Iraksak seri

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte ıraksak seri yakınsak olmayan bir sonsuz seridir. Bu, serinin kısmi toplamlarının herhangi bir limit değeri olmadığı anlamına gelmektedir.

Bir seri yakınsıyorsa bu serinin terimleri sıfıra yaklaşmalıdır. Bu nedenle, en az bir terimi sıfıra yaklaşmayan seriler ıraksaktır. Ne var ki, terimleri sıfıra yaklaşan tüm seriler yakınsak değillerdir. Harmonik seri bu duruma örnek olarak gösterilebilir.

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}

Harmonik serinin ıraksak olduğu Orta Çağ matematikçisi Nicole Oresme tarafından kanıtlanmıştır.

Özelleşmiş matematiksel yöntemler, kısmi toplamlar serisi ıraksayan belli serilere değerler atamaktadır. Toplam yöntemi, serinin kısmi toplamlar kümesinden değerlere tanımlı bir parçalı işlevdir. Örneğin, Cesàro toplamı Grandi ıraksak serisine 1/2 değerini atamaktadır. Kısmi toplamların aritmetik ortalamasına dayanan Cesàro toplamı ortalayıcı bir yöntemdir. Diğer yöntemler ise serinin çözümlemeli sürekliliğini göz önüne almaktadır. Fizik bu tür farklı toplam yöntemlerinin en sık kullanıldığı bilim dalıdır.

Iraksak seri toplam yöntemleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir M toplam yöntemi tüm yakınsak serilerin limit değerleriyle koşutluk gösteriyorsa düzenlidir. Bu sonuç Abel Teoremi olarak adlandırılır. Alfred Tauber tarafından bulunan ve bu teoreme kısmen karşıt sonuçlar üreten Tauber teoremleri ise daha çok ilgi çekmektedir. Buradaki kısmen karşıt terimi, M'nin Σ serisini toplayabildiğinde Σ'nın yakınsak olması gerektiğini belirtmektedir.

Iraksak bir serinin toplamına değer atayabilen yöntemler doğrusaldır. Bu sonuç, yöntemin sınırlı kısmi toplamlara sahip olan serileri toplayabilecek biçimde geliştirilebilmesini öngören Hahn-Banach teoreminden çıkarılmaktadır. Bu olgu uygulamada çok yararlı değildir. Bunun nedeni, birbirleriyle tutarsız yöntemlerin çokluğu ve bu yöntemlerin gerçekte var olduklarını kanıtlamanın seçme beliti ya da Zorn önermesi gibi yöntemler kullanmayı gerektirmesidir.

Iraksak serilerin matematiksel çözümlemedeki kullanım alanı Abel toplamı, Cesàro toplamı ve Borel toplamı gibi somut ve doğal yöntemler ve bunlar arasındaki ilişkilerdir. Wiener'in Tauber teoremi bu alanda bir milat olmuş ve Fourier çözümlemesindeki Banach cebiri yöntemleri üzerinde beklenmeyen bazı düzeltmeler yapmıştır.

Iraksak seri toplam yöntemleri ekstrapolasyon ve seri dönüşümü yöntemleriyle de ilintilidir. Padé yaklaşıkları, Levin seri dönüşümleri ve nicem mekaniğindeki düzensizlik teoremini düzeltme yöntemlerine ilişkin düzeye bağlı eşlemeler bu yöntemlere örnek olarak gösterilebilir.

Toplam yöntemlerinin özellikleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Toplam yöntemleri genellikle serinin kısmi toplamlar kümesine odaklanmaktadır. Bu seri her ne kadar yakınsamıyorsa da, serinin ilk terimlerinin ortalaması alınarak limit hesaplaması gerekliliği ortadan kaldırılabilmektedir. a = a0 + a1 + a2 + ... ifadesini hesaplayabilmek için öncelikle s serisi bulunmalıdır. Bu seri, s0 = a0 ve sn+1 = sn + an eşitliklerini sağlar. Yakınsak seriler için s, a limitine yaklaşmaktadır. Toplam yöntemi, kısmi toplamlar serisinden değerlere tanımlı bir işlev olarak görülebilir. A, bir seri kümesine değer atayabilen bir toplam yöntemi ise bu, karşılık gelen tüm serilere değer atayabilen bir seri toplam yöntemine dönüştürülebilir. Bu yöntemlerin belirli limit ve toplam değerlerine karşılık gelebilmeleri için sahip olmaları gereken bazı özellikler bulunmaktadır.

  1. Düzenlilik. s serisi x'e yakınsarken A(s) = x koşulu sağlanıyorsa bu toplam yöntemi düzenlidir. Buna karşılık gelen seri toplam yöntemi de AΣ(a) = x sonucuna ulaşmaktadır.
  2. Doğrusallık. A, seri üzerinde tanımlı olduğu noktalarda doğrusal ise bu yöntem doğrusaldır. Bu, A(r + s) = A(r) + A(s) ve k bir sayı (gerçel ya da karmaşık) olmak koşuluyla A(ks) = k A(s) eşitliklerinin sağlanması anlamına gelmektedir. a serisinin an = sn+1sn terimleri s serisi üzerinde doğrusal olduklarından AΣ, seri terimleri üzerinde doğrusaldır.
  3. Kararlılık. s, s0 ile başlayan bir seriyse ve sn = sn+1s0 koşulu sağlanıyorsa A(s) ancak ve ancak A(s′)'nin tanımlı olması durumunda tanımlıdır ve A(s) = s0 + A(s′) eşitliği sağlanır. Başka bir deyişle, an = an+1 koşulu tüm n değerleri için sağlanıyorsa AΣ(a) = a0 + AΣ(a′) eşitliği elde edilir.

Üçüncü koşul daha az önem taşımaktadır. Borel toplamı gibi bazı önemli yöntemler bu koşula sahip değillerdir.

A ve B gibi iki farklı toplam yönteminde ortak olarak bulunması yeğlenen özellik tutarlılıktır. A ve B'nin değer atadığı her s serisi için A(s) = B(s) koşulu sağlanıyorsa bu yöntemler tutarlıdır. İki yöntem tutarlıysa ve bunlardan biri diğerinden daha çok sayıda seriyi toplayabiliyorsa o yöntem diğerinden güçlüdür.

Belitsel yöntemler[değiştir | kaynağı değiştir]

Düzenlilik, doğrusallık ve tutarlılık birer belit olarak tanımlandığında birçok ıraksak seriyi temel cebirsel ifade değişiklikleriyle toplamak olanaklıdır. Örneğin, r ≠ 1 olmak koşuluyla

\begin{align}
G(r,c) & = \sum_{k=0}^\infty cr^k & & \\
 & = c + \sum_{k=0}^\infty cr^{k+1} & & \mbox{ (tutarlılık) } \\
 & = c + r \sum_{k=0}^\infty cr^k & & \mbox{ (doğrusallık) } \\
 & = c + r \, G(r,c) & & \mbox{ ve } \\
G(r,c) & = \frac{c}{1-r} & & \\
\end{align}

geometrik serisi yakınsak olup olmadığına bakılmaksızın toplanabilir. Bu özelliklere sahip olan ve geometrik serilere değer atayabilen toplam yöntemleri bu seriye de değer atayabilmelidirler. Ne var ki, r'nin 1'den büyük bir gerçel sayı olması durumunda kısmi toplamlar sınır tanımaksızın artmakta ve ortalamaya dayanan yöntemler ∞ limit göstermektedirler.

Nörlund ortalamaları[değiştir | kaynağı değiştir]

pn'nin pozitif terimlerden oluşan ve p0'dan başlayan bir seri olduğu varsayılsın. Ayrıca,

\frac{p_n}{p_0+p_1 + \cdots + p_n} \rightarrow 0

koşulu da sağlanmış olsun. Bir s serisi p cinsinden ağırlıklı ortalamalar verecek biçimde düzenlenirse

t_m = \frac{p_m s_0 + p_{m-1}s_1 + \cdots + p_0 s_m}{p_0+p_1+\cdots+p_m}

n sonsuza giderken tn'nin limiti Nörlund ortalaması (Np(s)) olarak adlandırılan ortalama değere eşit olur.

Nörlund ortalaması düzenli, doğrusal ve kararlı olmasının yanı sıra iki Nörlund ortalaması tutarlıdır. Nörlund ortalamalarının en önemlileri kuşkusuz Cesàro toplamlarıdır. pk serisi

p_n^k = {n+k-1 \choose k-1} = \frac{\Gamma(n+k)}{\Gamma(k)}

olarak tanımlandığında Cesàro toplamı Ck, Ck(s) = N(pk)(s) koşulunu sağlamaktadır. k ≥ 0 ise Cesàro toplamları Nörlund ortalamalarıdır. C0 olağan toplamayı, C1 ise olağan Cesàro toplamını göstermektedir. h > k koşulu sağlanıyorsa Ch Ck'den güçlüdür.

Abel ortalamaları[değiştir | kaynağı değiştir]

λ = {λ0, λ1, λ2, ...} sonsuza yönelen artan bir seri olsun ve λ0 ≥ 0 koşulunun sağlandığı varsayılsın.

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \exp(-\lambda_n x)

toplamı tüm x pozitif gerçel sayıları için yakınsıyorsa Abel ortalaması Aλ

A_\lambda(s) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)

biçiminde ifade edilebilir.

Bu tür seriler genel Dirichlet serileri olarak adlandırılır. Fiziksel uygulamalarda ise ısı-öz düzenlemesi adını alırlar.

Abel ortalamaları düzenli, doğrusal ve kararlıdırlar ancak farklı λ değerleri için tutarlı değillerdir. Buna karşın, bazı özel durumlar önemli toplam yöntemleri oluşturmaktadır.

Abel toplamı[değiştir | kaynağı değiştir]

λn = n koşulu sağlandığında Abel toplamına ulaşılmaktadır.

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \exp(-nx) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n

Burada z = exp(−x) eşitliği sağlanmaktadır. Böylece, x pozitif gerçel sayılardan 0'a yaklaşırken ƒ(x)'in limiti, z 1'e aşağıdan yaklaşırken ƒ(z)'nin limitine eşit olur. Bu durumda Abel toplamı A(s)

A(s) = \lim_{z \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=0}^\infty a_n z^n

biçiminde tanımlanır.

Abel toplamı Cesàro toplamı ile tutarlıdır ancak ondan güçlüdür. Ck(s)'nin tanımlı olduğu tüm noktalarda A(s) = Ck(s) eşitliği sağlanmaktadır.

Lindelöf toplamı[değiştir | kaynağı değiştir]

λn = n ln(n) koşulu sağlanıyorsa

f(x) = a_1 + a_2 2^{-2x} + a_3 3^{-3x} + \cdots

eşitliğine ulaşılır.

Lindelöf toplamı (L(s)), x sıfıra giderken ƒ(x)'in limitine eşittir. Birçok uygulama alanı bulunan bu yöntem Mittag-Leffler yıldızındaki güçlü serileri toplayabilmesiyle ünlüdür.

g(z) sıfır çevresinde analitik ise ve bir Maclaurin serisine sahipse Mittag-Leffler yıldızında L(G(z)) = g(z) eşitliği sağlanır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]