Bessel fonksiyonu

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte, ilk defa matematikçi Daniel Bernoulli tarafından tanımlanan ve Friedrich Bessel tarafından genelleştirilen Bessel fonksiyonları, Bessel diferansiyel denkleminin y(x) şeklindeki kanonik çözümleridir:

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0

Burada α (Bessel fonksiyonunun derecesi) keyfi bir gerçel veya karmaşık sayıdır. α için en sık ve önemli durum, değişkenin bir tamsayı mı yoksa yarım-tamsayı mı olduğudur.

α ve −α aynı diferansiyel denklemi üretmesine rağmen, genelde bu iki derece için farklı Bessel fonksiyonları tanımlamak tercih edilir. (örneğin, böylece Bessel fonksiyonları çoğunlukla α'nın düzgün fonksiyonlarıdır). Bessel fonksiyonları silindirik fonksiyonlar veya silindirik harmonikler olarak da bilinir; çünkü fonksiyonlar Laplace denkleminin Silindirik koordinat sistemi'nde çözümünden elde edilir.

Bessel Fonksiyonunun Uygulamaları[değiştir | kaynağı değiştir]

Laplace denklemi ve Helmholtz denklemi'ne silindirik veya küresel koordinatlar'da ayrılabilir çözümler bulma sırasında Bessel denklemi ortaya çıkar. Bessel fonksiyonları dalga yayılımı ve statik potansiyelleri gibi pek çok sorun için bu nedenle özellikle önemlidir. Silindirik koordinat sistemlerinde problemleri çözmede Bessel fonksiyonları, bir tamsayı dereceli (α = n) değer alır; küresel sorunları çözmede, bir yarım tamsayı değeri alır (α = n + ½). Örnekler:

Bessel fonksiyonlarının ayrıca, sinyal işleme gibi başka sorunlar (örneğin, FM sentezi, Kaiser penceresi veyaBessel filtresi'ne bakınız) için yararlı özelliği var.

Tanımlamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu ikinci dereceden diferansiyel denklem olduğundan, iki lineer bağımsız çözüm bulunmalıdır. bununla birlikte koşullara bağlı olarak,, bu çözümler çeşitli formülasyonlara uygun olmaktadır, ve farklı varyasyonlar aşağıda tarif edilmektedir.

Birinci türden Bessel fonksiyonları : Jα[değiştir | kaynağı değiştir]

Bessel fonksiyonunun ilk türü ,Jα(x)ifadesi olan Bessel diferansiyel denkleminin çözümüdür bu orijinde sonludur α tamsayısı için  (x = 0), α'nın negatif tamsayı olmayan değerleri için x sıfıra yaklaştıkça sapıyor.Çözüm tipi (e.g., tamsayı veya tamsayı olmayan) ve özellikler tarafından tanımlanan Jα(x)'ın normalizasyonu aşağıdadır,tahminen x = 0 çevresinde Taylor serisi açılımı ile fonksiyonun tanımı: [1]

 J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left(\tfrac{1}{2}x\right)}^{2m+\alpha}

burada Γ(z) gama fonksiyonu'dur,Faktöriyel fonksiyonun tamsayı olmayan değerlerinin bir genellemesidir. Bessel fonksiyonları sin veya cos fonksiyonlarındaki grafiklere kabaca benziyor,salınımdaki bu bozunma 1/√x la orantılı (ayrıca asimptotik formları aşağıda),büyük x lar için asimptotiklik hariç kökleri olmasına rağmen genelde periyodik değildir,. (Taylor serisi olduğunu gösterir −J1(x) J0(x)'nin türevidir,−sin x ın cos x ın türevi olmas gibi;daha geneli,Jn(x) nin türevi aşağıda kimliği tarafından Jn±1(x) terimleri içinde ifade edilebilir.)

Birinci tür Bessel fonksiyonun çizimi, Jα(x), tamsayı değerleri α = 0, 1, 2.

Tamsayı olmayan α lar için fonksiyonların Jα (x) ve J-α (x) doğrusal bağımsızdır ve bu nedenle denklemin iki çözümü vardır.Diğer taraftan, tamsayı dereceli α için, aşağıdaki ilişki (negatif tamsayı argümanlar için Gamma fonksiyonun sonsuz değerler aldığını unutmayın) geçerlidir:[2]

J_{-n}(x) = (-1)^n J_{n}(x).\,

Bu iki çözüm artık lineer bağımsız olduğu anlamına gelir. Bu durumda, ikinci bir lineer bağımsız çözüm daha sonra aşağıda anlatıldığı gibi, ikinci tür Bessel fonksiyonu olarak tespit edilir.

Bessel integrali[değiştir | kaynağı değiştir]

Diğer tanım ,n'in tamsayı değerleri için Bessel fonksiyonun,integral gösterimi mümkündür:

J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (n \tau - x \sin \tau) \,\mathrm{d}\tau.

Diğer integral gösterimi:

J_n (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{\mathrm{i}\,(n \tau - x \sin \tau)} \,\mathrm{d}\tau.

Bu, Besselin kullandığı yaklaşım ve fonksiyonun bu tanımdan türetilen çeşitli özellikleri vardır ve belki tamsayı-olmayan değerler (\Re(x) > 0 için)ile tanımı genişletilebilir.

J_\alpha(x) =
   \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(\alpha\tau- x \sin\tau)\,d\tau

 - \frac{\sin(\alpha\pi)}{\pi} \int_0^\infty
          e^{-x \sinh(t) - \alpha t} \, dt, [3][4][5][6]

veya \alpha > -\frac{1}{2} için [kaynak belirtilmeli] tarafından


  J_\alpha(x)= \frac{1}{2^{\alpha-1}\Gamma(\alpha + \frac{1}{2}) \sqrt{\pi}\, x^\alpha} \int_0^x (x^2-\tau^2)^{\alpha-1/2}\cos \tau \, d\tau.

Hipergeometrik seriler ile ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Bessel fonksiyonları genelleştirilmiş hipergeometrik serisi terimleri cinsinden ifade edilebilir {{Kaynak needed|date=August 2011}}

J_\alpha(x)=\frac{(x/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}  \;_0F_1 (\alpha+1; -\tfrac{1}{4}x^2).

Bessel-Clifford fonksiyonu Bessel fonksiyonların geliştirilmesi ile elde edilmiştir.

Laguerre polinomları ile ilişkisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Bessel fonksiyonu L_k ve keyfi olarak seçilen parametre t olmak üzere Laguerre polinomları cinsinden ifade edilebilir[7]

\frac{J_\alpha(x)}{\left( \frac{x}{2}\right)^\alpha}= \frac{e^{-t}}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{k=0} \frac{L_k^{(\alpha)}\left( \frac{x^2}{4 t}\right)}{{k+ \alpha \choose k}} \frac{t^k}{k!}.

İkinci türden Bessel fonksiyonları: Yα[değiştir | kaynağı değiştir]

Yα(x) ile gösterilen Ikinci türden Bessel fonksiyonları, bazen Nα(x) yerine gösterilebilir, Bessel diferansiyel denkleminin çözümleridir. (x = 0 ,kökenli bir tekillik var ).Bunlara Heinrich Martin Weber anısına bazen Weber fonksiyonları ve ayrıca Carl Neumann anısına Neumann fonksiyonları denir.

Plot of Bessel function of the second kind, Yα(x), for integer orders α = 0, 1, 2.

α tamsayı değilse, Yα(x) fonksiyonu ile Jα(x) arasında şu ilişki vardır:

Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)}.

Bu durumdan tamsayı olarak alınırsa, α bir tamsayı değilse bu tanımla limit alınırsa 'n' şu eğilimdedir:

Y_n(x) = \lim_{\alpha \to n} Y_\alpha(x).

Buna karşılık gelen bir integral formülü vardır(\Re \{x\} > 0 için),[8]

Y_n(x) =
   \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin(x \sin\theta - n\theta) \, d\theta

 - \frac{1}{\pi} \int_0^\infty
          \left[ e^{n t} + (-1)^n e^{-n t} \right]
          e^{-x \sinh t} \, dt.

Bessel denklemi ne zaman ikinci lineer bağımsız çözüm olarak αtamsayısı Yα(x) için gerekli bir tamsayıdır. . ama Yα(x) bundan daha fazla anlama sahiptir, bir 'doğal' eşi Jα(x) ifadesi kabul edilebilir. Ayrıca aşağıda Hankel fonksiyonları için alt bölüme bakın α bir tam sayı olduğu zaman,Ayrıca,birinci tür fonksiyonları için durum benzerdi,ve aşağıdaki ilişki geçerlidir:

Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x).\,

Jα(x) ve Yα(x)'nin her ikisi de holomorfik fonksiyon'dur of x on the karmaşık düzlem'de negatif gerçek ekseni kesip. Eğer α bir tamsayıdır ise, Bessel fonksiyonlarıJ x 'ın tam fonksiyon'udur. eğer x sabit ise,Bessel fonksiyonları α için tam fonksiyon'dur.

Hankel fonksiyonları: Hα(1), Hα(2)[değiştir | kaynağı değiştir]

Bessel denkleminin için iki doğrusal bağımsız çözümleri için diğer önemli bir formülasyon 'Hankel fonksiyonları'dır. Hα(1)(x) and Hα(2)(x), tanımları için :[9]

H_\alpha^{(1)}(x) = J_\alpha(x) + i Y_\alpha(x)
H_\alpha^{(2)}(x) = J_\alpha(x) - i Y_\alpha(x)

Burada i sanal birim'dir. Bu lineer kombinasyon ayrıca Üçüncü tür Bessel fonksiyonları olarak da bilinir; bunlar Bessel diferansiyel denklemi iki lineer bağımsız çözümlerdir.Fonksiyonun ismi Hermann Hankel anısınadır. Birinci ve ikinci tür Hankel fonksiyonların önemi teorik gelişme yerine uygulamada yatmaktadır. Lineer kombinasyonu bu formları asimptotik formüller veya entegre gösterimleri gibi, çok sayıda basit görünümlü özellikler taşır. e^{if(x)}Hankel fonksiyonları sırasıyla, silindirik dalga denkleminin dışa ve içe yayılan silindirik dalga çözümleri ifade etmek için kullanılır (ya da tersi, bağlı frekans). sinyal mutabakatı için

bir önceki ilişkileri kullanılaraki şu şekilde ifade edilebilir :

H_\alpha^{(1)} (x) = \frac{J_{-\alpha} (x) - e^{-\alpha \pi i} J_\alpha (x)}{i \sin (\alpha \pi)}
H_\alpha^{(2)} (x) = \frac{J_{-\alpha} (x) - e^{\alpha \pi i} J_\alpha (x)}{- i \sin (\alpha \pi)}

eğer α bir tamsayı ise,limiti hesaplanır. Aşağıdaki ilişkiler geçerlidir, α bir tamsayı veya değil:[10]

H_{-\alpha}^{(1)} (x)= e^{\alpha \pi i} H_\alpha^{(1)} (x)
H_{-\alpha}^{(2)} (x)= e^{-\alpha \pi i} H_\alpha^{(2)} (x).

Hankel fonksiyonları için aşağıdaki integral gösterimleri kabul edilir

\Re x > 0:[11]
H_\alpha^{(1)} (x)= \frac{1}{\pi i}\int_{-\infty}^{+\infty+i\pi} e^{x\sinh t - \alpha t} \, dt,
H_\alpha^{(2)} (x)= -\frac{1}{\pi i}\int_{-\infty}^{+\infty-i\pi} e^{x\sinh t - \alpha t} \, dt,

Burada kontur boyunca integrasyon gösterimi integrasyon sınırlarıdır bunun için aşağıdakiler seçilebilir: −∞ dan 0’a negatif gerçel eksen boyunca, 0’dan ±iπ ‘ye sanal eksen boyunca, ve ±iπ ‘dan +∞±iπ ‘a gerçek eksene paralel bir kontur. [12] Uygulamalı matematikte,Kelvin fonksiyonları Berν(x) ve Beiν(x) sırasıyla gerçel ve sanal kısım'dır;

J_\nu(x e^{3 \pi i/4}),\,

burada x gerçeldir, ve Jν(z), Birinci tür Bessel fonksiyonu yerine νinci 'dir. Aynı şekilde,Kerν(x) fonksiyonu ve Keiν(x) gerçel ve sanal kısımları sırasıyla, K_\nu(x e^{\pi i/4})\,, burada K_\nu(z)\, ise νinci ikinci tür modifiye Bessel fonksiyonu yerinedir.

Fonksiyon adı William Thomson, 1.Baron Kelvin anısınadır.

Modifiye Bessel fonksiyonları: Iα, Kα[değiştir | kaynağı değiştir]

x karmaşık değişken ve çift değer için Bessel fonksiyonudur,ve önemli özel bir durum bu tamamen sanal değişkendir. Bu durumdaki, Bessel denklemi çözümleri birinci ve ikinci tür modifiye Bessel fonksiyonları olarak adlandırılır (veya zaman zaman hiperbolik Bessel fonksiyonları ),herhangi bir eşdeğer alternatifleri:[13] tarafından

I_\alpha(x) = i^{-\alpha} J_\alpha(ix) =\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m! \Gamma(m+\alpha+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\alpha}
K_\alpha(x) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\alpha} (x) - I_\alpha (x)}{\sin (\alpha \pi)} = \frac{\pi}{2} i^{\alpha+1} H_\alpha^{(1)}(ix) = \frac{\pi}{2} (-i)^{\alpha+1} H_\alpha^{(2)}(-ix).

Burada gerçek değerler için gerçek ve pozitif değişkenleri x olarak seçilmiştir.Seri açılımı için Iα(x)'dır,böylece buna benzer Jα(x), ancak alternatif olmayan (−1)m faktorüdür.

Iα(x) and Kα(x) are modifiye Bessel denklemiiçin iki lineer bağımsız çözümleri:[14]

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} - (x^2 + \alpha^2)y = 0.

Sıradan Bessel fonksiyonlarının aksine, gerçek bir bağımsız değişken fonksiyonları gibi osilasyonu olan değil, Iα ve Kα sırasıyla katlanarak büyüyen ve eksilen fonksiyonlardır. normal Bessel fonksiyonu gibi Jα, fonksiyonuIα sıfıra gider x = 0 ve α > 0 için sonludur x = 0 , α = 0 için. benzer olarak, Kα x = 0 da ıraksar .

1. tür Modifiye Bessel fonksiyonları, Iα(x), for α = 0, 1, 2, 3
2. tür Modifiye Bessel fonksiyonları, Kα(x), for α = 0, 1, 2, 3


Modifiye Bessel fonksiyonları için iki integral formülüdür ( \Re \{x\} > 0 için):[15]

I_\alpha(x) = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \exp(x\cos\theta) \cos(\alpha\theta) d\theta - \frac{\sin(\alpha\pi)}{\pi}\int_0^\infty \exp(-x\cosh t - \alpha t) dt ,
K_\alpha(x) = \int_0^\infty \exp(-x\cosh t) \cosh(\alpha t) dt.

Modifiye Bessel fonksiyonları  K_{1/3} ve  K_{2/3} hızla yakınsaklık için temsil edilebilir. integral [16]

 K_{1/3} (\xi) = \sqrt{3}\, \int_0^\infty \, \exp \left[- \xi
\left(1+\frac{4x^2}{3}\right) \sqrt{1+\frac{x^2}{3}} \right] \ dx
 K_{2/3} (\xi) = \frac{1}{ \sqrt{3}} \,
\int_0^\infty \, \frac{3+2x^2}{\sqrt{1+x^2/3}}
\exp  \left[- \xi  \left(1+\frac{4x^2}{3}\right) \sqrt{1+\frac{x^2}{3}} \right] \ dx

ikinci türden değiştirilmiş Bessel fonksiyonu ayrıca artık nadir isimler tarafından anılmıştır:

Küresel Bessel fonksiyonları: jn, yn[değiştir | kaynağı değiştir]

Spherical Bessel functions of 1st kind, jn(x), for n = 0, 1, 2
Spherical Bessel functions of 2nd kind, yn(x), for n = 0, 1, 2

Helmholtz denklemi'ni değişkenlere ayırma ile küresel koordinatlarda çözerken, radial denklem formuda vardır:

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x \frac{dy}{dx} + [x^2 - n(n+1)]y = 0.

Bu denklemin iki lineer bağımsız çözümüne 'küresel Bessel fonksiyonları' denir.jn ve yn,ve sıradan Bessel fonksiyonları ile ilişkilidir Jn veYn by:[19]

j_{n}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+1/2}(x),
y_{n}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{-n-1/2}(x).

y_n ifadesi n_n ifadesi gibidir veya ηn; bazı yazarlar bu fonksiyonlara 'küresel Neumann fonksiyonları' diyor.

Küresel Bessel fonksiyonları( 'Rayleigh Formülleri') olarak da yazılabilir:[20]

j_n(x) = (-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\,\frac{\sin x}{x} ,
y_n(x) = -(-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n\,\frac{\cos x}{x}.

İlk küresel Bessel fonksiyonu j_0(x) sinc fonksiyonu (normalize edilmemiş)küresel fonksiyonlar olarak da bilinir. İlk birkaç küresel Bessel fonksiyonları:

j_0(x)=\frac{\sin x} {x}
j_1(x)=\frac{\sin x} {x^2}- \frac{\cos x} {x}
j_2(x)=\left(\frac{3} {x^2} - 1 \right)\frac{\sin x}{x} - \frac{3\cos x} {x^2}[21]
j_3(x)=\left(\frac{15}{x^3} - \frac{6}{x} \right)\frac{\sin x}{x} -\left(\frac{15}{x^2} - 1\right) \frac{\cos x} {x},

ve

y_0(x)=-j_{-1}(x)=-\,\frac{\cos x} {x}
y_1(x)=j_{-2}(x)=-\,\frac{\cos x} {x^2}- \frac{\sin x} {x}
y_2(x)=-j_{-3}(x)=\left(-\,\frac{3}{x^2}+1 \right)\frac{\cos x}{x}- \frac{3 \sin x} {x^2}[22]
y_{3}\left( x\right)=j_{-4}(x) =\left( -\frac{15}{x^{3}}+\frac{6}{x}\right) \frac{\cos
x}{x}-\left( \frac{15}{x^{2}}-1\right) \frac{\sin x}{x}.

Genel eşitlikler[kaynak belirtilmeli]


\begin{align}
J_{n+\frac 1 2}(x)=\sqrt{\frac 2 {\pi x}}\sum_{i=0}^\frac {n+1} 2 (-1)^{n-i} & \left[ \sin(x) \left(\frac 2 x\right)^{n-2i} \frac {(n-i)!}{i!} {-\frac 1 2 -i \choose n-2i} \right. \\
& \left.{} - \cos(x) \left(\frac 2 x\right)^{n+1-2i} \frac {(n-i)!}{i!} i {-\frac 1 2 -i \choose n-2i+1}\right],
\end{align}

(en büyük tamsayının toplamının üst sınırı az veya eşit (n +1) / 2 olarak anlaşılır); Laguerre polinomları L_n çok terimli (bkz. Bessel polinomu)) ve diğer gösterimler kullanan kapalı bir formu ile sağlanmaktadır.[kaynak belirtilmeli]

\begin{align}I_{n+\frac 1 2}(x)&=\frac{n!}{\sqrt\pi (2x)^{n+\frac 1 2}}\left(e^x\cdot L_n^{(-2n-1)}(-2x)-e^{-x}\cdot L_n^{(-2n-1)}(2x)\right)\\
&=\frac{n!e^{-x}}{\sqrt\pi (2x)^{n+\frac12}}\sum_{k=2n+1}^\infty{k-n-1\choose n}\frac{(2x)^k}{k!}\\
&=\frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}}(-1)^{n+1}\sum_{k=n}^\infty \frac{(-2x)^{k+1}k!}{(k-n)!(k+n+1)!}.\end{align}

Üreteç fonksiyonu[değiştir | kaynağı değiştir]

Küresel Bessel fonksiyonlarının üreteç fonksiyonları var [23]

\frac 1 {z} \cos \sqrt{z^2 - 2zt}= \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} j_{n-1}(z),
\frac 1 {z} \sin \sqrt{z^2 + 2zt}= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-t)^n}{n!} y_{n-1}(z) .

Diferensiyel bağıntılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıda f_n herhangi bir j_n, y_n, h_n^{(1)}, h_n^{(2)} için n=0,\pm 1,\pm 2,\dots

\left(\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^m\left(z^{n+1}f_n(z)\right)=z^{(n-m)+1}f_{(n-m)}(z).[24]

Küresel Hankel fonksiyonları: hn[değiştir | kaynağı değiştir]

Hankel fonksiyonların küresel analogları da vardır:

h_n^{(1)}(x) = j_n(x) + i y_n(x) \,
h_n^{(2)}(x) = j_n(x) - i y_n(x). \,

Aslında, buradaki yarım-tamsayı'lı Bessel fonksiyonu için kapalı formun basit ifadesidir trigonometrik fonksiyon'lar standart terimlerin yerine kullanılırsa Küresel Bessel fonksiyonu denir.özellikle negatif olmayan n tamsayısı için :

h_n^{(1)}(x) = (-i)^{n+1} \frac{e^{ix}}{x} \sum_{m=0}^n \frac{i^m}{m!(2x)^m} \frac{(n+m)!}{(n-m)!}

ve burada karmaşık eşlenik h_n^{(2)} dır the of this (gerçel kısım için x). Bu aşağıdaki, örnek için , that j_0(x) = \sin(x)/x ve y_0(x) = -\cos(x)/x,ve benzeri.

Küresel Hankel fonksiyonları küresel dalga yayılımı ile ilgili problemlerde görülür, for example in elektromanyetik alana ilişkin çok kutuplu açılım.

Riccati–Bessel fonksiyonu: Sn, Cn, ξn, ζn[değiştir | kaynağı değiştir]

Riccati–Bessel fonksiyonları küresel Bessel fonksiyonlarından sadece biraz farklı:

S_n(x)=x j_n(x)=\sqrt{\pi x/2} \, J_{n+1/2}(x)
C_n(x)=-x y_n(x)=-\sqrt{\pi x/2} \, Y_{n+1/2}(x)
\xi_n(x) = x h_n^{(1)}(x)=\sqrt{\pi x/2} \, H_{n+1/2}^{(1)}(x)=S_n(x)-iC_n(x)
\zeta_n(x)=x h_n^{(2)}(x)=\sqrt{\pi x/2} \, H_{n+1/2}^{(2)}(x)=S_n(x)+iC_n(x).

Bu diferansiyel denklem uygundur:

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + [x^2 - n (n+1)] y = 0.

Bu diferansiyel denklem, ve nde, bir küre tarafından yayılan elektromanyetik dalgalar sorununda ,Riccati–Bessel çözümleri olarak ortaya çıkar Mie saçılımı'olarak bilinen çözümleri içeren baskı Mie (1908) anısınadır. Bakınız Du (2004)son gelişmeler ve referanslar için [25].

Asimptotik form[değiştir | kaynağı değiştir]

Bessel fonksiyonunun negatif olmayan α için aşağıda asimptotik formu vardır.Küçük bağımsız değişkenler için 0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1},bir elde:[26]

J_\alpha(x) \approx \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha
Y_\alpha(x) \approx \begin{cases}
  \frac{2}{\pi} \left[ \ln (x/2) + \gamma \right]  & \text{if } \alpha=0 \\ \\
  -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \text{if } \alpha > 0
\end{cases}

burada \gamma Euler–Mascheroni sabiti (0.5772...)dir ve \Gamma ifadesi gama fonksiyonu'dur. büyük bağımsız değişkenler x \gg |\alpha^2 - 1/4|,bu olur[26]

J_\alpha(x)\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}}
        \cos \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right)
Y_\alpha(x) \approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}}
        \sin \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right).

(α=1/2 için Bu formüller hassas olarak doğrudur; bakınız yukarda küresel Bessel fonksiyonu.)Bessel fonksiyonu'nun diğer tipinin Asimptotik formu aşağıda doğrudan ileri doğru yukardaki ilişkiden.örneğin,büyük x \gg |\alpha^2 - 1/4| için modifiye Bessel fonksiyonu alınır:

I_\alpha(x) \approx \frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}} \left(1 - \frac{4 \alpha^{2} - 1}{8 x} + \frac{(4 \alpha^{2} - 1) (4 \alpha^{2} - 9)}{2! (8 x)^{2}} - \frac{(4 \alpha^{2} - 1) (4 \alpha^{2} - 9) (4 \alpha^{2} - 25)}{3! (8 x)^{3}} + \cdots \right) ,[27]
K_\alpha(x) \approx \sqrt{\frac{\pi}{2x}} e^{-x} \left(1 + \frac{4 \alpha^{2} - 1}{8 x} + \frac{(4 \alpha^{2} - 1) (4 \alpha^{2} - 9)}{2! (8 x)^{2}} + \frac{(4 \alpha^{2} - 1) (4 \alpha^{2} - 9) (4 \alpha^{2} - 25)}{3! (8 x)^{3}} + \cdots \right) .[28]

Benzer şekilde, \alpha=1/2 olduğunda son ifadeler hassas olarak doğrudur .

Küçük bağımsız değişkenleri için 0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1} alındığında:

I_\alpha(x) \approx \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha
K_\alpha(x) \approx \begin{cases}
  - \ln (x/2) - \gamma   & \text{ise } \alpha=0 \\ \\
  \frac{\Gamma(\alpha)}{2} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \text{ise } \alpha > 0.
\end{cases}

Çarpım teoremi[değiştir | kaynağı değiştir]

Bessel fonksiyonlarına uygun bir çarpım teoremi

\lambda^{-\nu} J_\nu (\lambda z) =
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}
\left(\frac{(1-\lambda^2)z}{2}\right)^n
J_{\nu+n}(z)

burada \lambda ve \nu rasgele karmaşık sayılar olarak alınabilir.benzer bir formu için şu verilebilirY_\nu(z) ve benzeri[29] [30]

Bourget hipotezi[değiştir | kaynağı değiştir]

Başlangıçta Besselin kendisi negatif olmayan n tamsayıları için, Jn(x) = 0 denkleminin x çözümleri sayısının sonsuz sayıda olduğunu kanıtladı.[31] Jn(x) fonksiyonları aynı grafik üzerine çizildiği zaman,x = 0 'sıfır hariç farklı n değerleri için denk gibi görünüyor.Bessel fonksiyonlarının Bourget hipotezi olarak bilinen bu fenomenini inceleyip gösteren ondokuzuncu yüzyıl Fransız matematikçisinin ismine atfedilmiştir Özellikle Jn(x) ve Jn+m(x) fonksiyonları, n ≥ 0 ve m ≥ 1 gibi herhangi bir tamsayı durumu dışında x = 0 hariç başka hiçbir ortak sıfır olmadığını belirtiyor.Hipotez 1929 yılında Carl Ludwig Siegel tarafından kanıtlandı.Watson, pp. 484–5</ref>

Seçilmiş eşitlikler[değiştir | kaynağı değiştir]

[32]

  • I_{-1/2} \left(z\right)= \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\cosh(z) ;
  • I_{1/2} \left(z\right)= \sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sinh(z) ;
  • I_\nu(z)=\sum_{k=0} \frac{z^k}{k!} J_{\nu+k}(z);
  • J_\nu(z)=\sum_{k=0} (-1)^k \frac{z^k}{k!} I_{\nu+k}(z);
  • I_\nu (\lambda z)= \lambda^\nu \sum_{k=0} \frac{\left((\lambda^2-1)\frac z 2\right)^k}{k!} I_{\nu+k}(z);
  • I_\nu (z_1+z_2)= \sum_{k=-\infty}^\infty I_{\nu-k}(z_1)I_k(z_2),\quad J_\nu(z_1\pm z_2)= \sum_{k=-\infty}^\infty J_{\nu \mp k}(z_1)J_k(z_2);
  • J_\nu(z)=\frac z {2 \nu} (J_{\nu-1}(z)+J_{\nu+1}(z)), \quad I_\nu(z)=\frac z {2 \nu} (I_{\nu-1}(z)-I_{\nu+1}(z));
  • J_\nu'(z)=\tfrac{1}{2} (J_{\nu-1}(z)-J_{\nu+1}(z))\quad(\nu\neq 0), \quad J_0'(z)=-J_1(z), \quad I_\nu'(z)=\tfrac{1}{2}(I_{\nu-1}(z)+I_{\nu+1}(z));
  • \left(\tfrac{1}{2}z\right)^\nu= \Gamma(\nu)\cdot \sum_{k=0} I_{\nu+2k}(z)(\nu+2k){-\nu\choose k}
= \Gamma(\nu)\cdot\sum_{k=0}(-1)^k J_{\nu+2k}(z)(\nu+2k){-\nu \choose k}
= \Gamma(\nu+1)\cdot \sum_{k=0}\frac 1{k!}\left(\tfrac1 2z\right)^k J_{\nu+k}(z).
  • K_\frac{1}{2}(z)=\sqrt{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{-z}z^{-1/2},\, z>0

Bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Abramowitz and Stegun, p. 360, 9.1.10.
  2. ^ Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.5.
  3. ^ Watson, p. 176
  4. ^ http://www.math.ohio-state.edu/~gerlach/math/BVtypset/node122.html
  5. ^ http://www.nbi.dk/~polesen/borel/node15.html
  6. ^ Arfken & Weber, exercise 11.1.17.
  7. ^ Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975.
  8. ^ Watson, p. 178.
  9. ^ Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.3, 9.1.4.
  10. ^ Abramowitz and Stegun, p. 358, 9.1.6.
  11. ^ Abramowitz and Stegun, p. 360, 9.1.25.
  12. ^ Watson, p. 178
  13. ^ Abramowitz and Stegun, p. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11.
  14. ^ Abramowitz ve Stegun, p. 374, 9.6.1.
  15. ^ Watson, p. 181.
  16. ^ M.Kh.Khokonov. Sabit fotonun Emisyon Enerji Kaybı ardışık Süreçleri, JETP, V.99, No.4, pp. 690-707 (2004). Derived from formulas sourced to I. S. Gradshteĭn and I. M. Ryzhik, İntegraller, Seriler ve Ürünleri Tablosu (Fizmatgiz, Moscow, 1963; Academic, New York, 1980).
  17. ^ Referred to as such in: Teichroew, D. The Mixture of Normal Distributions with Different Variances, The Annals of Mathematical Statistics. Vol. 28, No. 2 (Jun., 1957), pp. 510–512
  18. ^ a b http://www.mhtlab.uwaterloo.ca/courses/me755/web_chap4.pdf
  19. ^ Abramowitz and Stegun, p. 437, 10.1.1.
  20. ^ Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.25, 10.1.26;
  21. ^ Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.11.
  22. ^ Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.12;
  23. ^ Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.39.
  24. ^ Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.23.
  25. ^ Hong Du, "Mie-saçılma hesabı," Applied Optics 43 (9), 1951–1956 (2004)
  26. ^ a b Arfken & Weber.
  27. ^ Abramowitz and Stegun, p. 377, 9.7.1;
  28. ^ Abramowitz and Stegun, p. 378, 9.7.2;
  29. ^ Abramowitz and Stegun, p. 363, 9.1.74.
  30. ^ C. Truesdell, "On the Addition and Multiplication Theorems for the Special Functions", Proceedings of the National Academy of Sciences, Mathematics, (1950) pp.752–757.
  31. ^ F. Bessel, Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, Berlin Abhandlungen (1824), article 14.
  32. ^ See, for example, Lide DR. CRC handbook of chemistry and physics: a ready-reference book of chemical CRC Press, 2004, ISBN 0-8493-0485-7, p. A-95

Kaynaklar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Şablon:Abramowitz Stegun ref2
  • Arfken, George B. and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition (Harcourt: San Diego, 2005). ISBN 0-12-059876-0.
  • Bayin, S.S. Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2006, Chapter 6.
  • Bayin, S.S., Essentials of Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2008, Chapter 11.
  • Bowman, Frank Introduction to Bessel Functions (Dover: New York, 1958). ISBN 0-486-60462-4.
  • G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Ann. Phys. Leipzig 25 (1908), p. 377.
  • Şablon:Dlmf
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 6.5. Bessel Functions of Integer Order", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd bas.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=274 
  • B Spain, M.G. Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 9 deals with Bessel functions.
  • N. M. Temme, Special Functions. An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1996. ISBN 0-471-11313-1. Chapter 9 deals with Bessel functions.
  • Watson, G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1995) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48391-3.

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]