Laplace dönüşümü

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

Matematikte sınır değer problemleri dahil diferansiyel denklemleri çözmekte ve olasılık teorisinde mühendislik alanında zamandan bağımsız doğrusal sistemleri modellemekte kullanılan bir dönüşümdür. Genel anlamda bir fonksiyonun tanım kümesini zamandan frekansa çevirir. Zaman tanım kümesinde çözmesi zor olan differensiyal denklemler frekans tanım kümesinde daha basit cebirsel denklemlere dönüştüğünden diferansiyel denklemleri çözmekte kullanılırlar. Söz konusu metod, kolay çözüm avantajına karşın ters Laplace dönüşümünün zorluğu ile dengelenir. Laplace dönüşümünün frekans karakterlerini net bir şekilde göstermesinden dolayı sinyal işlemede kullanılır.

Özellikler ve teoremler

f(t) ve g(t) fonksiyonları ve bunların Laplace dönüşümleri F(s) ve G(s) verilsin:

$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \}$

$g(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ G(s) \}$

Aşağıdaki tablo tek yanlı Laplace dönüşümü özelliklerinin bir listesidir:

Tek yanlı Laplace dönüşümünün özellikleri

	Zaman tanım	Frekans tanım	Yorum
Doğrusallık	$a f(t) + b g(t) \$	$a F(s) + b G(s) \$	İntegralin temel kurallarıyla kanıtlanabilir.
Frekans Türevlemesi	$t f(t) \$	$-F'(s) \$
Genel Frekans Türevlemesi	$t^{n} f(t) \$	$(-1)^{n} F^{(n)}(s) \$	Genel olarak
Türevleme	$f'(t) \$	$s F(s) - f(0^-) \$	İntegralin açık hali yazılıp, bu integralde kısmi integrasyon yöntemi kullanılarak bulunabilir.
İkinci Türevleme	$f''(t) \$	$s^2 F(s) - s f(0^-) - f'(0^-) \$	$f'(t)$ fonksiyonuna Türevleme özelliği uygulanır.
Genel Türevleme	$f^{(n)}(t) \$	$s^n F(s) - s^{n - 1} f(0^-) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^-) \$	İkinci türevle ilgili sonuçtan tümevarımla bulunmuştur.
Frekans Entegrasyonu	$\frac{f(t)}{t} \$	$\int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \$
Entegrasyon	$\int_0^t f(\tau)\, d\tau = u(t) * f(t)$	${1 \over s} F(s)$	$u(t)$ Heaviside adım fonksiyonudur.
Ölçekleme	$f(at) \$	${1 \over |a|} F \left ( {s \over a} \right )$
Frekans öteleme	$e^{at} f(t) \$	$F(s - a) \$
Zaman öteleme	$f(t - a) u(t - a) \$	$e^{-as} F(s) \$	$u(t)$ Heaviside adım fonksiyonudur.
Sarılım (Konvülsiyon)	$(f * g )(t) = \int_{0}^{t} f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau$	$F(s) \cdot G(s) \$
Periyodik Fonksiyon	$f(t) \$	${1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt$	$f(t)$ bir periyodik fonksiyon periyot $T$ şöyle ki $f(t) = f(t + T), \; \forall t$

• Başlangıç değer teoremi:

$f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}$

• Son değer teoremi:

$f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}$, Paydanın kökleri sol taraf düzlemindedir.

son değer teoremi bir fonksiyonun uzun dönem davranışını basit kesirlere ayırma veya diğer zorlu cebir işlemler uygulamaksızın verdiği için yararlıdır. Eğer bir fonksiyonun kökleri sağ taraf düzlemindeyse (e.g. $e^t$ or $\sin(t)$) bu formülün davranışı tanımsızdır.

Bazı Önemli Laplace Dönüşümleri

The following table provides Laplace transforms for many common functions of a single variable. For definitions and explanations, see the Explanatory Notes at the end of the table. | 2 || delayed nth power
with frequency shift || $\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \$ || $\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}$ || $s > 0 \,$

| 2a || n. kuvvet
( for integer n ) || ${ t^n \over n! } \$ || ${ 1 \over s^{n+1} }$ || $s > 0 \,$

| 2a.1 || q. kuvvet
( for real q ) || ${ t^q \over \Gamma(q+1) } \$ || ${ 1 \over s^{q+1} }$ || $s > 0 \,$ |- align="center"

| 2a.2 || unit step || $u(t) \$ || ${ 1 \over s }$ || $s > 0 \,$ |- align="center" | 2b || delayed unit step || $u(t-\tau) \$ || ${ e^{-\tau s} \over s }$ || $s > 0 \,$ |- align="center" | 2c || ramp || $t \$ || $\frac{1}{s^2}$ || $s > 0 \,$ |- align="center" | 2d || nth power with frequency shift || $\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \$ || $\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$ || $s > - \alpha \,$ |- align="center" | 2d.1 || exponential decay || $e^{-\alpha t} \$ || ${ 1 \over s+\alpha }$ || $s > - \alpha \$ |- align="center" | 3 || exponential approach || $( 1-e^{-\alpha t}) \$ || $\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$ || $s > 0\$ |- align="center" | 4 || Sinüs || $\sin(\omega t) \$ || ${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$ || $s > 0 \$ |- align="center" | 5 || Kosinüs || $\cos(\omega t) \$ || ${ s \over s^2 + \omega^2 }$ || $s > 0 \$ |- | 16 || Error function || $\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$ || ${e^{s^2/4} \left(1 - \operatorname{erf} \left(s/2\right)\right) \over s}$ || $s > 0 \,$ |- |colspan=5|Explanatory notes:

• $u(t) \,$ Heaviside adım fonksiyonunu gösterir.
• $\delta(t) \,$ Dirac delta fonksiyonunu gösterir.
• $\Gamma (z) \,$ Gama fonksiyonunu gösterir.
• $\gamma \,$ Euler-Mascheroni sabitini gösterir.

• $t \,$, a real number, typically represents time,
  although it can represent any independent dimension.
• $s \,$ is the complex angular frequency.
• $\alpha \,$, $\beta \,$, $\tau \,$, and $\omega \,$ are real numbers.
• $n \,$, is an integer.

• A causal system is a system where the impulse response h(t) is zero for all time t prior to t = 0. In general, the ROC for causal systems is not the same as the ROC for anticausal systems. See also causality.

|}

Dış bağlantılar

• http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi (Verilen bir fonksiyonun hem Laplace ve Fourier dönüşümlerini, hem de ters dönüşümlerini hesaplayan bir site)