Fourier dönüşümü

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Fourier dönüşümü, sürekli ve ayrık olarak ikiye ayrılabilir. İki dönüşüm de bir nesneyi ortogonal iki uzay arasında eşler. Sürekli nesneler için dönüşüm:

F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-ikx} dx ve

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(k) e^{ikx} dk

şeklinde verilir. Yukarıdaki dönüşümde görüleceği üzere x uzayındaki bir nesne k uzayında tanımlanmıştır. Bu dönüşüm diferansiyel denklemlerin çözümünde çok büyük rahatlık sağlar zira bu dönüşüm sayesinde x uzayındaki diferansiyel denklemler k uzayında lineer denklemler olarak ifade edilirler. K uzayında bu denklemin çözümü bulunduktan sonra ters dönüşümle x uzayındaki karşılığı elde edilir, ki bu diferansiyel denklemin çözümüdür. Birinci dönüşümdeki ifade ikinci dönüşümde yerine oturtularak,

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty f(x') e^{-ikx'} dx'\right) e^{ikx} dk,

f(x)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\left(\int\limits_{-\infty}^\infty e^{ik(x-x')} dk\right)f(x') dx'

ifadesine ulaşılır. Parantez içindeki ifadenin 2\pi\delta(x-x')\, olduğu görülebilir. Anlaşıldığı üzere f(x)\mapsto F(k) eşlemesine Fourier Dönüşümü, F(k)\mapsto f(x) eşlemesine de Ters Fourier Dönüşümü denir ve bu eşlemeler (mapping) yapılırken baş harfleri büyük yazılarak gösterilir (FD ve TFD). Parantez içindeki ifadenin Delta fonksiyonunun temsili olması ise açıkça bir düz ve bir ters Fourier dönüşümü yapılan bir ifadenin kendine eşit olmasından kaynaklanır. Dönüşüm uzayları keyfi seçilebilir ancak fizikte, konum uzayından momentum uzayına ve zaman uzayından enerji uzayına De Broglie-Einstein denklemleriyle geçişler tanımlanmıştır.

Giriş[değiştir | kaynağı değiştir]

Örnek[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıdaki görüntülerde Fourier dönüşümünün veren bir görsel ilüstrasyon sağlama ölçümü olan bir frekans bir özel fonksiyon içinde mevcuttur.Fonksiyon f(t) = cos(6πt) e−πt2 3 hertz'te salınım göstermektedir(eğer t ölçüsü saniyeler ise) ve 0 a doğru hızla gitme eğilimdedir. ( bu denklem içinde saniye faktörü bir zarf fonksiyonu ve bir kısa vuruş içinde sürekli sinüzoidal şekillerdir. Bunun genel formu bir Gaussian fonksiyondur). Bu fonksiyon özel seçilmiş idi varolan bir gerçek Fourier dönüşümü için kolayca çizilebilir.İlk görüntü bu grafı içerir.\hat f(3) hesaplamak için sırayla e−2πi(3t)f(t) integrali olmalıdır.İkinci görüntü bu fonksiyonun gerçel ve sanal kısımlarını gösterir.İntegrand'ın gerçel kısmı hemen hemen her zaman pozitif, çünkü eğer f(t) negatif ise, e−2πi(3t) nin gerçek kısmı da negatiftir. Çünkü bu aynı kesirde salınıyorsa eğer f(t) pozitif ise, böylece e−2πi(3t) nin gerçel kısmıdır.Sonuç olarak eğer integrandın gerçek kısım integrali ise bir göreceli büyük sayı alıyorsunuz(0.5 durumu içinde). Diğer taraftan,eğer bir frekans ölçüsü için deniyorsanız bu mevcut değildir,\hat f(5) da gördüğümüz durumu içindeki gibi yeterince salınan integrand gibi integral çok küçüktür.Genel durum bundan bir parça daha karışık olabilir ,ama bu ruh içinde bir tek frekansın o kadar çok ölçüsü Fourier dönüşümü ve bir fonksiyon f(t) içinde mevcuttur

Temel özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Fourier dönüşümünün temel özellikleri aşağıdadır: Pinsky 2002.

Doğrusallık
Herhangi karmaşık sayılar a ve b için, eğer h(x) = af(x) + bg(x), ise  \hat{h}(\xi)=a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot\hat{g}(\xi).
Öteleme
Herhangi gerçek sayı x0 için, eğer  h(x)=f(x-x_0),  ise  \hat{h}(\xi)= e^{-i\,2\pi \,x_0\,\xi }\hat{f}(\xi).
Modülasyon
Herhangi gerçek sayı ξ0 için eğer h(x)=e^{i \, 2\pi \, x \,\xi_0}f(x), ise  \hat{h}(\xi) = \hat{f}(\xi-\xi_{0}).
Ölçekleme
bir sıfır-dışı gerçek sayılar a için, eğer h(x) = f(ax), ise  \hat{h}(\xi)=\frac{1}{|a|}\hat{f}\left(\frac{\xi}{a}\right).     Durum a = −1 zaman-ters özellik için yer alır, bu durum: eğer h(x) = f(−x), ise \hat{h}(\xi)=\hat{f}(-\xi).
Birleşim
Eğer  h(x)=\overline{f(x)},  then  \hat{h}(\xi) = \overline{\hat{f}(-\xi)}.
Özel olarak, eğer f gerçek, ve tek gerçeklik durumu var ise  \hat{f}(-\xi)=\overline{\hat{f}(\xi)}. , şöyleki, \hat{f} bir Hermisyen fonksiyondur.
Ve eğer f saf sanal, ise  \hat{f}(-\xi)=-\overline{\hat{f}(\xi)}.
Integrasyon
\xi=0 Yerine koyma tanımı içinde, elde edilen
\hat{f}(0) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx

İşte böyle, başlangıç noktası içinde Fourier dönüşümünün evrimi (\xi=0) tüm domenin üzerinde tüm f in integralinin eşitidir .

Önemli Fourier dönüşümlerinin tabloları[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıdaki tablolar, bir kapalı bir şekilde Fourier dönüşümleri kaydedebilir.f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonlar için burada \hat{f} ile Fourier dönüşümü, sırasıyla \hat{g}, ve \hat{h} ile ifade edilir. Sadece en yaygın üç kural dahildir. Bu, bu giriş 105 Fourier Fourier dönüşümü ile ve ters olarak düşünülebilir bir fonksiyonun ve orijinal fonksiyonunun dönüşümü arasında bir ilişki veren fark için yararlı olabilir.

Fonksiyonel ilişkiler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu tabloda Fourier dönüşümleri bulunabilir Erdélyi (1954) veya Kammler (2000, appendix).

Fonksiyon Fourier dönüşümü
birim, sıradan frekans
Fourier dönüşümü
birim, açısal frekans
Fourier dönüşümü
birim-olmayan, açısal frekans
Açıklamalar
\displaystyle f(x)\, \displaystyle \hat{f}(\xi)=

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi i x\xi}\, dx

\displaystyle \hat{f}(\omega)=

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx

\displaystyle \hat{f}(\nu)=

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-i \nu x}\, dx

Tanım
101 \displaystyle a\cdot f(x) + b\cdot g(x)\, \displaystyle a\cdot \hat{f}(\xi) + b\cdot \hat{g}(\xi)\, \displaystyle a\cdot \hat{f}(\omega) + b\cdot \hat{g}(\omega)\, \displaystyle a\cdot \hat{f}(\nu) + b\cdot \hat{g}(\nu)\, Doğrusallık
102 \displaystyle f(x - a)\, \displaystyle e^{-2\pi i a \xi} \hat{f}(\xi)\, \displaystyle e^{- i a \omega} \hat{f}(\omega)\, \displaystyle e^{- i a \nu} \hat{f}(\nu)\, Zaman domeni içinde kayma
103 \displaystyle e^{ 2\pi iax} f(x)\, \displaystyle \hat{f} \left(\xi - a\right)\, \displaystyle \hat{f}(\omega - 2\pi a)\, \displaystyle \hat{f}(\nu - 2\pi a)\, Frekans domeni içinde kayma, 102'nin çifti
104 \displaystyle f(a x)\, \displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\xi}{a} \right)\, \displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\omega}{a} \right)\, \displaystyle \frac{1}{|a|} \hat{f}\left( \frac{\nu}{a} \right)\, zaman domeninde ölçekleme. Eğer \displaystyle |a|\, is büyük, ise \displaystyle f(a x)\, 0 çevresinde yoğunlaşmıştır ve \displaystyle \frac{1}{|a|}\hat{f} \left( \frac{\omega}{a} \right)\, yayılır ve düzleşir.
105 \displaystyle \hat{f}(x)\, \displaystyle f(-\xi)\, \displaystyle f(-\omega)\, \displaystyle 2\pi f(-\nu)\, ikilik.Burada \hat{f} Fourier dönüşümü sütunu olarak aynı yöntem kullanılarak hesaplanması gerekmektedir.

x ve \xi veya \omega veya \nu'ın "yapay" değişkenleri değiştirme sonuçları.

106 \displaystyle \frac{d^n f(x)}{dx^n}\, \displaystyle  (2\pi i\xi)^n  \hat{f}(\xi)\, \displaystyle (i\omega)^n  \hat{f}(\omega)\, \displaystyle (i\nu)^n  \hat{f}(\nu)\,
107 \displaystyle x^n f(x)\, \displaystyle \left (\frac{i}{2\pi}\right)^n \frac{d^n \hat{f}(\xi)}{d\xi^n}\, \displaystyle i^n \frac{d^n \hat{f}(\omega)}{d\omega^n} \displaystyle i^n \frac{d^n \hat{f}(\nu)}{d\nu^n} Bu 106'nın çiftidir
108 \displaystyle (f * g)(x)\, \displaystyle \hat{f}(\xi) \hat{g}(\xi)\, \displaystyle \sqrt{2\pi} \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)\, \displaystyle \hat{f}(\nu) \hat{g}(\nu)\, \displaystyle f * g\, gösterimi f ve g'in evrişimidir— bu kural evrişim teoremidir
109 \displaystyle f(x) g(x)\, \displaystyle (\hat{f} * \hat{g})(\xi)\, \displaystyle (\hat{f} * \hat{g})(\omega) \over \sqrt{2\pi}\, \displaystyle \frac{1}{2\pi}(\hat{f} * \hat{g})(\nu)\, Bu 108'in çiftidir
110 \displaystyle f(x) \, için saf gerçek \displaystyle \hat{f}(-\xi) = \overline{\hat{f}(\xi)}\, \displaystyle \hat{f}(-\omega) = \overline{\hat{f}(\omega)}\, \displaystyle \hat{f}(-\nu) = \overline{\hat{f}(\nu)}\, Hermisyen simetridir. \displaystyle \overline{z}\, karmaşık eşleniklerine ayrılır.
111 \displaystyle f(x) \, için bir saf gerçek çift fonksiyon \displaystyle \hat{f}(\omega), \displaystyle \hat{f}(\xi) ve \displaystyle \hat{f}(\nu)\, saf gerçek çift fonksiyondur.
112 \displaystyle f(x) \, için bir saf gerçek tek fonksiyon \displaystyle \hat{f}(\omega), \displaystyle \hat{f}(\xi) ve \displaystyle \hat{f}(\nu) saf sanal tek fonksiyonlar.
113 \displaystyle \overline{f(x)} \displaystyle \overline{\hat{f}(-\xi)} \displaystyle \overline{\hat{f}(-\omega)} \displaystyle \overline{\hat{f}(-\nu)} Karmaşık eşlenik, 110'un genellemesi

Kare-integrallenebilir fonksiyonlar[değiştir | kaynağı değiştir]

bu tablo içinde Fourier dönüşümleri Campbell & Foster 1948 içinde bulunabilir, Erdélyi 1954, veya {harv|Kammler|2000}} in eki.

Fonksiyon Fourier dönüşümü
birim, sıradan frekans
Fourier dönüşümü
birim, açısal frekans
Fourier dönüşümü
birim-olmayan, açısal frekans
Açıklamalar
\displaystyle f(x) \displaystyle \hat{f}(\xi)=

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi ix\xi}\,dx

\displaystyle \hat{f}(\omega)=

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx

\displaystyle \hat{f}(\nu)=

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\nu x}\, dx

201 \displaystyle \operatorname{rect}(a x) \, \displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\xi}{a}\right) \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi a^2}}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\omega}{2\pi a}\right) \displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{\nu}{2\pi a}\right) dörtgen uyarı ve normalleştirilmiş sinc fonksiyon, burada sinc(x) = sin(πx)/(πx) olarak tanımlanır
202 \displaystyle \operatorname{sinc}(a x)\, \displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\xi}{a} \right)\, \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\omega}{2 \pi a}\right) \displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{\nu}{2 \pi a}\right) kural 201'in çifti dörtgen fonksiyon bir ideal alçak-geçiren filtredir, ve sinc fonksiyon gibi bir filtrenin nedensel-olmayan uyarı yanıtıdır.sinc fonksiyon burada sinc(x) = sin(πx)/(πx) olarak tanımlanır
203 \displaystyle \operatorname{sinc}^2 (a x) \displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\xi}{a} \right) \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) \displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{tri} \left( \frac{\nu}{2\pi a} \right) tri(x) fonksiyon üçgen fonksiyondur
204 \displaystyle \operatorname{tri} (a x) \displaystyle \frac{1}{|a|}\cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\xi}{a} \right) \, \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2}} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\omega}{2\pi a} \right) \displaystyle \frac{1}{|a|} \cdot \operatorname{sinc}^2 \left( \frac{\nu}{2\pi a} \right) kural 203'ün ikilisi.
205 \displaystyle e^{- a x} u(x) \, \displaystyle \frac{1}{a + 2 \pi i \xi} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi} (a + i \omega)} \displaystyle \frac{1}{a + i \nu} u(x) fonksiyonu Heaviside birim basamak fonksiyon ve a>0.
206 \displaystyle e^{-\alpha x^2}\, \displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{(\pi \xi)^2}{\alpha}} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}}\cdot e^{-\frac{\omega^2}{4 \alpha}} \displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot e^{-\frac{\nu^2}{4 \alpha}} Bu üniter Fourier dönüşümleri için, Gauss fonksiyonu exp(−αx2), kendi Fourier αnın bazı seçimleri için dönüşüm olduğunu gösterir. Bu İntegrallenebilir olması için biz Re(α)>0 olmalıdır.
207 \displaystyle \operatorname{e}^{-a|x|} \, \displaystyle \frac{2 a}{a^2 + 4 \pi^2 \xi^2} \displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{a}{a^2 + \omega^2} \displaystyle \frac{2a}{a^2 + \nu^2} a>0 için. Bu, bir bozunmuş üstel fonksiyonun Fourier dönüşümü bir Lorentzyen fonksiyondur.
208 \displaystyle \operatorname{sech}(a x) \, \displaystyle \frac{\pi}{a} \operatorname{sech} \left( \frac{\pi^2}{ a} \xi \right) \displaystyle \frac{1}{a}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \omega \right) \displaystyle \frac{\pi}{a}\operatorname{sech}\left( \frac{\pi}{2 a} \nu \right) Hiperbolik sekant Fourier dönüşümünün kendisidir
209 \displaystyle e^{-\frac{a^2 x^2}2} H_n(a x)\, \displaystyle \frac{\sqrt{2\pi}(-i)^n}{a}

  \cdot e^{-\frac{2\pi^2\xi^2}{a^2}} H_n\left(\frac{2\pi\xi}a\right)

\displaystyle \frac{(-i)^n}{a}

  \cdot e^{-\frac{\omega^2}{2 a^2}} H_n\left(\frac \omega a\right)

\displaystyle \frac{(-i)^n \sqrt{2\pi}}{a}

  \cdot e^{-\frac{\nu^2}{2 a^2}} H_n\left(\frac \nu a \right)

H_n Hermit polinomudur. Eğer a = 1 ise Gauss-Hermit fonksiyonları Fourier dönüşüm işlemcisinin özfonksiyonudur.Bir türev için, bakınız Hermit polinomu. Formül n = 0 için 206'ya indirgenir.

Dağılımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Fourier dönüşümleri bu tablo (Erdélyi 1954) içinde bulunabilir veya Kammler 2000 in eki.

Fonksiyon Fourier dönüşümü
birim, sıradan frekans
Fourier dönüşümü
birim, açısal frekans
Fourier dönüşümü
birim-olmayan, açısal frekans
Açıklamalar
\displaystyle f(x) \displaystyle \hat{f}(\xi)=

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) e^{-2\pi ix\xi}\,dx

\displaystyle \hat{f}(\omega)=

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x}\, dx

\displaystyle \hat{f}(\nu)=

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\nu x}\, dx

301 \displaystyle 1 \displaystyle \delta(\xi) \displaystyle \sqrt{2\pi}\cdot \delta(\omega) \displaystyle 2\pi\delta(\nu) δ(ξ) dağılımı Dirac delta fonksiyonu'nu ifade eder.
302 \displaystyle \delta(x)\, \displaystyle 1 \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, \displaystyle 1 301'in kural ikizi.
303 \displaystyle e^{i a x} \displaystyle \delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right) \displaystyle \sqrt{2 \pi}\cdot \delta(\omega - a) \displaystyle 2 \pi\delta(\nu - a) Bunu 103 ve 301'den izleyin
304 \displaystyle \cos (a x) \displaystyle \frac{\displaystyle \delta\left(\xi - \frac{a}{2\pi}\right)+\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2} \displaystyle \sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega-a)+\delta(\omega+a)}{2}\, \displaystyle \pi\left(\delta(\nu-a)+\delta(\nu+a)\right) 101 ve 303 kuralından aşağıda Euler formülü kullanılıyor:\textstyle \cos(a x) =

(e^{i a x} + e^{-i a x})/2.

305 \displaystyle \sin( ax) \displaystyle \frac{\displaystyle\delta\left(\xi-\frac{a}{2\pi}\right)-\delta\left(\xi+\frac{a}{2\pi}\right)}{2i} \displaystyle \sqrt{2 \pi}\cdot\frac{\delta(\omega-a)-\delta(\omega+a)}{2i} \displaystyle -i\pi\left(\delta(\nu-a)-\delta(\nu+a)\right) 101 ve 303 kuralından aşağıda\textstyle \sin(a x) =

(e^{i a x} - e^{-i a x})/(2i).kullanılıyor

306 \displaystyle \cos ( a x^2 ) \displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)  \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 a}} \cos \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) \displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{a}} \cos \left( \frac{\nu^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)
307 \displaystyle \sin ( a x^2 ) \, \displaystyle - \sqrt{\frac{\pi}{a}}  \sin \left( \frac{\pi^2 \xi^2}{a} - \frac{\pi}{4} \right)  \displaystyle \frac{-1}{\sqrt{2 a}} \sin \left( \frac{\omega^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right) \displaystyle -\sqrt{\frac{\pi}{a}}\sin \left( \frac{\nu^2}{4 a} - \frac{\pi}{4} \right)
308 \displaystyle x^n\, \displaystyle \left(\frac{i}{2\pi}\right)^n \delta^{(n)} (\xi)\, \displaystyle i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\, \displaystyle 2\pi i^n\delta^{(n)} (\nu)\, Burada, n bir doğal sayılar sicimi \textstyle \delta^{(n)}(\xi) Dirac delta fonksiyonunun türevinin n-inci dağılımıdır. Bu kural 107 ve 301 kuralından izlenir.Bu 101 ile kombine ediliyor,tüm polinomlar dönüştürülbilir.
309 \displaystyle \frac{1}{x} \displaystyle -i\pi\sgn(\xi) \displaystyle -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega) \displaystyle -i\pi\sgn(\nu) Burada sgn(ξ) işaret fonksiyonudur. Unutmadan 1/x bir dağılım değildir.Bu fonksiyonların üyelerini test ediyor ise Cauchy temel değeri kullanmak için gereklidir.Bu kural Hilbert dönüşümü çalışmalarında kullanılıyor
310 \displaystyle \frac{1}{x^n} :=

\displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\frac{d^n}{dx^n}\log |x|

\displaystyle -i\pi \frac{(-2\pi i\xi)^{n-1}}{(n-1)!} \sgn(\xi) \displaystyle -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega) \displaystyle -i\pi \frac{(-i\nu)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\nu) 1/xn homojen dağılım ve \textstyle\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}\frac{d^n}{dx^n}\log|x| dağılımsal türev ile tanımlanır
311 \displaystyle |x|^\alpha\, \displaystyle -2 \frac{\sin(\pi\alpha/2)\Gamma(\alpha+1)}{|2\pi\xi|^{\alpha+1}} \displaystyle \frac{-2}{\sqrt{2\pi}}\frac{\sin(\pi\alpha/2)\Gamma(\alpha+1)}{|\omega|^{\alpha+1}} \displaystyle -2\frac{\sin(\pi\alpha/2)\Gamma(\alpha+1)}{|\nu|^{\alpha+1}} Bu formül 0 > α > −1 için değerlidir.α > 0 için başlangıçtan ortaya çıkan bazı tekil terimler bu 318 türevi ile bulunabilir. Eğer Re α > −1,ise |x|^\alpha bir yerel integrallenebilir fonksiyondur, ve gibi bir katkılı dağılım.Fonksiyon \textstyle \alpha\mapsto |x|^\alphakatkılı dağılımın uzayına sağ yarı düzlemden bir holomorfik fonksiyondur. Bu bir katkılı dağılıma bir benzersiz meromorfik uzantı kabul ediliyor , ayrıca |x|^\alpha için α ≠ −2, −4, ... ile ifade edilir (bakınız homojen dağılım.)
312 \displaystyle \sgn(x) \displaystyle \frac{1}{i\pi \xi} \displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{1}{i\omega } \displaystyle \frac{2}{i\nu } 309 kuralının ikizidir. Ve yine Cauchy temel değeri olarak düşünüldüğünde gerekli olan Fourier dönüşümüdür,.
313 \displaystyle u(x) \displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{1}{i \pi \xi} + \delta(\xi)\right) \displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1}{i \pi \omega} + \delta(\omega)\right) \displaystyle \pi\left( \frac{1}{i \pi \nu} + \delta(\nu)\right) u(x) fonksiyonu Heaviside birim basamak fonksiyonudur; 101, 301, ve 312 kurallarından bunu izleyin .
314 \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (x - n T) \displaystyle \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \xi -\frac{k }{T}\right) \displaystyle \frac{\sqrt{2\pi }}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega -\frac{2\pi k}{T}\right) \displaystyle \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \nu -\frac{2\pi k}{T}\right) Bu fonksiyon Dirac comb fonksiyonu olanarak bilinir. Bu ,dağılımlar ile birlikte \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{inx}= 2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x+2\pi k) olarak aslında 302 ve 102 den elde edilebilir sonuçtur
315 \displaystyle J_0 (x) \displaystyle \frac{2\, \operatorname{rect}(\pi\xi)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}} \displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\operatorname{rect}\left( \displaystyle \frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}} \displaystyle \frac{2\,\operatorname{rect}\left(\displaystyle\frac{\nu}{2} \right)}{\sqrt{1 - \nu^2}} J0(x) fonksiyonu sıfırıncı dereceden birinci türün Bessel fonksiyonudur
316 \displaystyle J_n (x) \displaystyle \frac{2 (-i)^n T_n (2 \pi \xi) \operatorname{rect}(\pi \xi)}{\sqrt{1 - 4 \pi^2 \xi^2}} \displaystyle \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{ (-i)^n T_n (\omega) \operatorname{rect} \left( \displaystyle\frac{\omega}{2} \right)}{\sqrt{1 - \omega^2}} \displaystyle \frac{2(-i)^n T_n (\nu) \operatorname{rect} \left(\displaystyle \frac{\nu}{2} \right)}{\sqrt{1 - \nu^2}} Bu 315'in genellemesidir.Fonksiyon Jn(x) n-inci dereceden Bessel birinci türün Bessel fonksiyonudur.Fonksiyon Tn(x) birinci türün Chebyshev polinomudur
317 \displaystyle \log \left| x \right| \displaystyle -\frac{1}{2} \frac{1}{\left| \xi \right|} - \gamma \delta \left( \xi \right) \displaystyle -\frac{\sqrt{\pi / 2}}{\left| \omega \right|} - \sqrt{2 \pi} \gamma \delta \left( \omega \right) \displaystyle -\frac{\pi}{\left| \nu \right|} - 2 \pi \gamma \delta \left( \nu \right) \gamma Euler–Mascheroni sabitidir.
318 \displaystyle \left( \mp ix \right)^{-\alpha} \displaystyle \frac{\left(2\pi\right)^\alpha}{\Gamma\left(\alpha\right)}u\left(\pm \xi \right)\left(\pm \xi \right)^{\alpha-1} \displaystyle \frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma\left(\alpha\right)}u\left(\pm\omega\right)\left(\pm\omega\right)^{\alpha-1} \displaystyle \frac{2\pi}{\Gamma\left(\alpha\right)}u\left(\pm\nu\right)\left(\pm\nu\right)^{\alpha-1} Bu formül 1 > α > 0 için değerdir. Yüksek üsteller için türev formülüne kullanılan diferansiyasyondur.u Heaviside fonksiyonudur.

İki-boyutlu fonksiyonlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Fonksiyon Fourier dönüşümü
birim, sıradan frekans
Fourier dönüşümü
birim, açısal frekans
Fourier dönüşümü
birim-olmayan, açısal frekans
400 \displaystyle f(x,y) \displaystyle \hat{f}(\xi_x, \xi_y)=

\displaystyle \iint f(x,y) e^{-2\pi i(\xi_x x+\xi_y y)}\,dx\,dy

\displaystyle \hat{f}(\omega_x,\omega_y)=

\displaystyle \frac{1}{2 \pi} \iint f(x,y) e^{-i (\omega_x x +\omega_y y)}\, dx\,dy

\displaystyle \hat{f}(\nu_x,\nu_y)=

\displaystyle \iint f(x,y) e^{-i(\nu_x x+\nu_y y)}\, dx\,dy

401 \displaystyle e^{-\pi\left(a^2x^2+b^2y^2\right)} \displaystyle \frac{1}{|ab|} e^{-\pi\left(\xi_x^2/a^2 + \xi_y^2/b^2\right)} \displaystyle \frac{1}{2\pi\cdot|ab|} e^{\frac{-\left(\omega_x^2/a^2 + \omega_y^2/b^2\right)}{4\pi}} \displaystyle \frac{1}{|ab|} e^{\frac{-\left(\nu_x^2/a^2 + \nu_y^2/b^2\right)}{4\pi}}
402 \displaystyle \mathrm{circ}(\sqrt{x^2+y^2}) \displaystyle \frac{J_1\left(2 \pi \sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}\right)}{\sqrt{\xi_x^2+\xi_y^2}} \displaystyle \frac{J_1\left(\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}\right)}{\sqrt{\omega_x^2+\omega_y^2}} \displaystyle \frac{2\pi J_1\left(\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}\right)}{\sqrt{\nu_x^2+\nu_y^2}}
Açıklamalar

400 için: Değişkenler ξx, ξy, ωx, ωy, νx ve νy gerçek sayılardır. Integraller tüm düzlem üzerinde alınır.

401 için: Her iki fonksiyon birim hacmine sahip olmayabilen Gauss vardır.

402 için: Fonksiyon circ(r)=1 0≤r≤1 ile tanımlanır, ve 0 diğerleridir. Bu Airy dağılımıdır, ve J1 bağıntısı kullanılır (ilk tür'ün derece 1 Bessel fonksiyon). Stein & Weiss 1971, Thm. IV.3.3


Genel n-boyutlu fonksiyonlar için formüller[değiştir | kaynağı değiştir]

Fonksiyon Fourier dönüşümü
birim, sıradan frekans
Fourier dönüşümü
birim, açısal frekans
Fourier dönüşümü
birim olmayan,açısal frekans
500 \displaystyle f(\mathbf x)\, \displaystyle \hat{f}(\boldsymbol \xi)=

\displaystyle \int_{\mathbf{R}^n}f(\mathbf x) e^{-2\pi i \mathbf x \cdot \boldsymbol \xi }\, d^n \mathbf x

\displaystyle \hat{f}(\boldsymbol \omega)=

\displaystyle \frac{1}{{(2 \pi)}^{n/2}} \int_{\mathbf{R}^n} f(\mathbf x) e^{-i \boldsymbol \omega \cdot \mathbf x}\, d^n \mathbf x

\displaystyle \hat{f}(\boldsymbol \nu)=

\displaystyle \int_{\mathbf{R}^n}f(\mathbf x) e^{-i \mathbf x \cdot \boldsymbol \nu }\, d^n \mathbf x

501 \displaystyle \chi_{[0,1]}(|\mathbf x|)(1-|\mathbf x|^2)^\delta \displaystyle \pi^{-\delta}\Gamma(\delta+1)|\boldsymbol \xi|^{-n/2-\delta}
\displaystyle \times J_{n/2+\delta}(2\pi|\boldsymbol \xi|)
\displaystyle 2^{-\delta}\Gamma(\delta+1)\left|\boldsymbol \omega\right|^{-n/2-\delta}
\displaystyle \times J_{n/2+\delta}(|\boldsymbol \omega|)
\displaystyle \pi^{-\delta}\Gamma(\delta+1)\left|\frac{\boldsymbol \nu}{2\pi}\right|^{-n/2-\delta}
\displaystyle \times J_{n/2+\delta}(|\boldsymbol \nu|)
502 \displaystyle |\mathbf x|^{-\alpha}, \quad 0 < \operatorname{Re} \alpha < n. \displaystyle c_\alpha |\boldsymbol \xi|^{-(n - \alpha)}
503 \displaystyle \frac{1}{\left\|\boldsymbol \sigma\right\|\left(2\pi\right)^{n/2}} e^{-\frac{1}{2} \mathbf x^{\mathrm T} \boldsymbol \sigma^{-\mathrm T} \boldsymbol \sigma^{-1} \mathbf x} \displaystyle e^{-\frac{1}{2} \boldsymbol \nu^{\mathrm T} \boldsymbol \sigma \boldsymbol \sigma^{\mathrm T} \boldsymbol \nu}
504 \displaystyle e^{-2\pi\alpha|\mathbf x|} c_n\frac{\alpha}{(\alpha^2+|\xi|^2)^{(n+1)/2}}
Açıklamalar

501 için: Fonksiyon χ[0, 1] aralığının gösterge işlevi [0, 1].Fonksiyonu Γ(x) gama fonksiyonudur. Jn/2 + δ fonksiyonu için n/2 + δ ile, birinci tür bir Bessel işlevidir.n = 2 alınması ve δ = 0 402 üretir.Stein & Weiss 1971, Thm. 4.15

502 için: Riesz potansiyeline bakınız. Formül Analitik devamlılığı ile tüm α ≠ −n, −n − 1, … için tutar, ama sonra fonksiyonu ve onun Fourier dönüşümlerinin uygun düzenlilestirmeye katkılı dağılımları olarak anlaşılması gerekir - formül aynı zamanda tüm α ≠-n,-n için de geçerlidir. Homojen dağılıma bakın.

503 için: Bu, 0 ortalama ile 1 normalize bir çok değişkenli normal dağılım için formül Bold değişkenler vektörler ve matrislerdir.Anılan sayfa ifadenin ardından,\boldsymbol \Sigma = \boldsymbol \sigma \boldsymbol \sigma^{\mathrm T} and \boldsymbol \Sigma^{-1} = \boldsymbol \sigma^{-\mathrm T} \boldsymbol \sigma^{-1}

504 için: Burada c_n=\Gamma((n+1)/2)/\pi^{(n+1)/2}.BakınızStein & Weiss 1971, p. 6

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]