayında lineer denklemler olarak ifade edilirler. K uzayında bu denklemin çözümü bulunduktan sonra ters dönüşümle x uzayındaki karşılığı elde edilir, ki bu diferansiyel denklemin çözümüdür. Birinci dönüşümdeki ifade ikinci dönüşümde yerine oturtularak,

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(x') e^{-ikx'} dx'\right) e^{ikx} dk,

f(x)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\left(\int\limits_{-\infty}^\infty e^{ik(x-x')} dk\right)f(x') dx'

ifadesine ulaşılır. Parantez içindeki ifadenin 2\pi\delta(x-x')\, olduğu görülebilir. Anlaşıldığı üzere f(x)\mapsto F(k) eşlemesine Fourier Dönüşümü, F(k)\mapsto f(x) eşlemesine de Ters Fourier Dönüşümü denir ve bu eşlemeler (mapping) yapılırken baş harfleri büyük yazılarak gösterilir (FD ve TFD). Parantez içindeki ifadenin Delta fonksiyonunun temsili olması ise açıkça bir düz ve bir ters Fourier dönüşümü yapılan bir ifadenin kendine eşit olmasından kaynaklanır. Dönüşüm uzayları keyfi seçilebilir ancak fizikte, konum uzayından momentum uzayına ve zaman uzayından enerji uzayına De Broglie-Einstein denklemleriyle geçişler tanımlanmıştır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. Fourier Serileri
  2. Jean-Baptiste Joseph Fourier