Riemann zeta işlevi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Karmaşık düzlemde Riemann zeta işlevi ζ(s). s noktasındaki renk ζ(s) değerini taşımaktadır. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri göstermektedir. s = 1 noktasındaki beyaz benek zeta işlevinin kutbunu simgelemektedir. Negatif gerçel eksen ve Re(s) = 1/2 doğrusu üzerinde yer alan siyah benekler ise sıfır noktalarıdır. Pozitif gerçel değerler kırmızı renkle gösterilmiştir.

Matematikte Riemann zeta işlevi, Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafından 1859'da bulunmuş olan ve asal sayıların dağılımıyla olan ilişkisinden ötürü sayı kuramında önemli yeri bulunan seçkin bir işlevdir. İşlev; fizik, olasılık kuramı ve uygulamalı istatistikte de kullanılmaktadır.

Riemann zeta işlevi(Riemann zeta fonksiyonu) farklı şekillerdede ifade edilse de en yaygın gösterimi


\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots \;\;\;\;\;\;\;
\!

şeklindedir. Buradaki s karmaşık sayısı 1 'den farklı bir sayı olmalıdır.

Riemann zeta işlevinin köklerinin dağılımına ilişkin bir sav olan Riemann önermesi birçok matematikçi tarafından yalın matematiğin şu ana dek çözülememiş en önemli problemi olarak görülmektedir.[1]

Özel değerler[değiştir | kaynağı değiştir]

s > 1 için gerçel Riemann zeta fonksiyonu

Herhangi pozitif 2n çift tamsayısı için:

 \zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}

Burada B2n bir Bernoulli sayısıdır.

Negatif tamsayılar için, olan

\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}

n ≥ 1 için, böylece özel olarak ζ kaybı negatif çift tamsayılar da çünkü Bm = 0 tüm tek m başka 1.

tek pozitif tamsayılar için,bağıntının bu kadar basit olmadığı biliniyor.


\zeta(-1) = -\frac{1}{12}
1 + 2 + 3 + 4 + · · · ıraksak seriler için sonlu bir sonuç atamak için bir yol verir ki string teorisi gibi bazı bağlamlarda yararlı olabilir..[2]
\zeta(0) = -\frac{1}{2};\!
\zeta(1/2) \approx -1.4603545\!  
Bu doğrusal denklem kinetik kinetik sınır tabaka problemlerinin hesaplanmasında kullanılır.[3]
\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty;\!
Eğer 1'den çok büyük sayıların yaklaşılıyorsa bu harmonik seridir.Ama onun asıl değeri
 \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\zeta(1+\varepsilon)+\zeta(1-\varepsilon)}{2}
Buradaki \gamma = 0.5772\ldots Euler–Mascheroni sabitidir .
\zeta(3/2) \approx 2.612;\!  
Bir kutu içindeki periyodik sınır şartları ile bir Bose–Einstein yoğunlaşması, ve manyetik sistemlerde spin dalga fiziği için bu kritik sıcaklığın hesaplanmasında gereklidir.
\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645;\!   Şablon:OEIS
Bu eşitliğin gösterimi Basel problemi olarak bilinir.Bu sorunun toplam cevabı karşılıklıdır :Rastgele olarak seçilmiş iki sayınınaralarında asal olma olasılığı nedir?[4]
\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.202;\!  
Bu Apéry'in sabiti'dir.
\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1.0823;\!  
Fizikteki Stefan–Boltzmann kanununun türevine Planck kanunu bütünleştirilirse belirgin olur

Gösterimler[değiştir | kaynağı değiştir]

Mellin dönüşümü[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir fonksiyon ƒ(x)'un Mellin dönüşümü olarak tanımlanır

 \int_0^\infty f(x)x^{s-1}\, dx,

bölge içinde burada integral tanımlanıyor. Burada bir Mellin dönüşümü olarak zeta-fonksiyonu için çeşili ifadelerdir. Eğer s'in gerçek parçası birden daha büyükse,elimizde

\Gamma(s)\zeta(s) =\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx,

burada Γ Gama fonksiyonunu ifade eder.Konturu değiştirerek, Riemann şöyle gösterdi

2\sin(\pi s)\Gamma(s)\zeta(s) =i\oint_C \frac{(-x)^{s-1}}{e^x-1}\,dx

tüm s için, burada C başlangıç ve +∞'da son sınırları ve kez kökenini çevreler.

Asal sayılara ilişkili bu bağlantıları ayrıca bulmak gerekebilir ve asal sayı teoremi. Eğer π(x) asal-sınır fonksiyonu, ise

\log \zeta(s) = s \int_0^\infty \frac{\pi(x)}{x(x^s-1)}\,dx,

ile Re(s) > 1değerleri için.

Bir benzer Mellin dönüşümü Riemann asal-sınır fonksiyon J(x) içerir, bu kenarlar asal güçler pn ile 1/n'in bir ağırlığı, böylece

J(x) = \sum \frac{\pi(x^{1/n})}{n}.

Şimdi elimizde

\log \zeta(s) = s\int_0^\infty J(x)x^{-s-1}\,dx.

Bu bağıntı ters Mellin dönüşümünün anlamı ile asal sayı teoremini sağlamada kullanılabilir. Riemann'ın asal-sınır fonksiyonu çalışmak için daha kolaydır,ve π(x) Möbius tersi ile bundan kurtulabilir.

Teta fonksiyonları[değiştir | kaynağı değiştir]

Riemann zeta fonksiyonu bir ıraksak Mellin dönüşümü ile resmi olarak verilebilir

2\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \int_0^\infty \theta(it)t^{s/2-1}\,dt,

Jacobi teta foksiyonunun terimleri içinde

\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i n^2\tau).

Bununla beraber bu integral sin herhangi bir değeri için yakınsak değildir ve böylece düzenlenmesine gerek vardır: bu zeta fonksiyonu için aşağıdaki bağıntı verilir:


\begin{align}
& {}\quad \pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) \\[6pt]
& = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2} \int_0^1 \left(\theta(it)-t^{-1/2}\right)t^{s/2-1}\,dt + \frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{s/2-1}\,dt.
\end{align}

Laurent serileri[değiştir | kaynağı değiştir]

Riemann zeta fonksiyonu tek s = 1'de tek sıralı bir tek kutup ile meromorfiktir.Bunun için bir Laurent serisi boyutu s = 1 olarak açılabilir olsun; serisi geliştirilir ise

\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n.

sabite γn burada Stieltjes sabiti deniliyor ve limit ile tanımlanabilir

 \gamma_n = \lim_{m \rightarrow \infty}
{\left[\left(\sum_{k = 1}^m \frac{(\log k)^n}{k}\right) - \frac{(\log m)^{n+1}}{n+1}\right]}.

Sabit terim γ0 Euler–Mascheroni sabitidir.

Integral[değiştir | kaynağı değiştir]

s\in\mathbb{C}\setminus\{1\} tümü için integral ilişkisi

\zeta(s) = \frac{2^{s-1}}{s-1}-2^s\!\int_0^{\infty}\!\!\!\frac{\sin(s\arctan t)}{(1+t^2)^\frac{s}{2}(\mathrm{e}^{\pi\,t}+1)}\,\mathrm{d}t,

tutulanlar doğrudur,Zeta-fonksiyonunun bir sayısal evrimi için kullanılabilir.[5]

Yükselen faktöriyel[değiştir | kaynağı değiştir]

Diğer serileri geliştirmede tam karmaşık düzlem için yükselen faktöryel değeri kullanılan

\zeta(s) = \frac{s}{s-1} - \sum_{n=1}^\infty \left(\zeta(s+n)-1\right)\frac{s(s+1)\cdots(s+n-1)}{(n+1)!}.\!'dir

Bu bütün karmaşık sayılara Dirichlet serisi tanımını genişletmek için yinelemeli kullanılabilir.

Riemann zeta fonksiyonu xs−1; üzerinde Gauss–Kuzmin–Wirsing işlemcisi hareketi üzerinde bir integral içinde Mellin dönüşümüne benzer bir formda ayrıca görünür düşen faktöriyelin terimleri içinde bir seri açılımına bu bağlamda açar.

Hadamard çarpımı[değiştir | kaynağı değiştir]

Weierstrass'ın çarpanlama teoreminin tabanı üzerinde, Hadamard sonsuz çarpım açılımını verdi

\zeta(s) = \frac{e^{(\log(2\pi)-1-\gamma/2)s}}{2(s-1)\Gamma(1+s/2)} \prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) e^{s/\rho},\!

burada çarpım ζ'nın önemsiz-olmayan sıfırlar ρ dir ve tekrar γ harfi Euler–Mascheroni sabiti ifade eder. Daha basit bir sonsuz çarpım açılımı

\zeta(s) = \pi^{s/2} \frac{\prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right)}{2(s-1)\Gamma(1+s/2)}.\!

dır Bu form s = 1,de basit kutuplar −2, −4, ... de açıkça görüntülenir önemsiz sıfırlar payda içinde gamma fonksiyonu terimine gereken, ve s = ρda önemsiz olmayan (Ikinci formülde yakınsama sağlamak, çarpım sıfırların "çiftleri eşleştirme"si üzerine alınmalıdır, yani ρ formunun sıfırlarının bir çifti için faktörleri ve 1 − ρ birleştirilmelidir.)

Kritik şerit üzerinde logaritmik türev[değiştir | kaynağı değiştir]


{\pi \frac{dN}{dx} (x) = \frac{1}{2i}\frac{d}{dx}\bigl(\log(\zeta(1/2 + ix)) - \log(\zeta(1/2 - ix))\bigr)- \frac{2}{1+4x^2} - \sum_{n=0}^\infty \frac{2n + 1/2}{(2n + 1/2)^2 +x^2}}

burada  \frac{dN(x)}{dx} = \sum_\rho \delta (x-\rho) kritik şerit 0 < Re(s) < 1 üzerinde ζ nın sıfırının yoğunluğudur.(δ Dirac delta dağılımıdır, ve toplam ζ'nin üzerinde önemsiz olmayan ρ of dir).

Küresel yakınsak seriler[değiştir | kaynağı değiştir]

zeta fonksiyonu için bir küresel yakınsak seri,tüm karmaşık sayılar için s değerleris = 1 + in/log(2) dışında bazı n tamsayı için,Konrad Knopp 1930 içinde Helmut Hasse ile 1930'da bir varsayım sağlamış idi (bakınız. Euler toplamı):

\zeta(s)=\frac{1}{1-2^{1-s}}
\sum_{n=0}^\infty \frac {1}{2^{n+1}}
\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (k+1)^{-s}.\!

serisi yalnızca Hasse'nin notlarına bir ek içinde gösterildi, ve genel bilgiler kadar olmadı bu 60'lı yıllardan daha sonra yeniden araştırılmış idi (bakınız Sondow, 1994).

Hasse ayrıca küresel yakınsak seriyi kanıtlanmıştır

\zeta(s)=\frac 1{s-1}\sum_{n=0}^\infty \frac 1{n+1}\sum_{k=0}^n {n\choose k}\frac{(-1)^k}{(k+1)^{s-1}}

aynı baskı içindedir.

Peter Borwein yüksek hassasiyetli sayısal hesaplamalar için uygun çok hızlı yakınsak seriyi göstermişti. Algoritma, Chebyshev polinomlarından yararlanarak, Dirichlet eta fonksiyonu üzerine yazılar içinde tanımlanır.

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Zeta fonksiyonu istatistik uygulamaları içinde oluşur (bak Zipf's kanunu ve Zipf–Mandelbrot kanunu).

Zeta fonksiyon düzenlenmesi ıraksak serisinin düzenlenmesi ve kuantum alan teorisi içinde ıraksak integralin bir olasılığı olarak kullanılır.Bir önemli örnekte,Casimir etkisinin hesabı içinde açıkça Riemann zeta-fonksiyonu gösterilir.Zeta fonksiyon dinamik sistemlerin analizi için ayrıca kullanılır.[6]

Sonsuz seriler[değiştir | kaynağı değiştir]

pozitif tamsayılarda zeta fonksiyonu değerlendirldiğinde sabitlerin bir sayısının sonsuz serisi gösterimi içinde belirir.[7] Burada daha öte formüller Harmonik sayı yazısı içindedir


1=\sum_{n=2}^{\infty}(\zeta(n)-1).
 aslında tek ve çift terimlerin iki toplamlarını verir   
\sum_{n=1}^{\infty}(\zeta(2n)-1)=\tfrac34
  ve   
\sum_{n=1}^{\infty}(\zeta(2n+1)-1)=\tfrac14.

\log 2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{n}.

1-\gamma=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\zeta(n)-1}{n}
  burada γ Euler's sabitidir.

\log \pi=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(2(\tfrac32)^n-3)(\zeta(n)-1)}{n}.

\frac{\pi}{4}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\zeta(n)-1}{n}\mathfrak{I}((1+i)^n-(1+i^n))
  burada \mathfrak{I}  bir karmaşık sayının sanal kısmı gösterilir.

Bazı zeta serileri daha karmaşık bağlantılarda değerlendirilir


\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{2^{2n}} = \frac16.

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{4^{2n}} = \frac{13}{30}-\frac{\pi}{8}.

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{8^{2n}} = \frac{61}{126}-\frac{\pi}{16}(\sqrt2+1).

\sum_{n=1}^{\infty}(\zeta(4n)-1) = \frac78-\frac{\pi}{4}\left(\frac{e^{2\pi}+1}{e^{2\pi}-1}\right).

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Bombieri, Enrico. "The Riemann Hypothesis - official problem description". Clay Mathematics Institute. http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf. Erişim tarihi: 05.09.2009. 
  2. ^ Polchinski, Joseph (1998). String Theory, Volume I: An Introduction to the Bosonic String. Cambridge University Press. ss. 22. ISBN 978-0-521-63303-1. 
  3. ^ A J Kainz and U M Titulaer, An accurate two-stream moment method for kinetic boundary layer problems of linear kinetic equations, pp. 1855-1874, J. Phys. A: Mathem. and General, V 25, No 7, 1992
  4. ^ C. S. Ogilvy & J. T. Anderson Excursions in Number Theory, pp. 29–35, Dover Publications Inc., 1988 ISBN 0-486-25778-9
  5. ^ Mathematik-Online-Kurs: Numerik – Numerische Integration der Riemannschen Zeta-Funktion
  6. ^ "Dynamical systems and number theory". http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/spinchains.htm. 
  7. ^ Unless otherwise noted, the formulas in this section are from § 4 of J. M. Borwein et al. (2000)

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]