Üstel fonksiyon

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Gerçel değişkenli üstel fonksiyonun grafiği

Üstel fonksiyon, matematiğin en önemli fonksiyonlarından biridir. e^x veya exp(x) sembolleriyle gösterilir. Burada e, yaklaşık değeri 2,718 olan Euler sayısını temsil eder, x ise gerçel ya da karmaşık bir değişkendir. Kuvvet fonksiyonunun tersine, değişken tabanda değil üstte olduğu için bu fonksiyona üstel denir.

Bazı kaynaklarda üstel fonksiyon, herhangi bir pozitif a tabanı için a^x olarak tanımlanır. Bu maddede e tabanlı üstel fonksiyon anlatılacaktır. (Farklı tabanlı üstel fonksiyonlar a^x = e^{x·ln a} bağlantısı sayesinde e tabanlı üstel fonksiyona dönüştürülebilirler, bu yüzden de e tabanlı fonksiyonu incelemek yeterlidir.)

[değiştir] Tanım

Gerçel değişkenli üstel fonksiyon için birbirine eşdeğer olan birkaç tanım verilebilir. Bunlardan bazıları şöyledir:

Limit tanımı:

$\,e^x = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.$

Sonsuz seri tanımı:

$\,e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots$

Türevsel denklem tanımı:

$\,y'(x) = y$ ve $\,y(0) = 1$ eşitliklerini sağlayan $\,y(x)$ fonksiyonuna $\,e^x$ denir.

İntegral tanımı:

$\,\int_{1}^{y}\frac{1}{t}\,dt = x$ eşitliğini sağlayan pozitif $\,y$ sayısına $\,e^x$ denir.

Bu tanımların geçerli ve eşdeğer oldukları pek çok matematiksel analiz kaynağında gösterilir. İlk üç tanım, hiçbir değişiklik yapmadan, karmaşık değişkenli üstel fonksiyon için de verilebilir.