Diskriminant

Gerçel sayılı katsayıları olan ikinci derece denklemin köklerinin bulunması için hesaplanan diskriminant değerleri bileşimi

Diskriminant matematik biliminde bir cebirsel kavramdır. Gerçel katsayılı ikinci derece polinom denklemler'in çözümü için kullanılır. İkinci dereceden büyük herhangi bir polinom'un köklerinin bulunması için de bu kavram, köklerin toplamı için gereken ifadenin ve köklerin çarpımı için gereken ifadenin bulunması suretiyle genişletilmiştir. Bu arada bir polinom için çoklu köklerin varlığı veya yokluğu için gereken koşul da diskriminant'in varlığı ve yokluğu ile bulunabilmektedir.

Diskriminant kavramı polinomların incelenemesinden daha başka matematik alanlarda da kullanılmaktadır. Bu kavramın kullanışı konik kesitlerin ve genel olarak kuadratik şekillerin daha iyi anlaşılmasına izin vermektedir. Galois teorisi'nin kuadratik formlara veya sayılar sonlu uzantısı hakkındaki gelişmelerde de diskriminant kavramı rol oynar. Matris sistemindeki determinant hesaplanmasının temelinde de diskriminant kavramı yatmaktadır.

İkinci derecede polinom

-2/5(x^2)+y-9x=0 x<=>y birini diğerinin değerinden yazıp denklemi tek bilinmeyenli hale getiririz.

Δ=b^2-4ac    x1=[-b-(Δ)½]/2a   x2=[-b+(Δ)½]/2a     a=-2/5  y=1  c=9      xy-x^2+y^½=¶  2 bilinmeyenli denklemdir.¶ herhangi bir sayıdır.     

Δ bilinmesi bu ikinci derece fonksiyonunun garafiğinin çizilmesini sağlar

a) Δ > 0 yani Δ pozitif ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır. b) Δ = 0 yani Δ sıfıra eşit ise, denklemin, değerleri birbirleriyle çakışan, yani birbirine eşit, iki gerçel kökü vardır: c) Δ < 0 reel kök yoktur..Kökler irrasyonel dir..i-j-k kartezyen koordinatlar.

Kompleks katsayılı ikinci derece denklemin çözülmesi

Ana madde: Kompleks katsayılı denklem kökü

Eger a, b ve c kompleks sayılar ise veya denklemin çözümü için kompleks sayı kullanılması kabul edilmişse durum biraz daha değişiktir. D'Alembert-Gauss teoremine göre denklemin en aşağı bir tane çözümünün bulunması gerekir. Kompleks sayılıların ise her zaman 2 tane kare kökü bulunur; yani öyle bir δ değeri vardır ki bunun karesi ( δ²) Δ'ya eşittir. Buna göre

a) Eğer diskriminant sıfır dan değişik bir değerde ise, denklemin iki çözüm değeri, yani x₁ eve x₂, şu formülle bulunur:

$x_1 = \frac {-b + \delta}{2a}\quad \text{ ve }\quad x_2 = \frac {-b - \delta}{2a}$

b) Eğer diskriminant değeri sıfır ise denklemin çözümü olarak birbiriyle çakışmış eşit şu iki tane kök $x_1$ bulunur:

$x_1 = \frac{-b}{2a}$

Kısaltılmış diskriminant

Bazan ikinci derecedeki polinom denklem şu şekilde yazılmaktadır:

$ax^2 + 2b'x + c = 0 \;$

Bu şekilde değişik bir diskriminant bilinir ve bu kısaltılmış diskriminant (Δ') şöyle tanımlanır:

$\Delta' = b'^2 - 4ac\;$

Eğer bu denklemin kökleri varsa, şöyle bulunurlar:

$x_1 = \frac {-b' + \delta'}{a}\quad \text{et}\quad x_2 = \frac {-b' - \delta'}{a}\quad \text{avec}\quad \delta'^2 = \Delta' = b'^2 - ac$

Örnekler

a) İlk olarak şu örnek denklemin çözümünü arayalım:

$5x^2 - 5x + 1 = 0 \;$

Çözüm için, yani iki kok x₁ ve x₂ bulmak için, şu Δ diskiriminant ifadesi incelenir :

$\Delta = (-5)^2 -4.5.1=5\quad \text{et}\quad x_1 = \frac {5 + \sqrt 5}{10},\quad x_2 = \frac {5 - \sqrt 5}{10}$

b)İkinci örnek olarak verilen denklem şudur:

$x^2 + 6x + 9 = 0$

ve bunun diskriminant değeri sıfır olarak şöyle bulunur:

$\Delta = 6^2 - 4 ( 1 ) (9) = 36 - 36 = 0\;$

Bu demktir ki bu denklem çözümü birbirine eşit iki gerçel kök olur

$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\;$

Bu birbirine çakışık iki kök değeri -3 olur.

c) Son olarak örnek denklem şu olsun:

$x^2 + x + 1 = 0$

Bu denklem işin diskriminant Δ değeri şu olur:

$\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = -3\;$

yani Δ negatifdir. Bu halde denklemin gerçel sayılarla kökleri bulunmamaktadır. Faket bu halde kompleks kökleri bulunabilir. Diskriminantın kare kökü i√3 olur ve burada i "sanal birim" operatorüdür. Bundan dolayı şu çözüm ortaya çıkar:

$\ \quad\text{et}\quad x_1 = - \frac 12 + i\frac \sqrt 32,\quad x_1 = - \frac 12 - i\frac \sqrt 32$

.

İkinci boyutta kuadratik formlar

Ana madde: Kuadratik form

Eger kuadratik formun diskriminantı negatif ise, φ(x, y) = a ile tanımlanan R² noktaları ensamblı bir hiperboldur. Eğer a pozitif ise, mavi ile gösterilen eğriye benzer şekil alir. Eğer a negatif ise ortaya çıkan eğri yeşil eğri benzeridir. Eğer a sıfıra eşitse, hiperbol dejenere olur ve kırmızı eğri benzeri bir eğri oluşur.

Gerçel sayılar seti üzerinde, iki değişkenli (x ve y) iki boyutlu φ kuadratik formu şu formülle ifade edilir:

$\varphi(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2 \quad\text{ burada }\quad a,b,c \in \mathbb K$

Kuadratik form aynı zamanda bir matris ifade ile de gösterilebilir:

$\varphi(x,y) = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & \frac b2 \\ \frac b2 & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

Bu matris şeklinde ifadenin determinantinin açılması, daha önce diskriminat için verilen ifadeye, yani -1/4(b² - 4ac) ifadesine eşittir. Bir geçen matris P kullanarak yapılan bir baz değişmesi bu determinatın değerinde değişme yapar. Daha detaylı bir açıklama ile, yeni baz için değer eski baz ile P determinantının karesinin çarpımına eşittir ve determinantın işareti değişmeden aynı kalmaktadır. Bu analizin incelenmesi daha ayrıntılı bir maddede yapılmaktadır.

Bunun için iki boyutlu kuadratik formları için üç tane farklı tanımlama yapılmaktadır. B bazında olan kuadratik formun dsiskriminantı, B bazındakı kuadratik forma bağlı olan matrisin determinatı olur. Daha onceki hale benzer bir açıklama ve hesaplama ile kuadratik formun diskriminantının b² - 4ac. ifadesine esit olduğu tanımlanabilir. Sonra, kuadratik formun determinantına bağlı tek değişmez gibi, diskriminant da +1, 0 veya -1 değerleri alabilen determinant işareti olarak tanımlanır.

Diskriminant kuadratik formları üç tane değişik gruba ayırmaktadır. İki boyutta, kanonik bazda determinatın değerinin diskrimantı tanımlaması yapıldıktan sonra, eğer verilmis bir a degeri icin diskriminantın işareti pozitif ise, φ(x, y) = a değişebilirinin (x, y) noktalarının E_a ensamblı bir elipse karşıttır veye ensambl boştur. Eğer diskriminant sıfır ise, bu halde E_a bir parabol'a karşıt olur. Eğer diskriminant negatif ise, E_a bir hiperbol olur. Kuadratik formlar üç farklı şekilde konik seksiyon elde etmeye izin verir.

Herhangi bir derecede polinom

Bir polinom için kök değerini diskriminant yardımı ile çıkarma yöntemi ikiden büyük polinomlar için generalize edilmemmıştır. Fakat polinomun diskriminantı kavramı yine de kullanışlıdır. Doğrusal cebir içinde bir endomorfizim minimal polinomunda çoklu köklerin mevcut bulunması endomorfizmin tabiatını değiştir. Bu şekilde mevcudiyet diagonalleştirme operasyonu imkânsiz yapar. Bu açıklama rasyonel sayılarai da içine aldığında, indirgenemiyen polinomların (yani faktorize edilemeyenler) çoklu köklerinin bulunmasi her türlü hal için imkânsizdir. Bu hal tüm haller için gerçek değildir. Galois teorisi içinde yapılan bu ayrım önemlidir ve sonuçlar konfigirasyona bağlı olarak değişik olabilir.

Örnekler

• İkinci derece polinomlar için ve matris notasyonu kullanarak şu ifade ele geçirilir :

$\Delta(P) = \frac{(-1)^\frac{2(2-1)}{2}}{a}\begin{vmatrix} & a & 2a & 0 &\\ & b & b & 2a &\\ & c & 0 & b &\\ \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} & 1 & 2 & 0 &\\ & b & b & 2a&\\ & c & 0 & b &\\ \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} b & 2a &\\ 0 & b &\\ \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} b & 2a &\\ c & b &\\ \end{vmatrix} = b^2 - 4ac$

• Üçüncü derecede polinomları için genellikle bormalize edilmiş polinom, yani ana diagonal elemanlarının hepsi 1' e eşit olan matrix, kullanılır ve şu ifade ortaya çıkar:

$P = X^3 + aX^2 + bX + c \;$

Bundan şu formül çıkartılır  :

$\Delta(P) = (-1)^\frac{3(3-1)}{2}\begin{vmatrix} & 1 & a & b & c & 0\\ & 0 & 1 & a & b & c &\\ & 3 & 2b & c & 0 & 0 &\\ & 0 & 3 & 2b & c & 0 &\\ & 0 & 0 & 3 & 2b & c &\\ \end{vmatrix} = a^2b^2 + 18abc - 4b^3 - 4a^3c - 27c^2\;$

Bu ifade epey karmaşık görünmektedir; fakat bunun bir uygun nedeni vardır. Geleneksel olarak bu karmaşık ifade kullanılırsa yapılan ikamelerle şu şeklide bir polinom elde edilebilir ve bunun diskriminanti gayet basittir:

$P = X^3 + pX + q \quad\text{et}\quad \Delta(P) = -4p^3 - 27q^2\;$

Gerçel katsayılı 3uncu derece polinom denklemi halinde, eğer dışkırımınant kesinlikle negatif ise denklemin üç tane ayrı değerde gerçel çözümü bulunur; eğer determinant sıfır ise üç tane birbirine çakışışan tek bir gerçel değerde çözüm vardır ve eğer determinan kesinlikle pozitif ise tek bir gerçel çözüm nbulunupo diğer iki tane çözüm ise birbirlerine conjuge kompleks sayılardır.

• Elips eğrileri iki değişkenli üçüncü derece polinomların özel bir şeklinden ortaya çıkarlar.

Elipsin en basit bir halinde denklem şöyledir: $y^2 = x^3 + ax + b$ Bunda $a, b$ katsayıları gerçel sayılardır. Bu halde diskriminant şöyle tanımlanır: $\Delta = -16(4a^3 + 27b^2)$.

Genel şekilde ifade

P dereceli polinom için genel diskriminant ifadesi şöyle tanımlanır:

$P = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1X + a_0\;$

ve bundan şu ortaya çıkar:

$\Delta(P)=(-1)^\frac{n(n-1)}{2}\begin{vmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & n & 0 & \cdots & 0 \\ a_{n-1} & a_n & \ddots & \vdots & (n-1)a_{n-1}& na_n & \ddots & \vdots \\ \vdots & a_{n-1}& \ddots & 0 & \vdots & (n-1)a_{n-1}& \ddots & 0 \\ a_0 & \vdots & \ddots & a_n & a_0 & \vdots & \ddots & na_n \\ 0 & a_0 & & a_{n-1}& 0 & a_0 & & (n-1)a_{n-1}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots &\vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_0 &0 & \cdots & 0 & a_0 \\ \end{vmatrix}$

Diskriminant cebirsel tamsayılar halkası

Sayilar cebiri teorisi tanımı farklı görünen bir diskriminant kavramı kullanır. Bu kavram bir kuadratik formdaki determinanta karşıttır ve matamatikte halka A icin kullanilir. Her diskriminantin her iki tanımı da birbiriyle çok yakın olarak bağlıdırlar.

Eğer A halkasını (tümüyle relatiflerden oluşan bir Z için) Z[a] ile eşit yapan bir cebirsel tamsayı a mevcutsa, a için minimal polinom Z içindeki katsayıları aynen içerir. A'nin polinomlara göre tanımlanmış anlamı ile cebirsel sayı teorisine göre halkanın diskriminantı anlamı ile tamamen eşittir.

Dışsal kaynaklar

• Fransızca Wikipedia Discriminant maddesi: [2](Fransızca) (Erişim:12.1.2010)
• Polinom dikriminant: Hazirlayan: E. W. Weisstein,Wolfram Web Kaynagi tarafindan hazirlanan MathWorld: [3] (İngilizce) (Erişim:12.1.2010)
• Bir polinomin diskriminantinin geometrisi Hazirlayanlar: R.W.D.Nickalls ve R.H.Dye The Mathematical Gazette 1996; 80 Temmuz say. 279–285: [4] (İngilizce) (Erişim:12.1.2010)