Pauli matrisleri

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Pauli matrisleri 2 × 2' lik, karmaşık sayılar içeren Hermisyen ve üniter matrislerden oluşan bir settir. Genellikle Yunan alfabesindeki 'sigma' (σ), harfiyle sembolize edilirler. Bu matrisler:


\sigma_1 = \sigma_x =
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}

\sigma_2 = \sigma_y =
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}

\sigma_3 = \sigma_z =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}

İsim onları bulan Wolfgang Pauli' den gelmektedir.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

I birim matris olmak üzere.


\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I
\begin{matrix}
\det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex]
\operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \ i = 1, 2, 3
\end{matrix}

Dolayısıyla bu matrislerin özdeğerlerinin σi ±1 olduğu açıkça görülebilir.

  • Birim matris I (bazen σ0 olarak da gösterilir) ile birlikte Pauli matrisleri gerçel Hilbert uzayında, 2 × 2 karmaşık Hermisyen matrisler olarak veya kompleks Hilbert uzayında 2 × 2 matrisler olarak orthogonal (birbirine dik ve normalize) bir baz oluştururlar.

Komutasyon bağıntıları[değiştir | kaynağı değiştir]

\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3\,\!
\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2\,\!
\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1\,\!
\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i \quad i\ne j\,\!
\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j]     &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k \\[1ex]
\{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot I
\end{matrix}

Yukarıdaki bağıntılar şöyle özetlenebilir:

\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \cdot I + i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \,.

Pauli vektörü şu şekilde tanımlıdır:

\vec{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z} \,

Bu komutasyon bağıntıları ve pauli vektör tanımı kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir:

(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} ) \quad \quad \quad \quad (1) \,
(a ve b vektörleri pauli matrisleriyle değişme özelliğine sahip olması durumunda)
en genel tanımıyla \vec{a} = a \hat{n} olarak verilen bir a vektörü için
e^{i (\vec{a} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \sigma) \sin{a} \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) \,

Fizik[değiştir | kaynağı değiştir]

Kuantum mekaniğinde Pauli matrisleri spin ½ sistemlerin spinlerini konum uzayında betimler. Sistemin durumu iki bileşenli bir spinörle ifade edilir. Spin operatörleri bu matrislerle verilirler.

S_i = \frac{ \hbar }{2}\sigma_i \quad i=1,2,3

Pauli matrislerinin özdeğerlerinin ±1 olması spin operatörlerinin özdeğerlerinin \pm \hbar /2 olması, dolayısıyla bir eksen yönünde yapılan spin ½ sistemin spininin iki değerden birini alması anlamına gelir. Bu konuyla daha kapsamlı bilgi için Stern-Gerlach deneyi incelenebilir.