Üstel fonksiyon

Gerçel değişkenli üstel fonksiyonun grafiği

Üstel fonksiyon, matematiğin en önemli fonksiyonlarından biridir. e^x veya exp(x) sembolleriyle gösterilir. Burada e, yaklaşık değeri 2,718 olan Euler sayısını temsil eder, x ise gerçel ya da karmaşık bir değişkendir. Kuvvet fonksiyonunun tersine, değişken tabanda değil üstte olduğu için bu fonksiyona üstel denir.

Bazı kaynaklarda üstel fonksiyon, herhangi bir pozitif a tabanı için a^x olarak tanımlanır. Bu maddede e tabanlı üstel fonksiyon anlatılacaktır. (Farklı tabanlı üstel fonksiyonlar a^x = e^{x·ln a} bağlantısı sayesinde e tabanlı üstel fonksiyona dönüştürülebilirler, bu yüzden de e tabanlı fonksiyonu incelemek yeterlidir.)

Tanım

Gerçel değişkenli üstel fonksiyon için birbirine eşdeğer olan birkaç tanım verilebilir. Bunlardan bazıları şöyledir:

• Limit tanımı:

$\,e^x = \lim_{n \rightarrow \infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.$

• Sonsuz seri tanımı:

$\,e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots$

• Türevsel denklem tanımı:

$\,y'(x) = y$  ve  $\,y(0) = 1$  eşitliklerini sağlayan  $\,y(x)$  fonksiyonuna  $\,e^x$  denir.

• İntegral tanımı:

$\,\int_{1}^{y}\frac{1}{t}\,dt = x$  eşitliğini sağlayan pozitif  $\,y$  sayısına  $\,e^x$  denir.

Bu tanımların geçerli ve eşdeğer oldukları pek çok matematiksel analiz kaynağında gösterilir. İlk üç tanım, hiçbir değişiklik yapmadan, karmaşık değişkenli üstel fonksiyon için de verilebilir.

Özellikler

Yukarıdaki tanımlardan herhangi birinden yola çıkılarak şu özellikler kanıtlanabilir:

• $\,\!\, e^0 = 1$

• $\,\!\, e^1 = e$

• $\,\!\, e^{x + y} = e^x e^y$

• $\,\!\, e^{x y} = \left( e^x \right)^y$

• $\,\!\, {1 \over e^x} = \left({1 \over e}\right)^x = e^{-x}$
• $\,\!\, e^{ln(x)} = x$