Poisson denklemi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte,Poisson denklemi elektrostatik, makine mühendisliği ve teorik fizik'de geniş kullanım alanına sahip eliptik türdeki Kısmi diferansiyel denklemlerdir. Fransız matematikçi, geometrici ve fizikçi olan Siméon-Denis Poisson'dan sonra isimlendirilmiştir. Poisson denklemi

\Delta\varphi=f

Burada \Delta Laplasyene, ve f ve φ ise Çokkatlıda gerçek veya Karmaşık-değerli fonksiyonlara karşılık gelmektedir. Çokkatlı öklit uzayı olduğu zaman, Laplasyen {\nabla}^2 olarak belirtilir ve Poisson denklemi genel olarak

{\nabla}^2 \varphi = f.

şeklinde yazılır. 3 boyutlu Kartezyen koordinat sisteminde


\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).

formunu alır. f sıfır olduğunda denklem;

\Delta \varphi = 0. \!

halini alır. Bu poisson denklemi Green Fonksiyonu kullanılarak çözülebilir; Green Fonksiyonunun Poisson denklemi için genel çözümünü Sönümlü Poisson denklemi başlığında verilmiştir. Numerik çözüm için çok fazla değişik türden method bulunmaktadır; rahatlatma metodu, yinelemeli algoritma sadece bir örnek...

Elektrostatik[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Elektrostatik

Elektrostatiğin köşe taşlarından biri de Poisson denklemleri ile açıklanan problemlerin çözümünü ortaya atıp çözmektir . Verilmiş bir yük dağılımı için Elektriksel gerilimi bulmak için genelde kullandığımız yol bu olduğu için, φ'ı verilmiş f cinsinden bulmak önemli pratik bir sorundur.

Elektrostatikteki Poisson denkleminin türeyişi şu şekildedir. Uluslararası Birimler Sisteminin öklit uzayında kullanıldığını varsayarsak. Differansiyel kontrol hacimdeki elektrik için Gauss Yasası ile başlarsak:

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho_f
\mathbf{\nabla} \cdot, Diverjansa
\mathbf{D}, elektrik deplasman alanına
\rho_f \, serbest yükün yük yoğunluğuna (yani dışardan getirilmiş yüklere) tekamül etmektedir.

Ortamın lineer, izotropik, ve homojen olduğunu kabul edersek;

\mathbf{D} = \varepsilon \mathbf{E}
\varepsilon permittivity of the medium.
\mathbf{E} is the electric field.

Yerine koyma ve sadeleştirme işlemlerinden sonra;

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_f}{\varepsilon}

elde ederiz. Değişken bir manyetik alan, \mathbf{B} olmadığı zaman, Faraday-Lenz yasası gereğince,

\nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} = 0
\nabla \times,Rotasyonele
t zamana karşılık gelmektedir.

Elektrik Alanın Rotasyaneli sıfır olduğundan,o bir skaler elektrik potansiyel birler elektrik potansiyel olarak tanımlanır.

\mathbf{E} = -\nabla \varphi

\mathbf{E} yi yerine koyma metodu ile yok edersek, Poisson denkleminin bir formunu elde ederiz:

\nabla \cdot \nabla \varphi = {\nabla}^2 \varphi = -\frac{\rho_f}{\varepsilon}.

Potansiyel için Poisson denklemini çözmek yük yoğunluğu dağılımının bilinmesini gerektirir. Eğer yük yoğunluğu sıfır ise denklem Laplace denklemine dönüşür. Eğerki yük yoğunuğu Boltzmann dağılımına tekamül ederse denklem Poisson-Boltzman denklemi halini alır. Poisson Boltzmann denklemi Debye-Hückel denkleminin gelişmesinde büyük rol oynar.

(Not: Yukardaki tartışma manyetik alanın zamanla değişmediğini kabullenim olarak alsa da aynı Coulomb ölçümlemesi kullanıldığı sürece zamanla gerçekten bir değişim olsa bile Poisson denklemi ortaya çıkar. Yalnız, genel bağlamda \varphi hesaplamak artık \mathbf{E} yi hesaplamak için yeterli değildir, çünkü ikincisi aynı zamanda manyetik vektör potansiyeline bağlıdır, ki bu da bağımsız olarak hesaplanmalıdır.)

Gauss yük yoğunluğunun potansiyeli[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğerki durgun küresel simetrik bir Gauss yük yoğunluğu  \rho_f(r) var ise:

 \rho_f(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},

burada Q toplam yüktür. Dolayısıyla Poisson denkleminin çözümü φ (r),

{\nabla}^2 \varphi = - { \rho_f \over \varepsilon } ,

burada  \varphi(r) şöyle gösterilir;

 \varphi(r) = { 1 \over 4 \pi \varepsilon } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)

ki burada erf(x) hata fonksiyonuna tekamül etmektedir. Bu çözüm bariz bir biçimde {\nabla}^2 \varphiyi hesaplayarak kontrol edilebilir. Dikkate alınmalı ki, tahmin edildiği şekilde σ den çok büyük bir r için erf fonksiyonu 1e ve potansiyel noktasal yük potansiyeli φ (r),  { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } {Q \over r} e yaklaşmaktadır. Ayrıyetten, erf fonksiyonu kendi argümanı arttıkça 1 e çok hızlı şekilde yaklaşmaktadır; pratikte r > 3σ için göreli hata binde birden küçüktür.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]