Skewes sayısı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Sayılar teorisinde, Skewes' sayısı, birkaç çok büyük sayıdan biridir. Güney Afrikalı matematikçi Stanley Skewes tarafından bulunan ve en küçük x doğal sayılarının üst sınırlarını belirleyen şöyle bir ifadedir:

buradaki π(x), asal hesaplama fonksiyonu ve li(x) is the logaritmik integral fonksiyonudur. Bu sınırlar geliştirildi: bir geçiş noktasıdır.

Skewes sayıları[değiştir | kaynağı değiştir]

Skewes'ın öğretmeni olan John Edensor Littlewood, 1914'de [[Littlewood'da, büyük bir sayı olduğunu ve π(x) − li(x) fark işaretinin son derece sık değişdiğini kanıtladı. Sonradan tüm sayısal deliller, π(x)'nin daima li(x)'den daha az olduğunu gösterdi.

1933'de Skewes, Riemann hipotezinin doğruluğunu ve x gibi bir sayının π(x) < li(x)'i ihlal ettiğini aşağıdaki şekilde ispatladı;

1955'de Skewes, Riemann hipotezini varsaymaksızın. x gibi bir değerin olduğunu şöyle ispatladı;

Her iki Skewes sayıları, matematiksel delillerdeki çoğu büyük sayılarla karşılaştırıldığında onlardan büyüktür ve neredeyse Graham sayısı kadardır.

Son tahminler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu devasa üst sınırlar, Rieman zeta fonksiyonunun sıfırlarıyla büyük ölçekli bilgisayar hesaplamalarını kullanarak epeyce azaltıldı. Keşisme noktasının geçerli değerini için ilk yaklaşım 1966'da Lehman tarafından yapıldı. Lehman, 1,53×101165 ile 1,65×101165 arasında, 10500 ardışık x tam sayıları olduğunu π(x) > li(x) ile gösterdi. Riemann hipotezini kullanmadan Herman te Riele, 2000 yılında 7×10370 şeklinde bir üst sınır olduğunu ispatladı.

Riemann formülü[değiştir | kaynağı değiştir]

Riemann, π(x) için şöyle bir formül geliştirdi;

buradaki toplama, Rieman zeta fonksiyonunun ρ sıfırlarından fazladır. π(x) = li(x) (eğer Riemann hipotezi doğruysa) En büyük hata terimi yaklaşımındaki en büyük hata terimi 'dir. li(x), genellikle π(x)'den daha büyüktür. Yukarıdaki diğer terimler biraz daha küçüktür.

Rieman hipotezinin yanlış olduğu varsayılırsa, argüman çok basit olur. li(xρ) terimlerinden dolayı, sıfırlal ihlal edilirse, Riemann hipotezi (gerçek bölüm 1/2'den daha büyüktür), nihayet li(x1/2)'den büyük olur.

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Patrick Demichel. Asal hesaplama fonksiyonu ve ilgili konular. http://web.archive.org/web/20060908033007/http://demichel.net/patrick/li_crossover_pi.pdf 20.09.2009'da gözden geçirildi