Sabit nokta teoremi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Gezinti kısmına atla Arama kısmına atla

Matematik'te bir sabit nokta teoremi, bir F fonksiyonunun, genel terimlerle ifade edilmiş belli koşullar altında en az bir sabit noktası (bir x noktası için F (x) = x) olduğunu ifade eden bir sonuçtur.[1] Bu tür sonuçlar matematikte en çok kullanılanlar arasındadır.[2]

Matematiksel analiz[değiştir | kaynağı değiştir]

Banach sabit nokta teoremi, bir fonksiyonun iterasyon işlemi sonucu sabit bir nokta verdiğini garanti eden genel bir kriterdir.[3]

Buna karşılık, Brouwer sabit nokta teoremi oluşturmacı(constructive) olmayan bir sonuçtur : n boyutlu Öklid uzayındaki kapalı birim küreden kendisine sürekli bir fonksiyonun sabit bir noktaya sahip olması gerektiğini ifade eder,[4] fakat sabit noktanın nasıl bulunacağını söylemez (ayrıca bkz . Sperner lemması ).

Örneğin, kosinüs fonksiyonu [ − 1,1] 'de süreklidir ve bu aralığı [ − 1, 1]' e eşler ve bu nedenle sabit bir noktaya sahip olmalıdır. Bu durum, kosinüs fonksiyonunun grafiğini incelerken açıkça görülür; sabit nokta, kosinüs eğrisi y = cos ( x ) ile y = x doğrusunun kesiştiği yerde oluşur. Sayısal olarak, sabit nokta yaklaşık x = 0,73908513321516 (bu x değeri için x = cos (x)) olur.

Cebirsel topolojiden Lefschetz sabit nokta teoremi [5] (ve Nielsen sabit nokta teoremi ) [6] dikkat çekicidir, çünkü bir anlamda sabit noktaları saymak için bir yol sunar.

Banach sabit nokta teoreminin ve daha fazlasının genellemeleri vardır; bunlar PDE teorisinde uygulanır. Sonsuz boyutlu uzaylarda sabit nokta teoremlerine bakınız.

Fraktal sıkıştırmadaki kolaj teoremi, birçok görüntü için, herhangi bir başlangıç görüntüsüne yinelemeli olarak uygulandığında, istenen görüntü üzerinde hızla birleşen bir işlevin nispeten küçük bir tanımının var olduğunu kanıtlar.[7]

Cebir ve ayrık matematikte[değiştir | kaynağı değiştir]

Knaster-Tarski teoremi, tam bir kafes üzerindeki herhangi bir monoton fonksiyonun sabit bir noktaya, hatta en küçük sabit noktaya sahip olduğunu belirtir.[8] Ayrıca bakınız Bourbaki – Witt teoremi .

Bu teorem, bir tür statik program analizi biçimi olan soyut yorumlamada uygulamalara sahiptir.

Lambda kalkülüsde ortak bir konu, verilen lambda ifadelerinin sabit noktalarını bulmaktır. Her lambda ifadesinin sabit bir noktası vardır ve sabit nokta birleştiricisi bir lambda ifadesini girdi olarak alan ve çıktı olarak bu ifadenin sabit bir noktasını üreten bir "fonksiyon" dur.[9] Önemli bir sabit nokta birleştirici, yinelemeli tanımlar vermek için kullanılan Y birleştiricidir .

Gösterimsel semantik programlama dillerinde, özyinelemeli tanımların semantiğini oluşturmak için Knaster– Tarski teoreminin özel bir hali kullanılır. Sabit nokta teoremi "aynı" fonksiyona uygulansa da(mantıksal açıdan), teorinin gelişimi oldukça farklıdır.

Özyinelemeli fonksiyonun aynı tanımı, hesaplanabilirlik teorisinde, Kleene'nin yineleme teoremi uygulanarak verilebilir.[10] Bu sonuçlar eşdeğer teoremler değildir; Knaster – Tarski teoremi, gösterimsel semantikte kullanılandan çok daha güçlü bir sonuçtur.[11] Ancak, Church-Turing tezinin ışığında, sezgisel anlamları aynıdır: özyinelemeli bir fonksiyon, belirli bir fonksiyonelin(fonksiyonları fonksiyonlara götüren dönüşüm) en küçük sabit noktası olarak tanımlanabilir.

Sabit bir noktayı bulmak için bir fonksiyona iterasyon uygulama tekniği, kümeler teorisinde de kullanılabilir; normal fonksiyonlar için sabit nokta lemması, ordinallerden ordinallere sürekli ve kesin artan herhangi bir fonksiyonun bir (hatta birçok) sabit noktası olduğunu belirtir.

Bir kısmi sıralı kümedeki her kapanış operatörünün birçok sabit noktası vardır; bunlar kapanış operatörüne göre "kapalı elemanlardır" ve bu sabit noktalar, kapanış operatörünün öncelikle tanımlanmasının ana nedenidir.

Tek sayıda eleman içeren sonlu bir kümedeki her bir involüsyonun sabit bir noktası vardır; daha genel olarak, sonlu bir kümedeki her bir involüsyon için, eleman sayısı ve sabit noktaların sayısı aynı pariteye(çiftlik/teklik durumu) sahiptir . Don Zagier, bu gözlemleri iki kare toplamı ile ilgili Fermat teoremine yazdığı bir cümlelik kanıtında kullandı; aynı tamsayı üçlüleri kümesindeki iki involüsyonu tanımlayarak, bunlardan biri yalnızca bir sabit noktaya ve diğerine kolayca gösterilebilir bunların iki karenin toplamı olarak belirli bir asalın (1 mod 4'e uygun) her bir temsili için sabit bir noktası vardır. İlk involüsyonun tek sayıda sabit noktası olduğundan, ikincisinin de tek sayıdadır ve bu nedenle her zaman istenen formun bir gösterimi vardır.

Sabit nokta teoremlerinin listesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Atıflar
  1. ^ Fixed Point Theory and Its Applications. American Mathematical Society. 1988. ISBN 0-8218-5080-6. 
  2. ^ Fixed Point Theory. Springer-Verlag. 2003. ISBN 0-387-00173-5. 
  3. ^ Introduction to the Analysis of Metric Spaces. Cambridge University Press. 1987. ISBN 978-0-521-35928-3. 
  4. ^ Eberhard Zeidler, Applied Functional Analysis: main principles and their applications, Springer, 1995.
  5. ^ Solomon Lefschetz (1937). "On the fixed point formula". Ann. of Math. 38 (4). ss. 819–822. 
  6. ^ Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co. 2003. 
  7. ^ Fractals Everywhere. Academic Press, Inc. 1988. ISBN 0-12-079062-9. 
  8. ^ Alfred Tarski (1955). "A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications". Pacific Journal of Mathematics. Cilt 5:2. ss. 285–309. 
  9. ^ The Implementation of Functional Programming. Prentice Hall International. 1987. 
  10. ^ Cutland, N.J., Computability: An introduction to recursive function theory, Cambridge University Press, 1980. 0-521-29465-7
  11. ^ The foundations of program verification, 2nd edition, Jacques Loeckx and Kurt Sieber, John Wiley & Sons, 0-471-91282-4, Chapter 4; theorem 4.24, page 83, is what is used in denotational semantics, while Knaster–Tarski theorem is given to prove as exercise 4.3–5 on page 90.
Kaynaklar

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]