Grup (matematik): Revizyonlar arasındaki fark

[kontrol edilmemiş revizyon]

[kontrol edilmiş revizyon]

← Önceki sürümle aradaki fark Sonraki sürümle aradaki fark →

İçerik silindi İçerik eklendi

Satır içi

Sayfanın 09.49, 21 Ocak 2014 tarihindeki hâli

Öbek (veya grup), soyut cebirin en temel matematiksel yapısıdır. Öbek, öncelikle bir kümedir, öğeleri boş olmayan bir küme ve üzerine tanımlı bir ikili işlemi olan bir kümedir. Öbek kuramı, bu işlemin özelliklerine göre öbekleri inceler. Soyut cebirin halka, cisim, modül gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.

Tanım

Eğer boşkümeden farklı ve üzerinde bir tane ikili işlem tanımlanmış bir G kümesi

Bileşme: Her a, b, c $\in$ G için a(bc)=(ab)c.

belitini sağlıyorsa bir yarı öbektir (yarıgrup). Eğer bir yarı öbek,

(iki yönlü) Birim öğe: Her a $\in$ G için öyle bir e $\in$ G vardır ki ea=ae=a.

belitini sağlıyorsa bu kümeye birlik (monoid) denir. Eğer bir birlik,

Tersinir öğe: Her a $\in$ G için öyle bir $a^{-1}\in$ G vardır ki $a^{-1}a=aa^{-1}=e$ .

belitini sağlıyorsa kümeye öbek (grup) adı verilir.

Eğer bir öbek,

Değişme: Her a, b $\in$ G için ab=ba.

belitini sağlıyorsa değişmeli öbek (değişmeli grup) ya da Abel'in anısına Abelyen öbek (abelyen grup) olarak adlandırılır. İşlemi vurgulamak için (G, $\cdot$ ) gösterimi kullanılır (ki burada " $\cdot$ " işlemin simgesidir).

Öbek kuramı (grup kuramı), demin tanımladığımız öbek (grup) yapısıyla ilgilenir. Ödeği tanımlarken yaptığımız tanımlar ise çoğunlukla bazı kesin teoremleri en genel halleriyle ifade etmek için kullanılır.

Bir öbeğin mertebesi |G| ile gösterilen kardinal sayıdır (yani kümenin öğe sayısıdır). |G| sonluysa (ya da sonsuzsa), G ye sonlu öbek (ya da sonsuz öbek) denir.

Bazı Öbek Örnekleri

Toplama işlemiyle tam sayılar kümesi $(Z,+)$ , değişmeli bir öbektir.
Çarpma

Kaynaklar

Thomas W. Hungerford, Algebra, Springer-Verlag, Chapter I, 1974.
Nathan Jacobson, Lectures in Abstract Algebra: I. Besic Concepts, Springer-Verlag, Chapter I, 1951.
Serge Lang, Algebra, Addison-Wesley, 3. baskı, 1993.
Yarasa Genel Müdürlüğü, Cebir, Hacettepe Üniversitesi FF, 2 cilt, 1987.

Ayrıca bakınız

Cisim
Halka

Matematik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz.

Şablon:Link KM Şablon:Link SM

@@ 1. satır: / 1. satır: @@
 {{Diğer anlamı|Grup}}
-'''Grup '''(veya '''öbek'''), [[soyut cebir]]in en temel matematiksel yapısıdır. Grup, öncelikle öğeleri boş olmayan ve üzerinde bir ikili işlem tanımlı [[küme]]dir. [[Öbek kuramı|Grup kuramı]], bu işlemin özelliklerine göre grupları inceler. Soyut cebirin [[halka]], [[cisim (matematik)|cisim]], [[modül]] gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.
+'''Öbek''' (veya '''grup'''), [[soyut cebir]]in en temel matematiksel yapısıdır. Öbek, öncelikle bir [[küme]]dir, [[öğe]]leri boş olmayan bir küme ve üzerine tanımlı bir [[ikili işlem]]i olan bir kümedir. [[Öbek kuramı]], bu işlemin özelliklerine göre öbekleri inceler. Soyut cebirin [[halka]], [[cisim (matematik)|cisim]], [[modül]] gibi diğer yapılarının temelini oluşturur.
 == Tanım ==
-[[Boşküme]]den farklı ve üzerinde bir tane [[ikili işlem]] tanımlanmış bir ''G'' [[küme]]si aşağıdaki özellikleri sağlar:
+Eğer [[boşküme]]den farklı ve üzerinde bir tane [[ikili işlem]] tanımlanmış bir ''G'' [[küme]]si
-* Kapalılık: Her ''a, b'' <math>\in</math> ''G'' için ''a ''''<math>\cdot</math> ''''b'''' ''<math>\in</math>'' ''G'' olmalıdır.''
+* [[Bileşme]]: Her ''a, b, c'' <math>\in</math> ''G'' için ''a(bc)=(ab)c''.
+[[belit]]ini sağlıyorsa bir '''[[yarı öbek]]'''tir (yarıgrup). Eğer bir yarı öbek,
-* Asosyatiflik: Her ''a, b, c'' <math>\in</math> ''G'' için ''a''''<math>\cdot</math>''''(b''''<math>\cdot</math>''''c)=(a''''<math>\cdot</math>''''b)''''<math>\cdot</math>''''c''. Bu özelliği sağlayan gruba, "yarı grup" denir.
+* (iki yönlü) [[Birim öğe]]: Her ''a'' <math>\in</math> ''G'' için öyle bir ''e'' <math>\in</math> ''G'' vardır ki ''ea=ae=a''.
+belitini sağlıyorsa bu kümeye '''[[birlik]]''' (monoid) denir. Eğer bir birlik,
+* [[Tersinir öğe]]: Her ''a'' <math>\in</math> ''G'' için öyle bir <math>a^{-1} \in</math> ''G'' vardır ki <math>a^{-1} a = a a^{-1}=e</math>.
+belitini sağlıyorsa kümeye '''öbek''' (grup) adı verilir.
+Eğer bir öbek,
-* [[Birim öğe]]: Her ''a'' <math>\in</math> ''G'' için öyle bir ''e'' <math>\in</math> ''G'' vardır ki ''e''''<math>\cdot</math>''''a=a''''<math>\cdot</math>''''e=a''. Burada ''e'' elemanına, "birim eleman" denir.
+* [[Değişme]]: Her ''a, b'' <math>\in</math> ''G'' için ''ab=ba''.
+belitini sağlıyorsa '''değişmeli öbek''' (değişmeli grup) ya da [[Abel]]'in anısına '''[[Abelyen öbek]]''' (abelyen grup) olarak adlandırılır. [[İşlem]]i vurgulamak için ''(G, <math>\cdot</math>)'' gösterimi kullanılır (ki burada "<math>\cdot</math>" işlemin simgesidir).
-* [[Tersinir öğe]]: Her ''a'' <math>\in</math> ''G'' için öyle bir <math>a^{-1} \in</math> ''G'' vardır ki <math>a^{-1} a = a a^{-1}=e</math>.
-Eğer bir grup,
-* [[Değişme]]: Her ''a, b'' <math>\in</math> ''G'' için ''a''''<math>\cdot</math>''''b=b''''<math>\cdot</math>''''a''.
-özelliğini sağlıyorsa bu gruba '''değişmeli grup '''(değişmeli öbek) ya da [[Abel]]'in anısına '''[[Abelyen öbek|Abelyen grup]]''' (abelyen öbek) denir. Bir grup için ''(G, <math>\cdot</math>)'' gösterimi kullanılır ("''<math>\cdot</math>''" burada işlemin simgesidir).
-[[Öbek kuramı|Grup kuramı]] (öbek kuramı), tanımladığımız [[öbek|grup]] (öbek) yapısıyla ilgilenir. Grubu tanımlarken yaptığımız tanımlar ise çoğunlukla bazı kesin teoremleri en genel halleriyle ifade etmek için kullanılır.
+[[Öbek kuramı]] (grup kuramı), demin tanımladığımız [[öbek]] (grup) yapısıyla ilgilenir. Ödeği tanımlarken yaptığımız tanımlar ise çoğunlukla bazı kesin teoremleri en genel halleriyle ifade etmek için kullanılır.
-Bir grubun [[mertebe]]si ''|G|'' ile gösterilen [[kardinal sayı]]dır (yani kümenin [[öğe]] sayısıdır). ''|G|'' [[sonlu]]ysa (ya da [[sonsuz]]sa), ''G'' ye [[sonlu öbek|sonlu grup]] (ya da [[sonsuz öbek|sonsuz ]]<nowiki/>grup) denir.
+Bir öbeğin [[mertebe]]si ''|G|'' ile gösterilen [[kardinal sayı]]dır (yani kümenin [[öğe]] sayısıdır). ''|G|'' [[sonlu]]ysa (ya da [[sonsuz]]sa), ''G'' ye [[sonlu öbek]] (ya da [[sonsuz öbek]]) denir.
-== Bazı GrupÖrnekleri ==
+== Bazı Öbek Örnekleri ==
-* Toplama işlemiyle [[tam sayı]]lar kümesi <math>(Z,+)</math>, değişmeli bir gruptur.
+* Toplama işlemiyle [[tam sayı]]lar kümesi <math>(Z,+)</math>, değişmeli bir öbektir.
+* Çarpma
-* Çarpma işlemiyle tam sayılar kümesi abelyen bir gruptur.
 == Kaynaklar ==