Pi sayısı sayfasının kaynağını görüntüle

{{expert-subject|tarih=Mayıs 2017}}
{{ref improve|tarih=Mayıs 2017}}

{{pi kutusu}}
<!--[[Dosya:Pi-unrolled-720.gif|upright=1.4|küçükresim|Çapı 1 birim olan [[daire]]nin [[çevre (geometri)|çevre]]si "{{mvar|π}}" birimdir.]]-->
[[Dosya:Greek lc pi icon.svg|küçükresim|sağ|upright=0.91|Pi sembolü]]
'''Pi sayısı ({{mvar|π}})''', bir [[daire]]nin [[çevre (geometri)|çevre]]sinin [[çap]]ına bölümü ile elde edilen [[irrasyonel sayı|irrasyonel]] [[matematik sabiti]]dir. İsmini, [[Yunanca]] ''περίμετρον'' ''(çevre)'' sözcüğünün ilk harfi olan '''{{mvar|π}}''' harfinden alır. '''Pi sayısı''', '''Arşimet sabiti''' ve '''Ludolph sayısı''' olarak da bilinir.<ref>{{Web kaynağı |url=http://www.matematikciler.org/matematiksel-guzellikler/askin-sayilar/228-pi-sayisi.html |başlık=Pi Sayısı |erişimtarihi=8 Temmuz 2015 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20150709011829/http://www.matematikciler.org/matematiksel-guzellikler/askin-sayilar/228-pi-sayisi.html |arşivtarihi=9 Temmuz 2015 |ölüurl=evet }}</ref> Aynı zamanda ismini yunancada pie anlamına gelen πίτα' dan alır.

'''{{pi}}''' ({{IPAc-en|p|aɪ}}; "'''pi'''" olarak yazılır) sayısı bir matematik sabitidir; [[daire|çemberin]] [[Çevre (geometri)|çevre]]sinin [[çap]]ına [[oran]]ıdır ve yaklaşık olarak 3,14159'a eşittir. {{pi}} sayısı [[matematik]] ve [[fizik]]teki birçok formülde görünür. Bu bir irrasyonel sayıdır yani tam olarak iki tam sayının oranı olarak ifade edilemez ancak <math>\tfrac{22}{7}</math> gibi kesirler genellikle yaklaşık değer olarak kullanılır. Sonuç olarak, [[ondalık gösterimi]] hiçbir zaman bitmez ve [[tekrar eden ondalık|kalıcı olarak tekrarlanan bir düzene]] girmez. Bu bir [[aşkın sayı]]dır yani yalnızca toplamları, çarpımları, üsleri ve tam sayıları içeren bir [[denklem (matematik)|denklem]]in çözümü olamaz. {{pi}}'nin aşkınlığı, eski [[çemberin kareleştirilmesi|daireyi kareleştirme]] problemine meydan okumasını bir [[pergel]] ve [[çizgilik]] ([[Pergel ve çizgilik çizimleri]]) ile çözmenin imkansız olduğunu ima eder. {{pi}}'nin ondalık basamakları rastgele dağıtılmış gibi görünüyor,{{efn|Özellikle, {{pi}}'nin bir [[normal sayı]] olduğu varsayılıyor, bu da basamaklarında, tüm tabanlarda belirli bir tür istatistiksel rastgelelik anlamına geliyor}} ancak bu varsayımın kanıtı bulunamadı.

Binlerce yıldır matematikçiler, bazen değerini yüksek bir doğruluk derecesine göre hesaplayarak {{pi}} hakkındaki anlayışlarını genişletmeye çalıştılar. [[Mısır matematiği|Mısırlılar]] ve [[Babil matematiği|Babilliler]] de dahil olmak üzere eski uygarlıklar, pratik hesaplamalar için oldukça doğru {{pi}} yaklaşımları gerektiriyordu. MÖ 250{{Nbsp}} civarında, [[Yunan matematiği|Yunan matematikçi]] [[Arşimet]] keyfi doğrulukla {{pi}}'ye yaklaşmak için bir [[algoritma]] yarattı. MS 5. yüzyılda, her ikisi de geometrik teknikler kullanarak, [[Çin matematiği|Çinli matematikçiler]] {{pi}}'yi yedi basamağa yaklaştırırken, [[Hint matematiği|Hint matematikçiler]]  beş basamaklı bir tahmin yaptı. {{pi}} için [[Seri (matematik)|sonsuz seri]]'ye dayanan ilk hesaplama formülü, bin yıl sonra keşfedildi.{{sfn|Andrews|Askey|Roy|1999|p=59}}<ref>{{Akademik dergi kaynağı |ad=R. C. |soyadı=Gupta |başlık=On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series |dergi=Ganita Bharati |cilt=14 |sayı=1–4 |yıl=1992 |sayfalar=68-71}}
</ref> Bir dairenin çevresinin çapına oranını temsil etmek için Yunanca [[Pi (harf)|π]] harfinin bilinen en eski kullanımı 1706'da Galli matematikçi [[William Jones (matematikçi)|William Jones]] tarafından yapılmıştır.<ref name=jones>{{Kitap kaynağı |soyadı=Jones |ad=William |yazarbağı=William Jones (mathematician) |yıl=1706 |başlık=Synopsis Palmariorum Matheseos |yer=Londra|yayıncı=J. Wale |url=https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n283/ |sayfalar=[https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n261/ 243], [https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics/page/n283/ 263]|quote-page=263 |alıntı=There are various other ways of finding the ''Lengths'', or ''Areas'' of particular ''Curve Lines'' or ''Planes'', which may very much facilitate the Practice; as for instance, in the ''Circle'', the Diameter is to Circumference as 1 to <br><math>
\overline{\tfrac{16}5 - \tfrac4{239}}
- \tfrac13\overline{\tfrac{16}{5^3} - \tfrac4{239^3}}
+ \tfrac15\overline{\tfrac{16}{5^5} - \tfrac4{239^5}}
-,\, \&c. =</math><br>{{math|1=3.14159, &''c.'' = ''π''}}. This ''Series'' (among others for the same purpose, and drawn from the same Principle) I receiv'd from the Excellent Analyst, and my much Esteem'd Friend Mr. ''[[John Machin]]''; and by means thereof, ''[[Ludolph van Ceulen|Van Ceulen]]''{{'}}s Number, or that in Art. 64.38. may be Examin'd with all desireable Ease and Dispatch.
}}
<p>Reprinted in {{Kitap kaynağı |soyadı=Smith |ad=David Eugene |yıl=1929 |başlık=A Source Book in Mathematics |yayıncı=McGraw–Hill |bölüm=William Jones: The First Use of {{mvar|π}} for the Circle Ratio |bölümurl=https://archive.org/details/sourcebookinmath1929smit/page/346/ |sayfalar=346-347}}</p></ref>

[[Kalkülüs]]'ün icadı kısa sürede {{pi}}'nin yüzlerce basamağının hesaplanmasına yol açtı, bu tüm pratik bilimsel hesaplamalar için yeterliydi. Bununla birlikte, 20. ve 21. yüzyıllarda matematikçiler ve [[bilgisayar bilimi|bilgisayar bilimcileri]], artan hesaplama gücüyle birleştiğinde {{pi}}'nin ondalık gösterimini trilyonlarca basamağa genişleten yeni yaklaşımlar izlediler.<ref>{{Web kaynağı |url=http://www.pi2e.ch/ |başlık=π<sup>e</sup> trillion digits of π |arşivurl=https://web.archive.org/web/20161206063441/http://www.pi2e.ch/ |website=pi2e.ch |arşivtarihi=6 Aralık 2016 |ölüurl=hayır}} <!-- – the exact number of digits increases periodically – it should not be included in this article by citing only a [[WP:PRIMARY|primary reference source]]. --></ref><ref>{{Web kaynağı |soyadı=Haruka Iwao |ad=Emma |yazarbağı=Emma Haruka Iwao |url=https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud |başlık=Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes' constant on Google Cloud |website=[[Google Cloud Platform]] |tarih=14 Mart 2019 |erişimtarihi=12 Nisan 2019 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20191019023120/https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud |arşivtarihi=19 Ekim 2019 |ölüurl=hayır}}</ref> Bu hesaplamalar, sayısal serileri hesaplamak için verimli algoritmaların geliştirilmesinin yanı sıra insanın rekor kırma arayışıyla motive edilir.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=17}}<ref>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı1=Bailey |ad1=David H. |soyadı2=Plouffe |ad2=Simon M. |soyadı3=Borwein |ad3=Peter B. |soyadı4=Borwein |ad4=Jonathan M. |başlık=The quest for PI |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_winter-1997_19_1/page/50 |dergi=[[The Mathematical Intelligencer]] |cilt=19 |sayı=1 |yıl=1997 |sayfalar=50-56|issn=0343-6993 |doi=10.1007/BF03024340 |citeseerx=10.1.1.138.7085|s2cid=14318695 }}</ref> Kapsamlı hesaplamalar, [[süperbilgisayar]]ları test etmek için de kullanılmıştır.

Tanımı daire ile ilgili olduğu için {{pi}}, [[trigonometri]] ve [[geometri]]'deki birçok formülde, özellikle daireler, elipsler ve kürelerle ilgili olanlarda bulunur. Ayrıca [[kozmoloji]], [[fraktal]]s, [[termodinamik]], [[mekanik]] ve [[elektromanyetizma]] gibi bilimdeki diğer konulardaki formüllerde de bulunur. Modern [[matematiksel analiz]]de, bunun yerine genellikle geometriye herhangi bir referans olmaksızın tanımlanır; bu nedenle, [[sayı teorisi]] ve [[istatistik]] gibi geometri ile çok az ilgisi olan alanlarda da görünür. {{pi}}'nin her yerde bulunması, onu bilimin içinde ve dışında en çok bilinen matematiksel sabitlerden biri yapar. {{pi}}'ye adanmış birkaç kitap yayınlandı ve {{pi}}'nin rakamlarının rekor kıran hesaplamaları genellikle haber manşetleriyle sonuçlanıyor.

{{TOC limit|limit=3}}

== Temel bilgiler ==

=== İsim ===
Matematikçiler tarafından bir çemberin çevresinin çapına oranını temsil etmek için kullanılan sembol küçük harf [[Pi (harf)|Yunanca harf {{pi}}]]'dir ve bazen ''pi'' olarak yazılır.<ref name=firstPi/> İngilizcede {{pi}}, [[Yunan harflerinin İngilizce telaffuzu|"pay" olarak telaffuz edilir]] ({{IPAc-en||aɪ}} {{respell|PY}}).<ref>{{Web kaynağı |url=http://dictionary.reference.com/browse/pi?s=t |başlık=pi |yayıncı=Dictionary.reference.com |tarih=2 Mart 1993 |erişimtarihi=18 Haziran 2012|ölüurl=hayır|arşivurl=https://web.archive.org/web/20140728121603/http://dictionary.reference.com/browse/pi?s=t |arşivtarihi=28 Temmuz 2014}}</ref> Matematiksel kullanımda, küçük harf {{pi}}, bir [[dizinin çarpımı]] anlamına gelen büyük harfli ve büyütülmüş karşılığı, ({{math|Σ}} gibi [[toplam]] anlamına gelen) {{math|Π}}'dan ayırt edilir.

{{pi}} sembolünün seçimi [[#π sembolünün benimsenmesi|''{{pi}}'' sembolünün benimsenmesi]] bölümünde tartışılmaktadır.

=== Tanım ===
[[Dosya:Pi eq C over d.svg|alt=A diagram of a circle, with the width labelled as diameter, and the perimeter labelled as circumference|küçükresim|right|Bir dairenin çevresi, çapının üç katından biraz fazladır. Tam orana {{pi}} denir.]]
{{pi}} genellikle bir [[daire]]'nin [[çevresi]] {{math|''C''}} ile [[çapı]] {{math|''d''}}) arasındaki [[oran]] olarak tanımlanır :{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=8}}

<math display="block"> \pi = \frac{C}{d}</math>

Dairenin boyutuna bakılmaksızın {{math|''C''/''d''}} oranı sabittir. Örneğin, bir dairenin çapı başka bir dairenin iki katıysa, {{math|''C''/''d''}} oranını koruyarak çevresi de iki katına sahip olacaktır. Bu {{pi}} tanımı dolaylı olarak [[Öklid geometrisi|düz (Öklid) geometrisi]] kullanır; daire kavramı herhangi bir [[Öklid dışı geometri|eğri (Öklid dışı) geometri]]'ye genişletilebilse de, bu yeni daireler artık {{math|{{pi}} {{=}} ''C''/''d''}} karşılamayacaktır.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=8}}

Burada, bir dairenin çevresi, dairenin [[çevre]] etrafındaki [[yay uzunluğu]]'dur; [[limit (matematik)|limit]]([[kalkülüs]]te bir kavram) kullanılarak geometriden bağımsız olarak resmi olarak tanımlanabilen bir niceliktir.<ref>{{Kitap kaynağı |ad=Tom |soyadı=Apostol |yazarbağı=Tom M. Apostol |başlık=Calculus|cilt=1 |yayıncı=Wiley |basım=2.2yıl=1967|sayfa= 102|alıntı=From a logical point of view, this is unsatisfactory at the present stage because we have not yet discussed the concept of arc length}}</ref> Örneğin, birim çemberin üst yarısının yay uzunluğu [[Kartezyen koordinatlar]]'da {{math|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> {{=}} 1}} denklemiyle doğrudan hesaplanabilir, [[integral]] olarak:{{sfn|Remmert|2012|p=129}}

<math display=block>\pi = \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.</math>

Bunun gibi bir integral, onu 1841'de doğrudan bir integral olarak tanımlayan [[Karl Weierstrass]] tarafından {{pi}}'nin tanımı olarak benimsendi.{{efn|The precise integral that Weierstrass used was <math>\pi=\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2}.</math> {{harvnb|Remmert|2012|p=148}} }}

Artık integral ilk analitik tanımda yaygın olarak kullanılmaz, çünkü, {{harvnb|Remmert|2012}}'nin açıkladığı gibi, [[diferansiyel kalkülüs]] üniversite müfredatında tipik olarak integral hesabından önce gelir, dolayısıyla ikincisine dayanmayan bir {{pi}} bir tanımının olması arzu edilir. Richard Baltzer'e <ref>{{Kitap kaynağı |ad=Richard |soyadı=Baltzer |başlık=Die Elemente der Mathematik |dil=de |çeviribaşlık=The Elements of Mathematics |yıl=1870 |sayfa=195 |url=https://archive.org/details/dieelementederm02baltgoog |yayıncı=Hirzel |ölüurl=hayır|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160914204826/https://archive.org/details/dieelementederm02baltgoog |arşivtarihi=14 Eylül 2016}}</ref> dayanan ve [[Edmund Landau]] <ref>{{Kitap kaynağı |ad=Edmund |soyadı=Landau |yazarbağı=Edmund Landau |başlık=Einführung in die Differentialrechnung und Integralrechnung |dil=de |yayıncı=Noordoff |yıl=1934 |sayfa=193}}</ref> tarafından yaygınlaştırılan böyle bir tanım şöyledir: {{pi}}, [[kosinüs]] fonksiyonunun 0'a eşit olduğu en küçük pozitif sayının iki katıdır.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=8}}{{sfn|Remmert|2012|p=129}}<ref name="Rudin 1976">{{Kitap kaynağı |soyadı=Rudin |ad=Walter |başlık=Principles of Mathematical Analysis |url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|url-erişimi=kayıtlı |yayıncı=McGraw-Hill |yıl=1976 |isbn=978-0-07-054235-8|sayfa=183}}</ref> {{pi}} ayrıca [[sinüs]] fonksiyonunun sıfıra eşit olduğu en küçük pozitif sayı ve sinüs fonksiyonunun ardışık sıfırları arasındaki farktır. Kosinüs ve sinüs, geometriden bağımsız olarak bir [[kuvvet serisi]] <ref>{{Kitap kaynağı |soyadı=Rudin |ad=Walter |başlık=Real and complex analysis |yayıncı=McGraw-Hill |yıl=1986|sayfa= 2}}</ref> veya bir [[diferansiyel denklem]] <ref name="Rudin 1976" />
çözümü olarak tanımlanabilir.

Benzer şekilde, {{pi}}, bir {{math|exp ''z''}} [[karmaşık sayı|karmaşık]] değişkeninin, [[karmaşık üstel]]i {{math|exp ''z''}} nin  özellikleri kullanılarak tanımlanabilir. Kosinüs gibi, karmaşık üstel de birkaç yoldan biriyle tanımlanabilir.
{{math|exp ''z''}}'nin bire eşit olduğu karmaşık sayılar kümesi, şu şekilde (hayali) bir aritmetik ilerlemedir:

<math display=block>\{\dots,-2\pi i, 0, 2\pi i, 4\pi i,\dots\} = \{2\pi ki\mid k\in\mathbb Z\}</math>

ve bu özelliğe sahip benzersiz bir pozitif gerçek sayı, {{pi}} vardır.{{sfn|Remmert|2012|p=129}}<ref>{{Kitap kaynağı |ad=Lars |soyadı=Ahlfors |yazarbağı=Lars Ahlfors |başlık=Complex analysis |url=https://archive.org/details/complexanalysisi0000ahlf |yayıncı=McGraw-Hill |yıl=1966 |sayfa=[https://archive.org/details/complexanalysisi0000ahlf/page/46 46]}}</ref>

[[Topoloji]] ve [[cebir]] gibi karmaşık matematiksel kavramlardan yararlanan aynı fikrin bir varyasyonu aşağıdaki teoremdir:<ref>{{Kitap kaynağı |soyadı=Bourbaki |ad=Nicolas |yazarbağı=Nicolas Bourbaki |başlık=Topologie generale |yayıncı=Springer |yıl=1981|yer=§VIII.2}}</ref> Toplama modulo tam sayıları altındaki reel sayıların '''R'''/'''Z''' grubundan (çember grubu), [[mutlak değer]]i bir olan [[karmaşık sayı]]ların çarpımsal grubuna, benzersiz (otomorfizma) bir sürekli [[izomorfizma]] vardır. {{pi}} sayısı, bu homomorfizmin türevinin büyüklüğünün yarısı olarak tanımlanır.<ref name="Nicolas Bourbaki">{{Kitap kaynağı |soyadı=Bourbaki |ad=Nicolas |yazarbağı=Nicolas Bourbaki |başlık=Fonctions d'une variable réelle |dil=fr |yayıncı=Springer |yıl=1979|yer= §II.3}}</ref>

=== İrrasyonellik ve normallik ===
{{pi}} bir [[irrasyonel sayı]]'dır, yani [[rasyonel sayı|iki tam sayının oranı]] olarak yazılamaz. {{math|{{sfrac|22|7}}}} ve {{math|{{sfrac|355|113}}}} gibi kesirler genellikle {{pi}}'ye yaklaşmak için kullanılır, ancak hiçbir [[bayağı kesir]] (tam sayıların oranı) tam değeri olamaz.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=5}} {{pi}} irrasyonel olduğundan, [[ondalık gösterimi]] içinde sonsuz sayıda basamak vardır ve sonsuz [[devirli sayı|örüntü]] basamaklara yerleşmez. {{pi}}}'nin irrasyonel olduğunun birkaç kanıtı vardır; genellikle cebir gerektirirler ve ''[[reductio ad absurdum]]'' tekniğini kullanılır. {{pi}}'nin [[rasyonel sayı]]lar ile yaklaşık olarak hesaplanabileceği derece kesin olarak bilinmiyor; tahminler, irrasyonalite ölçüsünün {{math|''e''}} veya {{math|ln 2}} ölçüsünden büyük ama [[Liouville sayısı]] ölçüsünden küçük olduğunu ortaya koymuştur.<ref>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı1=Salikhov |ad1=V. |yıl=2008 |başlık=On the Irrationality Measure of pi |dergi=Russian Mathematical Surveys |cilt=53 |sayı=3 |sayfalar=570-572|doi=10.1070/RM2008v063n03ABEH004543 |bibcode=2008RuMaS..63..570S|s2cid=250798202 |issn=0036-0279}}</ref>

{{pi}} rakamlarının görünür bir örüntüsü yoktur ve [[normal sayı|normallik]] testleri dahil olmak üzere [[istatistiksel rastgelelik]] testlerini geçmiştir; tüm olası basamak dizileri (herhangi bir uzunluktaki) eşit sıklıkta göründüğünde, sonsuz uzunlukta bir sayı normal olarak adlandırılır. {{pi}}'nin [[normal sayı|normal]] olduğu varsayımı kanıtlanmadı veya çürütülmedi.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=22–23}}

Bilgisayarların icadından bu yana, üzerinde istatistiksel analiz yapmak için çok sayıda {{pi}} basamağı mevcuttu. [[Yasumasa Kanada]], {{pi}}'nin ondalık basamakları üzerinde ayrıntılı istatistiksel analizler yaptı ve bunları normallikle tutarlı buldu; örneğin, 0 ila 9 arasındaki on hanenin ne kadar sıklıkta olduğu istatistiksel anlamlılık testlerine tabi tutuldu ve bir örüntüye dair hiçbir kanıt bulunamadı.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=22, 28–30}} Herhangi bir rastgele basamak dizisi, [[sonsuz maymun teoremi]] ile rastgele olmayan görünen uzun alt diziler içerir. Bu nedenle, {{pi}}'nin rakam dizisi rastgelelik için istatistiksel testlerden geçtiğinden, ondalık gösteriminin 762. ondalık basamağından başlayan, altı ardışık 9'lu dizi gibi rastgele görünmeyebilecek bazı rakam dizileri içerir.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=3}} Bu, [[matematiksel folklor]]'da [[Richard Feynman]]'a atfen "Feynman noktası" olarak da adlandırılır ancak Feynman ile hiçbir bağlantısı bilinmemektedir.

=== Aşkınlık ===
{{Ayrıca bakınız|Lindemann–Weierstrass theorem}}
[[Dosya:Squaring the circle.svg|küçükresim|alt=Her ikisi de aynı alana sahip bir kare ve daire diyagramı; karenin kenar uzunluğu pi sayısının kareköküdür|{{pi}} bir [[aşkın sayı]] olduğu için, [[Çemberin kareleştirilmesi|daireyi kareleştirme]], klasik [[Pergel ve çizgilik çizimleri|pergel ve cetvel]] kullanılarak sınırlı sayıda adımda mümkün değildir.|left]]
{{pi}} irrasyonel olmasının yanı sıra bir [[aşkın sayı]]'dır, bu da {{math|{{sfrac|''x''<sup>5</sup>|120}} − {{sfrac|''x''<sup>3</sup>|6}} + ''x'' {{=}} 0}} gibi [[rasyonel sayı|rasyonel]] katsayılı herhangi bir sabit olmayan [[polinom denklemi]]'nin [[denklem çözme|çözüm]]ü olamayacağı anlamına gelir.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=6}}{{efn|Gösterilen polinom, [[sinüs]] fonksiyonunun [[Taylor serisi]] açılımının ilk birkaç terimidir.}}

{{pi}} aşkınlığının iki önemli sonucu vardır: İlk olarak, {{pi}}, rasyonel sayılar ve kareköklerin veya ''n''-inci köklerin ({{math|{{radic|31|3 gibi) }}}} veya {{math|{{sqrt|10}}}} gibi) herhangi bir sonlu kombinasyonu kullanılarak ifade edilemez. İkincisi, hiçbir aşkın sayı [[Pergel ve çizgilik çizimleri|pergel ve cetvel]] ile oluşturulamadığından, "[[Çemberin kareleştirilmesi|daireyi kareleştirme]]" mümkün değildir. Başka bir deyişle, yalnızca pergel ve cetvel kullanarak, alanı belirli bir dairenin alanına tam olarak eşit olan bir kare oluşturmak imkansızdır.<ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=25}}</ref>
Bir daireyi kareleştirmek, [[klasik antik çağ]]ın önemli geometri problemlerinden biriydi.<ref>{{harvnb|Eymard|Lafon|2004|p=129}}</ref> Modern zamanların amatör matematikçileri, matematiksel olarak imkansız olmasına rağmen, bazen  daireyi kareleştirme ve başarı iddiasında bulunmaya çalıştılar.<ref>{{Kitap kaynağı |soyadı=Beckmann |ad=Peter |başlık=History of Pi |url=https://archive.org/details/historyofpisymbo00beck |yayıncı=St. Martin's Press |yıl=1989 |özgünyıl=1974 |isbn=978-0-88029-418-8 |sayfa=[https://archive.org/details/historyofpisymbo00beck/page/37 37]}}</ref><ref>{{Kitap kaynağı |soyadı1=Schlager |ad1=Neil |soyadı2=Lauer |ad2=Josh |başlık=Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery |yayıncı=Gale Group |yıl=2001 |isbn=978-0-7876-3933-4|url-erişimi=kayıtlı |url=https://archive.org/details/scienceitstimesu0000unse|erişimtarihi=19 Aralık 2019|arşivurl=https://web.archive.org/web/20191213112426/https://archive.org/details/scienceitstimesu0000unse|arşivtarihi=13 Aralık 2019|ölüurl=hayır}}, p. 185.</ref>

=== Sonsuza giden kesirler ===
İrrasyonel bir sayı olarak {{pi}}, [[bayağı kesir]] olarak gösterilemez. Ancak {{pi}} dahil her sayı, [[sonsuza giden kesir]] adı verilen, sonsuz bir iç içe geçmiş kesirler serisi ile temsil edilebilir:

<math display=block>
\pi = 3+\textstyle \cfrac{1}{7+\textstyle \cfrac{1}{15+\textstyle \cfrac{1}{1+\textstyle \cfrac{1}{292+\textstyle \cfrac{1}{1+\textstyle \cfrac{1}{1+\textstyle \cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}
</math>

Sürekli kesrin herhangi bir noktada kesilmesi, {{pi}} için rasyonel bir yaklaşım verir; bunlardan ilk dördü {{{math|3}}, {{math|{{sfrac|22|7}}}}, {{math|{{sfrac|333|106}}}} ve {{math|{{sfrac|355|113}}}} tür. Bu sayılar, sabitin en iyi bilinen ve en çok kullanılan tarihsel yaklaşımları arasındadır. Bu şekilde üretilen her yaklaşım, en iyi rasyonel yaklaşımdır; yani, her biri aynı veya daha küçük paydaya sahip herhangi bir diğer kesirden {{pi}}'ye daha yakındır.<ref name="Eymard 1999 78">{{harvnb|Eymard|Lafon|2004|p=78}}</ref> {{pi}} aşkın olduğundan, tanım gereği [[cebirsel sayılar|cebirsel]] değildir ve bu nedenle [[ikinci dereceden irrasyonel]] olamaz. Bu nedenle, {{pi}} bir periyodik sonsuza giden kesir içeremez. {{pi}} için basit sonsuza giden kesir (yukarıda gösterilmiştir) başka herhangi bir bariz örüntü sergilemese de,{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=33}}<ref name=mollin>{{Akademik dergi kaynağı|soyadı=Mollin|ad=R. A.|sayı=3|dergi=Nieuw Archief voor Wiskunde|mr=1743850|sayfalar=383-405|başlık=Continued fraction gems|cilt=17|yıl=1999}}</ref> birkaç [[genelleştirilmiş sonsuza giden kesir]] sergiler, örneğin:<ref>{{Akademik dergi kaynağı |başlık=An Elegant Continued Fraction for {{pi}}|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1999-05_106_5/page/456|ad=L.J.|soyadı=Lange|dergi=[[The American Mathematical Monthly]]|cilt=106|sayı=5|tarih=May 1999 |sayfalar=456-458|jstor=2589152|doi=10.2307/2589152}}</ref>

<math display=block>
\begin{align}
\pi &= 3+\textstyle \cfrac{1^2}{6+\textstyle \cfrac{3^2}{6+\textstyle \cfrac{5^2}{6+\textstyle \cfrac{7^2}{6+\textstyle \cfrac{9^2}{6+\ddots}}}}} 
= \textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \cfrac{1^2}{2+\textstyle \cfrac{3^2}{2+\textstyle \cfrac{5^2}{2+\textstyle \cfrac{7^2}{2+\ddots}}}}} 
= \textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \cfrac{1^2}{3+\textstyle \cfrac{2^2}{5+\textstyle \cfrac{3^2}{7+\textstyle \cfrac{4^2}{9+\ddots}}}}}
\end{align}
</math>

=== Yaklaşık değer ve basamaklar ===
Bazı ''pi'' yaklaşımları şunları içerir:
* '''Tamsayılar''': 3
* '''Kesirler''': Yaklaşık kesirler şunları içerir (artan doğruluk sırasına göre) {{sfrac|22|7}}, {{sfrac|333|106}}, {{sfrac|355|113}}, {{sfrac|52163|16604}}, {{sfrac|103993|33102}}, {{sfrac|104348|33215}}, and {{sfrac|245850922|78256779}}.
<ref name="Eymard 1999 78" /> (Liste, {{OEIS2C|id=A063674}} ve {{OEIS2C|id=A063673}}'den seçilen terimlerdir.)
* '''Rakamlar''': İlk 50 ondalık basamak {{gaps|3.14159|26535|89793|23846|26433|83279|50288|41971|69399|37510...}} şeklindedir. {{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=240}} (see {{OEIS2C|id=A000796}})

'''Diğer sayı sistemlerindeki rakamlar'''
* İlk 48 [[İkili sayı sistemi|2 tabanlı]] basamak ([[bit (bilişim)|bit]] olarak adlandırılır) {{gaps|11.0010|0100|0011|1111|0110|1010|1000|1000|1000|0101|1010|0011...}} ({{OEIS2C|id=A004601}}'e bakınız) şeklindedir.
* [[On altılı sayı sistemi]] içindeki ilk 20 hane (16 tabanlı) {{gaps|3.243F|6A88|85A3|08D3|1319...}}{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=242}} ({{OEIS2C|id=A062964}}'e bakınız) şeklindedir.
* İlk beş [[Altmışlık sayı sistemi]] (60 tabanlı) basamak 3;8,29,44,0,47 <ref>{{Akademik dergi kaynağı |başlık=Abu-r-Raihan al-Biruni, 973–1048 |soyadı=Kennedy |ad=E.S. |dergi=Journal for the History of Astronomy |cilt=9 |sayfa=65 |bibcode=1978JHA.....9...65K |doi=10.1177/002182867800900106 |yıl=1978|s2cid=126383231 }} [[Ptolemy]] used a three-sexagesimal-digit approximation, and [[Jamshīd al-Kāshī]] expanded this to nine digits; see {{Kitap kaynağı |soyadı=Aaboe |ad=Asger |yazarbağı=Asger Aaboe |yıl=1964 |başlık=Episodes from the Early History of Mathematics |seri=New Mathematical Library |cilt=13 |yayıncı=Random House |yer=New York |sayfa=125 |url=https://books.google.com/books?id=5wGzF0wPFYgC&pg=PA125 |ölüurl=hayır|arşivurl=https://web.archive.org/web/20161129205051/https://books.google.com/books?id=5wGzF0wPFYgC&pg=PA125 |arşivtarihi=29 Kasım 2016 |df=dmy-all |isbn=978-0-88385-613-0}}</ref> şeklindedir. (see {{OEIS2C|id=A060707}})
* [[Üçlü sayı sistemi]] içindeki ilk 38 basamak {{gaps|10.010|211|0122|220|102|110|021|111|102|212|222|201...}} şeklindedir. ({{OEIS2C|id=A004602}}'ye bakınız)

=== Karmaşık sayılar ve Euler özdeşliği ===
[[Dosya:Euler's formula.svg|küçükresim|alt=A diagram of a unit circle centred at the origin in the complex plane, including a ray from the centre of the circle to its edge, with the triangle legs labelled with sine and cosine functions.|{{math|''e''}} sayısının hayali güçleri ile [[Nokta (geometri)|noktalar]] arasındaki ilişki, [[Sıfır noktası]]nda merkezi olan [[birim çember]] üzerinde  [[Euler formülü]] tarafından verilen [[karmaşık düzlem]] içinde]]

Herhangi bir [[karmaşık sayı]], örneğin {{math|''z''}}, bir çift [[reel sayılar|reel sayı]] kullanılarak ifade edilebilir.
[[Kutupsal koordinat sistemi]]nde, bir sayı ([[yarıçap]] veya ''r''), z'nin [[karmaşık düzlem]]in [[sıfır noktası]]ndan olan mesafesini ve diğeri, ([[açı]] veya {{math|φ}}) pozitif reel eksenden, saat yönünün tersine dönüşü temsil etmek için kullanılır:{{sfn|Abramson|2014|loc=[https://openstax.org/books/precalculus/pages/8-5-polar-form-of-complex-numbers Section 8.5: Polar form of complex numbers]}}

<math display=block>z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi),</math>

burada {{math|''i''}}, {{math|''i''<sup>2</sup>}} = −1'i sağlayan [[i sayısı|hayali birimdir]]. [[Karmaşık analiz]]de {{pi}}'nin sık görülmesi, [[Euler formülü]]yle tanımlandığı gibi, karmaşık bir değişkenin [[üstel fonksiyon]]unun davranışıyla ilgili olabilir:<ref name="EF">{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|p=592}}</ref>

<math display=block>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi,</math>

burada [[e sayısı|{{math|''e''}} sabiti]], [[doğal logaritma]]nın tabanıdır. Bu formül,{{math|''e''}}'nin hayali üsleri ile, karmaşık düzlemin sıfır noktası merkezli [[birim çember]] üzerindeki noktalar arasında, bir karşılık olma ilişkisi kurar. Euler formülünde {{math|''φ''}} = {{pi}} eşitliği, beş önemli matematiksel sabit içerdiği için matematikte önemsenen [[Euler özdeşliği]] ile sonuçlanır:<ref name="EF" /><ref>{{Kitap kaynağı|soyadı=Maor|ad=Eli|başlık=E: The Story of a Number|yayıncı=Princeton University Press|yıl=2009|sayfa=160|isbn=978-0-691-14134-3}}</ref>

<math display=block>e^{i \pi} + 1 = 0.</math>

{{math|1=''z''<sup>''n''</sup> = 1}} eşitliğini sağlayan {{math|''n''}} sayıda farklı [[karmaşık sayı]] vardır ve bunlara "birliğin {{math|''n''}}'inci kökleri" {{sfn|Andrews|Askey|Roy|1999|p=14}} denir ve aşağıdaki formülle verilir:

<math display=block>e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).</math>

==Geçmiş==

=== Antik Çağ ===
Milattan önceye tarihlenen {{pi}} için en iyi bilinen yaklaşımlar, iki ondalık basamağa kadar doğruydu; bu, özellikle birinci bin yılın ortalarında, [[Çin matematiği]]'nde yedi ondalık basamak doğruluğuna kadar geliştirildi.
Bundan sonra, [[geç Orta Çağ]] dönemine kadar daha fazla ilerleme kaydedilmedi.

{{pi}}'nin en eski yazılı tahminleri, [[Babil]] ve Mısır'da bulunur, her ikisi de gerçek değerin yüzde biri dahilindedir. Babil'de, MÖ 1900-1600 tarihli bir [[kil tablet]], ima yoluyla {{pi}}'yi şu şekilde ele alan geometrik bir ifadeye sahiptir: {{sfrac|25|8}}=3.125.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=167}} Mısır'da, MÖ 1650 dolaylarına tarihlenen ancak MÖ 1850 tarihli bir belgeden kopyalanan [[Rhind Papirüsü]], {{pi}}'yi {{kayma|({{sfrac|16|9}})<sup>2</sup> ≈}} 3.16. olarak ele alan bir dairenin alanı için bir formüle sahiptir.<ref name=mollin/>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=167}} [[Flinders Petrie]] gibi bazı [[Piramitoloji|piramidologlar]], [[Keops Piramidi|Büyük Giza Piramidi]]'nin {{pi}} ile ilgili oranlarla inşa edildiğini teorileştirmiş olsalar da, bu teori bilim adamları tarafından geniş çapta kabul görmemektedir.<ref>{{Kitap kaynağı |sayfalar=67-77, 165-166|başlık=The Shape of the Great Pyramid |ad=Roger |soyadı=Herz-Fischler |yayıncı=Wilfrid Laurier University Press |yıl=2000 |isbn=978-0-88920-324-2 |url=https://books.google.com/books?id=066T3YLuhA0C&pg=67 |erişimtarihi=5 Haziran 2013 |ölüurl=hayır|arşivurl=https://web.archive.org/web/20161129205154/https://books.google.com/books?id=066T3YLuhA0C&pg=67 |arşivtarihi=29 Kasım 2016}}</ref>
MÖ birinci veya ikinci binyıldan sözlü bir geleneğe tarihlenen [[Hint matematiği]]'nin [[Shulba Sutraları]]'nda, yaklaşık 3.08831, 3.08833, 3.004, 3 veya 3.125 olarak çeşitli şekillerde yorumlanan yaklaşık değerler verilmiştir.<ref>{{Kitap kaynağı|sayfa=[https://books.google.com/books?id=DHvThPNp9yMC&pg=PA27 27]|başlık=Mathematics in India|başlıkbağı=Mathematics in India (book)|ad=Kim|soyadı=Plofker|tarih= 2009|yayıncı=Princeton University Press|isbn=978-0691120676}}</ref>

=== Çokgen yaklaşım dönemi ===
[[Dosya:Archimedes pi.svg|upright=1.59|küçükresim|alt=diagram of a hexagon and pentagon circumscribed outside a circle|{{pi}}, çevrelenmiş ve içine çember çizilmiş çokgenlerin çevreleri hesaplanarak tahmin edilebilir.|left]]
[[Dosya:Domenico-Fetti Archimedes 1620.jpg|alt=A painting of a man studying|left|küçükresim|[[Archimedes]], {{pi}}'ye yaklaşmak için poligonal yaklaşımı geliştirdi.]]
{{pi}} değerini titizlikle hesaplamak için kaydedilen ilk algoritma, Yunan matematikçi [[Arşimet]] tarafından MÖ 250 civarında tasarlanan çokgenleri kullanan geometrik bir yaklaşımdı.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=170}} Bu çokgen algoritma 1.000 yılı aşkın bir süre hakim oldu ve sonuç olarak {{pi}} bazen Arşimet sabiti olarak anılır.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=175, 205}} Arşimet, bir dairenin içine ve dışına düzgün bir altıgen çizerek ve 96 kenarlı bir düzgün çokgene ulaşana kadar kenar sayısını art arda ikiye katlayarak {{pi}}'nin üst ve alt sınırlarını hesapladı. Bu poligonların çevresini hesaplayarak {{math|{{sfrac|223|71}} < {{pi}} < {{sfrac|22|7}}}} (yani {{math|3.1408 < {{pi}} < 3.1429}}) olduğunu kanıtladı.<ref name=life-of-pi>{{Kitap kaynağı|soyadı=Borwein|ad=Jonathan M.|yazarbağı=Jonathan Borwein|editör1-soyadı=Sidoli|editör1-ad=Nathan|editör2-soyadı=Van Brummelen|editör2-ad=Glen|bölüm=The life of {{pi}}: from Archimedes to ENIAC and beyond|doi=10.1007/978-3-642-36736-6_24|yer=Heidelberg|mr=3203895|sayfalar=531-561|yayıncı=Springer|başlık=From Alexandria, through Baghdad: Surveys and studies in the ancient Greek and medieval Islamic mathematical sciences in honor of J. L. Berggren|yıl=2014}}</ref> Arşimet'in {{math|{{sfrac|22|7}}}} üst sınırı, {{pi}}'nin {{math|{{sfrac|22|7}}}}'ye eşit olduğuna dair yaygın bir popüler inanca yol açmış olabilir.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=171}} MS 150 civarında, Yunan-Roma bilim adamı [[Batlamyus]], [[Almagest]]'inde, Arşimet'ten veya [[Apollonios (Pergeli matematikçi)|Apollonios]]'tan almış olabileceği 3.1416'lık bir {{pi}} değeri verdi.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=176}}{{sfn|Boyer|Merzbach|1991|p=168}} Çokgen algoritmaları kullanan matematikçiler 1630'da {{pi}}'nin 39 basamağına ulaştılar, bu rekor yalnızca 1699'da sonsuz seriler kullanıldığında 71 basamağa ulaştığı zaman kırıldı.<ref name="ArPI">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–16, 175, 184–186, 205}}. Grienberger achieved 39 digits in 1630; Sharp 71 digits in 1699.</ref>

[[Çin tarihi|Eski Çin]]'de, {{pi}} değerleri 3,1547 (MS 1 civarında), {{math|{{sqrt|10}}}} (MS 100, yaklaşık 3,1623) ve {{math|{ {sfrac|142|45}}}}'i (3. yüzyıl, yaklaşık 3.1556) içeriyordu.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=176–177}} MS 265 civarında, Wei Krallığı matematikçisi Liu Hui, çokgen tabanlı yinelemeli bir algoritma oluşturdu ve bunu 3.1416'lık bir π değeri elde etmek için 3.072 kenarlı bir çokgenle kullandı. MS 265 civarında, [[Cao Wei|Wei Hanedanı]] matematikçisi [[Liu Hui]] bir [[Liu Hui'nin π algoritması|çokgen tabanlı yinelemeli algoritma]] oluşturdu ve {{pi}}'nin 3.1416 değerini elde etmek için bunu 3.072-kenarlı bir çokgenle kullandı.<ref name="autogenerated202">{{harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=202}}</ref>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=177}} Liu daha sonra {{pi}}'yi hesaplamak için daha hızlı bir yöntem icat etti ve ardışık çokgenlerin alanındaki farklılıkların 4 katsayılı bir geometrik seri oluşturmasından yararlanarak 96 kenarlı bir çokgenle 3.14 değerini elde etti.<ref name="autogenerated202" /> Çinli matematikçi [[Zu Chongzhi]], MS 480 civarında, {{math|3.1415926 < {{pi}} < 3.1415927}} olduğunu hesapladı ve 12.288 kenarlı bir çokgene uygulanan [[Liu Hui'nin π algoritması|Liu Hui'nin algoritması]] kullanarak {{math|{{pi}} ≈ {{sfrac|355|113}}}} = 3,14159292035... ve {{math|{{pi}} ≈ {{sfrac|22|7}}}} = 3.142857142857..., yaklaşımlarını önerdi. Bunları sırasıyla ''Milü'' (<nowiki>''</nowiki>yakın oran") ve ''Yuelü'' ("yaklaşık oran") olarak adlandırdı. İlk yedi ondalık basamağı için doğru bir değerle, bu değer, sonraki 800 yıl boyunca mevcut olan en doğru π yaklaşımı olarak kaldı.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=178}}

Hint astronom [[Aryabhata]] ''[[Āryabhaṭīya]]'' (MS 499) adlı eserinde 3.1416 değerini kullanmıştır.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=179}} MÖ 1220'de [[Fibonacci]], Arşimet'ten bağımsız olarak çokgen bir yöntem kullanarak 3.1418'i hesapladı.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=180}} İtalyan yazar [[Dante]] görünüşe göre {{math|3+{{sfrac|{{sqrt|2}}|10}} ≈ 3.14142}} değerini kullandı.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=180}}

İranlı astronom [[Jamshīd al-Kāshī]] 1424'te 3×2<sup>28</sup> kenarlı bir çokgen kullanarak kabaca 16 ondalık basamağa eşdeğer olan 9 [[altmışlık]] basamak üretti ve bu değer yaklaşık 180 yıl dünya rekoru olarak kaldı.<ref>{{Akademik dergi kaynağı |ad1=Mohammad K. |soyadı1=Azarian |başlık=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary |dergi=Missouri Journal of Mathematical Sciences |cilt=22 |sayı=2 |yıl=2010 |sayfalar=64-85|doi=10.35834/mjms/1312233136|doi-access=ücretsiz}}</ref><ref>{{Web kaynağı |soyadı1=O'Connor |ad1=John J. |soyadı2=Robertson |ad2=Edmund F. |yıl=1999 |başlık=Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi |iş=[[MacTutor History of Mathematics archive]] |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Al-Kashi.html |erişimtarihi=11 Ağustos 2012 |ölüurl=hayır|arşivurl=https://web.archive.org/web/20110412192025/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Al-Kashi.html |arşivtarihi=12 Nisan 2011}}</ref>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=182}} 1579'da Fransız matematikçi [[François Viète]], 3×2<sup>17</sup> kenarlı bir çokgenle 9 basamak elde etti.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=182}} Flaman matematikçi [[Adriaan van Roomen]] 1593'te 15 ondalık basamağa ulaştı.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=182}} 1596'da Hollandalı matematikçi [[Ludolph van Ceulen]] 20 haneye ulaştı, daha sonra bu rekoru 35 haneye çıkardı (sonuç olarak {{pi}}, 20. yüzyılın başlarına kadar Almanya'da "Ludolphian sayısı" olarak adlandırılıyordu).{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=182–183}} Hollandalı bilim adamı [[Willebrord Snellius]] 1621'de 34 haneye ulaştı,{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=183}} ve Avusturyalı gök bilimci [[Christoph Grienberger]], 10<sup>40</sup> kenar kullanarak 1630'da 38 haneye ulaştı..<ref>{{Kitap kaynağı |ad=Christophorus |soyadı=Grienbergerus |yazarbağı=Christoph Grienberger |dil=la |yıl=1630 |başlık=Elementa Trigonometrica |url=http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf |arşivurl=https://web.archive.org/web/20140201234124/http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf |arşivtarihi=1 Şubat 2014}} His evaluation was 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < {{pi}} < 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref> [[Christiaan Huygens]] was able to arrive at 10 decimal places in 1654 using a slightly different method equivalent to [[Richardson extrapolation]].<ref>{{Kitap kaynağı|soyadı=Brezinski|ad=C.|bölüm=Some pioneers of extrapolation methods|tarih=2009|url=https://www.worldscientific.com/doi/10.1142/9789812836267_0001|başlık=The Birth of Numerical Analysis|sayfalar=1-22|yayıncı=World Scientific|doi=10.1142/9789812836267_0001|isbn=978-981-283-625-0|editör1-ad=Adhemar|editör1-soyadı=Bultheel|editör1-bağ=Adhemar Bultheel|editör2-ad=Ronald|editör2-soyadı=Cools|erişim-tarihi=15 Nisan 2023|arşivurl=https://web.archive.org/web/20230325065206/https://www.worldscientific.com/doi/10.1142/9789812836267_0001|arşivtarihi=25 Mart 2023|ölüurl=hayır}}</ref><ref>{{Akademik dergi kaynağı|soyadı=Yoder|ad=Joella G.|tarih=1996|başlık=Following in the footsteps of geometry: The mathematical world of Christiaan Huygens|dergi=De Zeventiende Eeuw|cilt=12|sayfalar=83-93|url=https://www.dbnl.org/tekst/_zev001199601_01/_zev001199601_01_0009.php|ile=[[Digital Library for Dutch Literature]]|erişim-tarihi=15 Nisan 2023|arşivurl=https://web.archive.org/web/20210512223641/https://www.dbnl.org/tekst/_zev001199601_01/_zev001199601_01_0009.php|arşivtarihi=12 Mayıs 2021|ölüurl=hayır}}</ref>

=== Sonsuz dizi ===
[[Dosya:comparison_pi_infinite_series.svg]]

{{pi}} hesaplamasında, 16. ve 17. yüzyıllarda [[seri|sonsuz seriler]] tekniklerinin geliştirilmesiyle devrim yaratıldı. Sonsuz bir seri, sonsuz bir [[dizi]] terimlerinin toplamıdır. Sonsuz seriler, matematikçilerin {{pi}}'yi [[Arşimet]] ve geometrik teknikler kullanan diğerlerinden çok daha yüksek bir hassasiyetle hesaplamasına izin verdi.<ref name="Ais">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–191}}</ref> Sonsuz seriler {{pi}} için [[James Gregory (matematikçi)|James Gregory]] ve [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] gibi Avrupalı matematikçiler tarafından kullanılmasına rağmen, yaklaşım 14. veya 15. yüzyılda bir zaman [[Kerala astronomi ve matematik okulu]]nda ortaya çıktı.<ref name="Roypp"/>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=185–186}} MS 1500 civarında, [[Nilakantha Somayaji]] tarafından [[Tantrasamgraha]]'daki [[Sanskrit]] ayette {{pi}}'yi hesaplamak için kullanılabilecek sonsuz bir dizinin yazılı bir açıklaması ortaya kondu.<ref name="Roypp">{{Akademik dergi kaynağı |soyadı=Roy |ad=Ranjan |yıl=1990 |başlık=The Discovery of the Series Formula for {{mvar|π}} by Leibniz, Gregory and Nilakantha |dergi=Mathematics Magazine |cilt=63 |sayı=5 |sayfalar=291-306|url=https://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Allendoerfer/1991/0025570x.di021167.02p0073q.pdf |doi=10.1080/0025570X.1990.11977541 |erişim-tarihi=15 Nisan 2023 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20230314224252/https://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Allendoerfer/1991/0025570x.di021167.02p0073q.pdf |arşivtarihi=14 Mart 2023 |ölüurl=hayır }}</ref> Seriler kanıt olmadan sunulur, ancak kanıtlar MS 1530 civarında daha sonraki bir çalışma olan ''[[Yuktibhāṣā]]'' da sunulur. Sinüs (Nilakantha'nın Madhava'ya atfettiği), kosinüs ve artık bazen [[Madhava serisi]] olarak anılan arktanjant serileri dahil olmak üzere birkaç sonsuz seri açıklanmıştır. Arktanjant serisine bazen [[Gregory serisi]] veya Gregory-Leibniz serisi denir.<ref name="Roypp" /> Madhava, {{pi}}'yi 1400 yılı civarında 11 haneye kadar tahmin etmek için sonsuz seriler kullandı.<ref>{{Kitap kaynağı |soyadı=Joseph |ad=George Gheverghese |başlık=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics |yayıncı=Princeton University Press |yıl=1991 |isbn=978-0-691-13526-7 |url=https://books.google.com/books?id=c-xT0KNJp0cC&pg=PA264 |sayfa=264}}<!-- This ISBN is for the third edition from 2011! --></ref>

1593'te [[François Viète]], şimdi [[Viète'nin formülü]] olarak bilinen, [[sonsuz çarpım|sonsuz bir çarpım]] olan (daha tipik olarak π hesaplamalarında kullanılan [[sonsuz toplam|sonsuz bir toplam]] yerine) aşağıdaki formülü yayınladı:{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=187}}<ref>{{OEIS2C|id=A060294}}</ref><ref>{{Kitap kaynağı|url=https://books.google.com/books?id=7_BCAAAAcAAJ|başlık=Variorum de rebus mathematicis responsorum|cilt=VIII|ad=Franciscus|soyadı=Vieta|yıl=1593}}</ref>

<math display=block> \frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots</math>

1655'te [[John Wallis]], aynı şekilde sonsuz bir çarpım olan, şimdi [[Wallis çarpımı]] olarak bilinen aşağıdaki formülü yayınladı:

<math display=block>
\frac{\pi}{2} = \Big(\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}\Big) \cdot \Big(\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}\Big) \cdot \Big(\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7}\Big) \cdot \Big(\frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9}\Big) \cdots
</math>

[[Dosya:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|küçükresim|upright|alt=A formal portrait of a man, with long hair|[[Isaac Newton]]
{{pi}}'yi 15 haneye kadar hesaplamak için sonsuz [[seri]] kullandı, daha sonra "Bu hesaplamaları kaç rakama kadar yaptığımı size söylemeye utanıyorum" yazdı.<ref name="Newton" />]]
1660'larda İngiliz bilim adamı [[Isaac Newton]] ve Alman matematikçi [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], {{pi}}'ye yaklaşmak için birçok sonsuz serinin geliştirilmesine yol açan [[kalkülüs]]'ü keşfetti. Newton'un kendisi, 1665 veya 1666'da {{pi}}'nin 15 basamaklı bir yaklaşımını hesaplamak için bir arksinüs serisi kullandı, daha sonra bununla ilgili olarak "O zamanlar başka bir işim olmadığı için, bu hesaplamaları kaç rakama kadar yaptığımı size söylemeye utanıyorum" yazdı.<ref name="Newton">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=188}}. Newton quoted by Arndt.</ref>

1671'de [[James Gregory (matematikçi)|James Gregory]] bağımsız olarak, 1673'te Leibniz'te, [[arktanjant]] için [[Taylor serisi]] genişletmesini keşfetti:

<math display=block>
\arctan z = z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots
</math>

Bazen [[Gregory serisi|Gregory–Leibniz serisi]] olarak adlandırılan bu dizi, {{math|1=''z'' = 1}} ile değerlendirildiğinde {{math|π/4}}'e eşittir.<ref name="LS">{{harvnb|Eymard|Lafon|2004|pp=53–54}}</ref> Ancak {{math|1=''z'' = 1}} için pratik olmayacak şekilde yavaş yakınsar (yani, cevaba çok yavaş yaklaşır) ve her ek basamağı hesaplamak için yaklaşık on kat daha fazla terim gerekir.<ref>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı=Cooker |ad=M.J. |yıl=2011 |başlık=Fast formulas for slowly convergent alternating series |dergi=Mathematical Gazette |cilt=95 |sayı=533 |sayfalar=218-226|doi=10.1017/S0025557200002928 |url=https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/F7C083868DEB95FE049CD44163367592/S0025557200002928a.pdf/div-class-title-fast-formulas-for-slowly-convergent-alternating-series-div.pdf |erişim-tarihi=15 Nisan 2023 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20190504091131/https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/F7C083868DEB95FE049CD44163367592/S0025557200002928a.pdf/div-class-title-fast-formulas-for-slowly-convergent-alternating-series-div.pdf |arşivtarihi=4 Mayıs 2019 |ölüurl= }}</ref>

1699'da İngiliz matematikçi [[Abraham Sharp]], {{pi}}'yi 71 haneye kadar hesaplamak için <math display="inline">z=\frac{1}{\sqrt{3}}</math> eşitliği ile Gregory–Leibniz serisini kullandı ve çokgen bir algoritma ile belirlenen 39 haneli önceki rekoru kırdı.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=189}}

1706'da [[John Machin]], çok daha hızlı yakınsayan bir algoritma üretmek için Gregory-Leibniz serisini kullandı:<ref name=jones/><ref name=tweddle>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı=Tweddle |ad=Ian |yıl=1991 |başlık=John Machin and Robert Simson on Inverse-tangent Series for {{mvar|π}} |url=https://archive.org/details/sim_archive-for-history-of-exact-sciences_1991_42_1/page/n2 |dergi= Archive for History of Exact Sciences |cilt=42 |sayı=1 |sayfalar=1-14|doi= 10.1007/BF00384331 |jstor=41133896 }}</ref>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=192–193}}

<math display=block> \frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}.</math>

Machin bu formülle {{pi}}'nin 100 basamağına ulaştı.<ref name="A72n4">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=72–74}}</ref> Diğer matematikçiler, {{pi}} basamaklarını hesaplamada birkaç ardışık rekor için kullanılan, şimdi [[Machin benzeri formül]] olarak bilinen varyantlar yarattı.<ref name="A72n4" /><ref>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı=Lehmer |ad=D. H. |yazarbağı=D. H. Lehmer |yıl=1938 |başlık=On Arccotangent Relations for {{mvar|π}} |dergi=American Mathematical Monthly |cilt=45 |sayı=10 |sayfalar=657-664 Published by: Mathematical Association of America|jstor=2302434 |doi=10.1080/00029890.1938.11990873 |url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/pubs/amm_supplements/Monthly_Reference_7.pdf |erişim-tarihi=15 Nisan 2023 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20230307164817/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/pubs/amm_supplements/Monthly_Reference_7.pdf |arşivtarihi=7 Mart 2023 |ölüurl=hayır }}</ref>

Isaac Newton, 1684'te Gregory-Leibniz serisinin yakınsamasını hızlandırdı (yayınlanmamış bir çalışmada; diğerleri sonucu bağımsız olarak keşfetti).<ref>{{Kitap kaynağı |soyadı=Roy |ad=Ranjan |yıl=2021 |özgünyıl=1st ed. 2011 |başlık=Series and Products in the Development of Mathematics |basım=2 |cilt=1 |yayıncı=Cambridge University Press |sayfalar=215-216, 219-220}}
<p>{{Kitap kaynağı |soyadı=Newton |ad=Isaac |yazarbağı=Isaac Newton |yıl=1971 |editör-soyadı=Whiteside |editör-ad=Derek Thomas |editör-bağ=Tom Whiteside |başlık=The Mathematical Papers of Isaac Newton |cilt=4, 1674–1684 |yayıncı=Cambridge University Press |sayfalar=526-653}}</p></ref>

:<math>
\arctan x
= \frac{x}{1 + x^2} + \frac23\frac{x^3}{(1 + x^2)^2}
+ \frac{2\cdot 4}{3 \cdot 5}\frac{x^5}{(1 + x^2)^3} + \cdots
</math>

[[Leonhard Euler]] bu seriyi 1755 diferansiyel hesabı ders kitabında popüler hale getirdi ve daha sonra bunu Machin benzeri formüllerle kullandı, örneğin <math display=inline>\tfrac\pi4 = 5\arctan\tfrac17 + 2\arctan\tfrac{ 3}{77},</math> ile bir saatte {{pi}}'nin 20 basamağını  hesapladı.<ref>
{{Web kaynağı |soyadı= Sandifer |ad= Ed |yıl= 2009 |başlık= Estimating π | website = How Euler Did It | url = http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2009-02.pdf | arşivurl = https://web.archive.org/web/20140319072615/http://eulerarchive.maa.org/hedi/HEDI-2009-02.pdf | arşivtarihi = 19 Mart 2014}} Reprinted in {{Kitap kaynağı |soyadı=Sandifer |ad=Ed |yazarlarıgöster=0 |yıl=2014 |başlık=How Euler Did Even More |sayfalar=109-118|yayıncı=Mathematical Association of America}}
<p>{{Kitap kaynağı |soyadı=Euler |ad=Leonhard |yazarbağı=Leonhard Euler |yıl=1755 |başlık=[[Institutiones calculi differentialis|Institutiones Calculi Differentialis]] |bölüm=§2.2.30 |sayfa=318 |yayıncı=Academiae Imperialis Scientiarium Petropolitanae |dil=la |bölümurl=https://archive.org/details/institutiones-calculi-differentialis-cum-eius-vsu-in-analysi-finitorum-ac-doctri/page/318 |id=[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/212/ E 212]}}</p>
<p>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı=Euler |ad=Leonhard |yazarbağı=Leonhard Euler |yıl=1798 |özgünyıl=written 1779 |başlık=Investigatio quarundam serierum, quae ad rationem peripheriae circuli ad diametrum vero proxime definiendam maxime sunt accommodatae |dergi=Nova acta academiae scientiarum Petropolitinae |cilt=11 |sayfalar=133-149, 167-168|url=https://archive.org/details/novaactaacademia11petr/page/133 |id=[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/705/ E 705] }}</p>
<p>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı=Chien-Lih |ad=Hwang |yıl=2004 |başlık=88.38 Some Observations on the Method of Arctangents for the Calculation of {{mvar|π}} |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2004-07_88_512/page/270 |dergi=Mathematical Gazette |cilt=88 |sayı=512 |sayfalar=270-278|doi=10.1017/S0025557200175060 }}</p>
<p>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı=Chien-Lih |ad=Hwang |yıl=2005 |başlık=89.67 An elementary derivation of Euler's series for the arctangent function |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2005-11_89_516/page/469 |dergi=Mathematical Gazette |cilt=89 |sayı=516 |sayfalar=469-470|doi=10.1017/S0025557200178404 }}</p>
</ref>

Machin benzeri formüller, bilgisayar çağına kadar {{pi}}'yi hesaplamak için en iyi bilinen yöntem olarak kaldı ve 250 yıl boyunca rekorlar kırmak için kullanıldı ve 1946'da Daniel Ferguson tarafından 620 basamaklı bir yaklaşımla sonuçlandı. (bir hesaplama cihazının yardımı olmadan elde edilen en iyi yaklaşım).{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=192–196, 205}}

1844'te, Alman matematikçi [[Carl Friedrich Gauss]]'un kontrolünde kafasında {{pi}}'nin 200 ondalığını  hesaplamak için bir Machin benzeri formül kullanan [[Zacharias Dase]] tarafından bir rekor kırıldı.<ref name="A194">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=194–196}}</ref>

1853'te İngiliz matematikçi [[William Shanks]], {{pi}}'yi 607 basamak olarak hesapladı, ancak 528. basamakta bir hata yaparak sonraki tüm basamakların yanlış olmasına yol açtı. 1873'te ek 100 basamak hesaplayarak toplamı 707'ye çıkarsa da, önceki hatası tüm yeni basamakların da yanlış hesaplanmasına yol açtı.<ref name="hayes-2014">{{Dergi kaynağı |soyadı=Hayes |ad=Brian |url=https://www.americanscientist.org/article/pencil-paper-and-pi |başlık=Pencil, Paper, and Pi |cilt=102 |sayı=5 |sayfa=342 |dergi=[[American Scientist]] |tarih=September 2014 |erişimtarihi=22 Ocak 2022 |doi=10.1511/2014.110.342 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20220122024427/https://www.americanscientist.org/article/pencil-paper-and-pi |arşivtarihi=22 Ocak 2022 |ölüurl=hayır }}</ref>

==== Yakınsama oranı ====
{{pi}} için bazı sonsuz seriler diğerlerinden daha hızlı [[yakınsak seri|yakınsar]]. Given the choice of two infinite series for {{pi}}, mathematicians will generally use the one that converges more rapidly because faster convergence reduces the amount of computation needed to calculate {{pi}} to any given accuracy.<ref name="Aconverge">{{Akademik dergi kaynağı |soyadı1=Borwein |ad1=J.M. |soyadı2=Borwein |ad2=P.B. |başlık=Ramanujan and Pi |yıl=1988 |dergi=Scientific American |cilt=256 |sayı=2 |sayfalar=112-117|bibcode=1988SciAm.258b.112B |doi=10.1038/scientificamerican0288-112}}<br />{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202}}</ref> {{pi}} için basit bir sonsuz seri [[Gregory–Leibniz serisi]]dir:{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=69–72}}

<math display=block>
\pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots
</math>

Bu sonsuz dizinin tek tek terimleri toplama eklendikçe, toplam kademeli olarak {{pi}}'ye yaklaşır ve istenildiği kadar {{pi}}'ye yaklaşabilir (yeterli sayıda terim ile). Yine de oldukça yavaş yakınsar - 500.000 terimden sonra, {{pi}}'nin yalnızca beş doğru ondalık basamağını üretir.<ref>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı1=Borwein |ad1=J.M. |soyadı2=Borwein |ad2=P.B. |soyadı3=Dilcher |ad3=K. |yıl=1989 |başlık=Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1989-10_96_8/page/681 |dergi=American Mathematical Monthly |cilt=96 |sayı=8 |sayfalar=681-687|doi=10.2307/2324715 |jstor=2324715|hdl=1959.13/1043679 |hdl-access=ücretsiz }}</ref>

{{pi}} için (15. yüzyılda Nilakantha tarafından yayınlanan) Gregory-Leibniz serisinden daha hızlı yakınsayan sonsuz bir seri:{{sfn|Arndt|Haenel|2006|loc = Formula 16.10, p. 223}}<ref>{{Kitap kaynağı |soyadı=Wells |ad=David |sayfa=[https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1/page/35 35] |başlık=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers |url=https://archive.org/details/penguindictionar0000well_f3y1 |basım=revised |yayıncı=Penguin |yıl=1997 |isbn=978-0-14-026149-3}}</ref>

<math display=block>
\pi = 3 + \frac{4}{2\times3\times4} - \frac{4}{4\times5\times6} + \frac{4}{6\times7\times8} - \frac{4}{8\times9\times10} + \cdots
</math>

Aşağıdaki tablo, bu iki serinin yakınsama oranlarını karşılaştırmaktadır:

{|class="wikitable" style="text-align: center; margin: auto;"
|-
! {{pi}} için sonsuz seriler !! 1. terimden sonra !! 2. terimden sonra !! 3. terimden sonra !! 4. terimden sonra !! 5. terimden sonra !! yakınsar:
|-
| <math>\pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} + \cdots</math>
||4.0000||2.6666 ... ||3.4666 ... ||2.8952 ... ||3.3396 ... ||rowspan=2| {{pi}} = 3.1415 ...
|-
| <math>\pi = {{3}} + \frac{{4}}{2\times3\times4} - \frac{{4}}{4\times5\times6} + \frac{{4}}{6\times7\times8} - \cdots </math>
||3.0000||3.1666 ... ||3.1333 ... ||3.1452 ... ||3.1396 ...
|}

Beş terimden sonra, Gregory-Leibniz serisinin toplamı, {{pi}}'nin doğru değerinin 0,2'si içindeyken, Nilakantha'nın serisinin toplamı doğru değerinin 0,002'si içindedir. Nilakantha'nın serisi daha hızlı yakınsar ve {{pi}}'nin basamaklarını hesaplamak için daha kullanışlıdır. Daha da hızlı yakınsayan seriler arasında [[Machin-benzeri formül|Machin'in serisi]] ve [[Chudnovsky algoritması|Chudnovsky'nin serisi]] yer alır, ikincisi terim başına 14 doğru ondalık basamak üretir.

=== İrrasyonellik ve aşkınlık ===

{{pi}} ile ilgili tüm matematiksel gelişmeler, tahminlerin doğruluğunu artırmayı amaçlamadı. Euler 1735'te [[Basel problemini]] ters karelerin toplamının tam değerini bularak çözdüğünde, {{pi}} ile [[asal sayı]]lar arasında bir bağlantı kurdu ve bu daha sonra [[Riemann zeta işlevi]] çalışmasını geliştirmeye katkıda bulundu.<ref name="Posamentier">{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=284}}</ref>

<math display=block> \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots</math>

İsviçreli bilim adamı [[Johann Heinrich Lambert]] 1768'de {{pi}}'nin [[irrasyonel sayı|irrasyonel]] olduğunu, yani herhangi iki tam sayının bölümüne eşit olmadığını kanıtladı.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=5}} Lambert'in ispatı, tanjant fonksiyonunun sürekli kesir temsilinden yararlandı.<ref>Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", reprinted in {{harvnb|Berggren|Borwein|Borwein|1997|pp=129–140}}</ref> Fransız matematikçi [[Adrien-Marie Legendre]], 1794'te {{pi}}<sup>2</sup>'nin de irrasyonel olduğunu kanıtladı. 1882'de Alman matematikçi [[Ferdinand von Lindemann]], {{pi}}'nin [[aşkın sayı|aşkın]] olduğunu kanıtladı <ref>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı=Lindemann |ad=F. |yazarbağı=Ferdinand Lindemann |yıl=1882 |başlık=Über die Ludolph'sche Zahl |dergi=Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |cilt=2 |sayfalar=679-682| url=https://archive.org/details/sitzungsberichte1882deutsch/page/679 }}</ref> ve hem [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] hem de Euler tarafından yapılan bir varsayımı doğruladı.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=196}}<ref>Hardy and Wright 1938 and 2000: 177 footnote §&nbsp;11.13–14 references Lindemann's proof as appearing at ''Math. Ann''. 20 (1882), 213–225.</ref> Hardy ve Wright, "kanıtların daha sonra Hilbert, Hurwitz ve diğer yazarlar tarafından değiştirilip basitleştirildiğini" belirtir.<ref>cf Hardy and Wright 1938 and 2000:177 footnote §&nbsp;11.13–14. The proofs that e and π are transcendental can be found on pp. 170–176. They cite two sources of the proofs at Landau 1927 or Perron 1910; see the "List of Books" at pp. 417–419 for full citations.</ref>

=== {{pi}} sembolünün benimsenmesi ===
{{Çoklu resim
| image1            = William Jones, the Mathematician.jpg
| caption1          = Bir çemberin çevresinin çapına oranını temsil etmek için Yunanca π harfinin bilinen en eski kullanımı, 1706'da Galli matematikçi [[William Jones (matematikçi)|William Jones]] tarafından yapılmıştır.
| caption2          = [[Leonhard Euler]], 1736 ve 1748'de yayınladığı eserlerde Yunanca π harfinin kullanımını yaygınlaştırdı.
| total_width       = 300
| image2            = Leonhard Euler.jpg
| align             = left
}}
İlk kullanımlarda, [[Pi (harf)|Yunan harfi {{Pi}}]], bir dairenin [[yarıçevre]]sini (Latince'de ''semiperipheria'') ifade etmek için kullanılmıştır.<ref name=firstPi>{{Kitap kaynağı |url=https://books.google.com/books?id=KTgPAAAAQAAJ&pg=PP3 |başlık=Theorematum in libris Archimedis de sphaera et cylindro declarario |soyadı=Oughtred |ad=William |tarih=1652 |yayıncı=Excudebat L. Lichfield, Veneunt apud T. Robinson |dil=la |alıntı={{math|''δ''.''π''}} :: semidiameter. semiperipheria}}</ref> ve daire sabitlerini oluşturmak için [[delta (harf)|{{mvar|δ}}]] ([[çap]] veya yarı çap için) veya [[rho|{{mvar|ρ}}]] ([[yarıçap]] için) ile oranlarda birleştirildi.<ref name=":0">{{Kitap kaynağı |url=https://books.google.com/books?id=bT5suOONXlgC&pg=PA9 |başlık=A History of Mathematical Notations: Vol. II |soyadı=Cajori |ad=Florian |tarih=2007 |yayıncı=Cosimo, Inc. |isbn=978-1-60206-714-1 |sayfalar=8-13|dil=İngilizce|alıntı=the ratio of the length of a circle to its diameter was represented in the fractional form by the use of two letters ... J.A. Segner ... in 1767, he represented {{math|3.14159...}} by {{math|''δ'':''π''}}, as did Oughtred more than a century earlier}}</ref><ref>{{wikicite|ref={{harvid|Schepler|1950}}|reference=Schepler, H.C. (1950) "The Chronology of Pi" ''Mathematics Magazine''. '''23'''.<br/>Part 1. Jan/Feb. (3): 165–170. [[doi (identifier)|doi]]:[https://doi.org/10.2307/3029284 10.2307/3029284].<br>Part 2. Mar/Apr. (4): 216-228. [[doi (identifier)|doi]]:[https://doi.org/10.2307/3029832 10.2307/3029832].<br>Part 3. May/Jun. (5): 279-283. [[doi (identifier)|doi]]:[https://doi.org/10.2307/3029000 10.2307/3029000].}}<br />See p. 220: [[William Oughtred]] used the letter {{pi}} to represent the periphery (that is, the circumference) of a circle.</ref><ref name=":1">{{Kitap kaynağı |url=https://books.google.com/books?id=uTytJGnTf1kC&pg=PA312 |başlık=History of Mathematics |soyadı=Smith |ad=David E. |tarih=1958 |yayıncı=Courier Corporation |isbn=978-0-486-20430-7 |sayfa=312 |dil=İngilizce}}</ref><ref>{{Akademik dergi kaynağı|soyadı=Archibald|ad=R.C.|tarih=1921|başlık=Historical Notes on the Relation {{math|1=''e''<sup>−(''π''/2)</sup> = ''i''<sup>''i''</sup>}}|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1921-03_28_3/page/116|jstor=2972388|dergi=The American Mathematical Monthly|cilt=28|sayı=3|sayfalar=116-121|doi=10.2307/2972388|alıntı=It is noticeable that these letters are ''never'' used separately, that is, {{pi}} is ''not'' used for 'Semiperipheria'}}</ref> (O zamandan önce, matematikçiler bunun yerine bazen {{mvar|c}} veya {{mvar|p}} gibi harfleri kullanıyorlardı.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=166}}) Kaydedilen ilk kullanım [[William Oughtred|Oughtred's]] {{nobr|"<math>\delta . \pi</math>"}} şeklindedir ve {{dil|la|Clavis Mathematicae|italic=yes}}'nin 1647 ve sonraki baskılarında çevre ve çap oranını ifade etmek için kullanmıştır.<ref>See, for example, {{Kitap kaynağı |url=https://archive.org/details/bub_gb_ddMxgr27tNkC |başlık=Clavis Mathematicæ |soyadı=Oughtred |ad=William |tarih=1648 |yayıncı=Thomas Harper |yer=Londra|sayfa=[https://archive.org/details/bub_gb_ddMxgr27tNkC/page/n220 69] |dil=la|çeviribaşlık=The key to mathematics}} (English translation: {{Kitap kaynağı |url=https://books.google.com/books?id=S50yAQAAMAAJ&pg=PA99 |başlık=Key of the Mathematics |soyadı=Oughtred |ad=William |tarih=1694 |yayıncı=J. Salusbury |dil=İngilizce}})</ref>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=166}}<ref>{{Kitap kaynağı|bölümurl=https://archive.org/stream/mathematicalwor00whewgoog#page/n405/mode/1up |başlık=The mathematical works of Isaac Barrow |soyadı=Barrow |ad=Isaac |tarih=1860 |yayıncı=Cambridge University press |diğerleri=Harvard University |editör-soyadı=Whewell|editör-ad=William |sayfalar=381|dil=la |bölüm=Lecture XXIV}}</ref> [[Isaac Barrow|Barrow]] {{math|3.14...}} sabitini temsil etmek için aynı şekilde {{nobr|"<math display=inline>\frac \pi \delta</math>"}} kullandı. [[David Gregory (matematikçi)|Gregory]] bunun yerine {{nobr|"<math display=inline>\frac \pi \rho</math>"}}'yi {{math|6.28...}}'i temsil etmek için kullandı.<ref name=":1" /><ref>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı=Gregorius |ad=David |tarih=1695 |başlık=Ad Reverendum Virum D. Henricum Aldrich S.T.T. Decanum Aedis Christi Oxoniae |jstor=102382 |dergi=Philosophical Transactions |dil=la |cilt=19 |sayı=231 |sayfalar=637-652|doi=10.1098/rstl.1695.0114 |bibcode=1695RSPT...19..637G|doi-access=ücretsiz}}</ref>

Bir çemberin çevresinin çapına oranını temsil etmek için tek başına Yunanca {{pi}} harfinin bilinen en eski kullanımı Galli matematikçi [[William Jones (mathematician)|William Jones]]'un 1706 tarihli ''{{dil|la|Synopsis Palmariorum Matheseos|italic=unset}} adlı çalışmasında yapılmıştır; veya Matematiğe Yeni Bir Giriş."<ref name=jones/>{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=165|ps=: A facsimile of Jones' text is in {{harvnb|Berggren|Borwein|Borwein|1997|pp=108–109}}.}} Yunan harfi s. 243 te, "Çevre ({{pi}}), yarıçapı 1 olan bir daire için hesaplanmıştır." ifadesinde kullanılmıştır. Ancak Jones, {{pi}} için denklemlerinin "gerçekten dahiyane Bay [[John Machin]]'in hazır kaleminden" olduğunu yazar ve bu da Machin'in Jones'tan önce Yunanca harfi kullanmış olabileceği yönünde spekülasyonlara yol açar.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=166}} Jones'un gösterimi diğer matematikçiler tarafından hemen benimsenmedi, kesir gösterimi 1767'ye kadar hâlâ kullanılıyordu.<ref name=":0" /><ref>{{Kitap kaynağı |url=https://books.google.com/books?id=NmYVAAAAQAAJ&pg=PA282 |başlık=Cursus Mathematicus |soyadı=Segner |ad=Joannes Andreas |tarih=1756 |yayıncı=Halae Magdeburgicae |sayfa=282 |dil=la|erişimtarihi=15 Ekim 2017|arşivurl=https://web.archive.org/web/20171015150340/https://books.google.co.uk/books?id=NmYVAAAAQAAJ&pg=PA282|arşivtarihi=15 Ekim 2017|ölüurl=hayır}}</ref>

[[Euler]], 1727 tarihli ''Havanın Özelliklerini Açıklayan Deneme'' ile başlayarak tek harfli formu kullanmaya başladı, ancak, bu ve sonraki bazı yazılarda çevrenin yarıçapa oranı olan {{math|1=''π'' = 6.28...}} kullanmıştı.<ref>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı=Euler |ad=Leonhard |tarih=1727 |başlık=Tentamen explicationis phaenomenorum aeris|url=http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E007.pdf#page=5 |dergi=Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitana |dil=la |cilt=2 |sayfa=351 |id=[http://eulerarchive.maa.org/pages/E007.html E007] |alıntı=Sumatur pro ratione radii ad peripheriem, {{math|I : π}} |erişimtarihi=15 Ekim 2017|arşivurl=https://web.archive.org/web/20160401072718/http://eulerarchive.maa.org/docs/originals/E007.pdf#page=5|arşivtarihi=1 Nisan 2016|ölüurl=hayır}} [http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e007tr.pdf#page=3 English translation by Ian Bruce] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20160610172054/http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e007tr.pdf#page=3 |tarih=10 Haziran 2016 }}: "{{mvar|π}} is taken for the ratio of the radius to the periphery [note that in this work, Euler's {{pi}} is double our {{pi}}.]"</ref><ref>{{Kitap kaynağı |url=https://books.google.com/books?id=3C1iHFBXVEcC&pg=PA139 |başlık=Lettres inédites d'Euler à d'Alembert |soyadı=Euler |ad=Leonhard |iş=Bullettino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche |yıl=1747 |editör-soyadı=Henry|editör-ad=Charles |cilt=19 |yayıntarihi=1886 |sayfa=139 |dil=fr |id=[http://eulerarchive.maa.org/pages/E858.html E858] |alıntı=Car, soit π la circonference d'un cercle, dout le rayon est {{math|{{=}} 1}}}} English translation in {{Akademik dergi kaynağı |soyadı=Cajori |ad=Florian |tarih=1913 |başlık=History of the Exponential and Logarithmic Concepts |jstor=2973441 |dergi=The American Mathematical Monthly |cilt=20 |sayı=3 |sayfalar=75-84|doi=10.2307/2973441 |alıntı=Letting {{pi}} be the circumference (!) of a circle of unit radius}}</ref> Euler {{kayma|1={{pi}} = 3.14...}}'ü ilk olarak 1736 tarihli ''[[Mechanica]]'' adlı çalışmasında kullandı ve geniş çapta okunan 1748 tarihli {{dil|la|[[Introductio in analysin infinitorum]]|italic=yes}} adlı çalışmasında devam etti (şöyle yazdı: "Kısa olması adına bu sayıyı {{pi}} olarak yazacağız; böylece {{pi}} şuna eşittir: yarıçapı {{math|1}} olan bir dairenin çevresinin yarısı").<ref>{{Kitap kaynağı|soyadı=Euler|ad=Leonhard|başlık=Mechanica sive motus scientia analytice exposita. (cum tabulis)|tarih=1736|yayıncı=Academiae scientiarum Petropoli|cilt=1|sayfa=113|dil=la|bölüm=Ch. 3 Prop. 34 Cor. 1|id=[http://eulerarchive.maa.org/pages/E015.html E015]|alıntı=Denotet {{math|1 : ''π''}} rationem diametri ad peripheriam|bölümurl=https://books.google.com/books?id=jgdTAAAAcAAJ&pg=PA113}} [http://www.17centurymaths.com/contents/euler/mechvol1/ch3a.pdf#page=26 English translation by Ian Bruce] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20160610183753/http://www.17centurymaths.com/contents/euler/mechvol1/ch3a.pdf#page=26|tarih=10 Haziran 2016}} : "Let {{math|1 : ''π''}} denote the ratio of the diameter to the circumference"</ref><ref>{{Kitap kaynağı |url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k69587/f155 |başlık=Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus / ediderunt Adolf Krazer et Ferdinand Rudio |soyadı=Euler |ad=Leonhard (1707–1783) |tarih=1922 |yayıncı=B.G. Teubneri |yer=Lipsae |sayfalar=133-134|dil=la |id=[http://eulerarchive.maa.org/pages/E101.html E101]|erişimtarihi=15 Ekim 2017|arşivurl=https://web.archive.org/web/20171016022758/http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k69587/f155|arşivtarihi=16 Ekim 2017|ölüurl=hayır}}</ref> Euler, Avrupa'daki diğer matematikçilerle yoğun bir şekilde yazıştığı için, Yunan harfinin kullanımı hızla yayıldı ve uygulama bundan sonra [[Batı dünyası]]nda evrensel olarak benimsendi, ancak tanım 1761 gibi geç bir tarihe kadar hâlâ {{math|3.14...}} ve {{math|6.28...}} arasında değişiyordu.<ref>{{Kitap kaynağı |url=https://books.google.com/books?id=P-hEAAAAcAAJ&pg=PA374 |başlık=Cursus Mathematicus: Elementorum Analyseos Infinitorum Elementorum Analyseos Infinitorvm |soyadı=Segner |ad=Johann Andreas von |tarih=1761 |yayıncı=Renger |sayfa=374 |dil=la |alıntı=Si autem {{pi}} notet peripheriam circuli, cuius diameter eſt {{math|2}}}}</ref>

== Daha fazla basamak için modern arayış ==

=== Bilgisayar çağı ve yinelemeli algoritmalar ===
{{alıntı kutusu|quote=
[[Gauss–Legendre algoritması|Gauss–Legendre yinelemeli algoritması]]:<br />Başlat
<math display=block>\textstyle a_0 = 1, \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2}, \quad t_0 = \frac{1}{4}, \quad p_0 = 1.</math>
Yinele
<math display=block>\textstyle a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}, \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n},</math>
<math display=block>\textstyle t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2, \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n.</math>
Ardından, {{pi}} için bir tahmin şu şekilde verilir:
<math display=block>\textstyle \pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.</math>
|fontsize=90%|qalign=left}}

20. yüzyılın ortalarında bilgisayarların gelişimi, {{pi}} rakamlarının aranmasında yeniden devrim yarattı. Matematikçiler [[John Wrench]] ve Levi Smith, 1949'da bir masa hesap makinesi kullanarak 1.120 haneye ulaştı.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=205}} George Reitwiesner ve [[John von Neumann]] liderliğindeki bir ekip [[ters teğet]] (arctan) sonsuz serisini kullanarak aynı yıl [[ENIAC]]  bilgisayar üzerinde 70 saatlik bilgisayar çalışması gerektiren bir hesaplamayla 2.037 basamak elde etti.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=197}}<ref>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı=Reitwiesner |ad=George |başlık=An ENIAC Determination of pi and e to 2000 Decimal Places |dergi=Mathematical Tables and Other Aids to Computation |yıl=1950 |cilt=4 |sayı=29 |sayfalar=11-15|doi=10.2307/2002695 |jstor=2002695}}</ref> Her zaman bir arctan serisine dayanan rekor, 1973'te 1 milyon haneye ulaşılana kadar art arda kırıldı (1957'de 7.480 hane; 1958'de 10.000 hane; 1961'de 100.000 hane).{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=197}}

1980 civarında iki ek gelişme, {{pi}}'yi hesaplama yeteneğini bir kez daha hızlandırdı. Birincisi, sonsuz serilerden çok daha hızlı olan {{pi}} hesaplaması için yeni [[yinelemeli algoritma]]ların keşfi; ve ikincisi, büyük sayıları çok hızlı bir şekilde çarpabilen hızlı çarpma algoritmalarının icadı.

Birincisi, {{pi}} hesaplaması için sonsuz serilerden çok daha hızlı olan yeni [[iteratif algoritma]]ların keşfi; ve ikincisi, büyük sayıları çok hızlı bir şekilde çarpabilen [[Çarpma algoritması|hızlı çarpma algoritmaları]]'nın icadı.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17}} Bu tür algoritmalar modern {{pi}} hesaplamalarında özellikle önemlidir çünkü bilgisayarın zamanının çoğu çarpmaya ayrılmıştır.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=131}} Bunlar arasında Karatsuba algoritması, Toom-Cook çarpması ve Fourier dönüşümü tabanlı yöntemler bulunur.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=132, 140}}

Yinelemeli algoritmalar, 1975-1976'da fizikçi Eugene Salamin ve bilim adamı Richard Brent tarafından bağımsız olarak yayınlandı.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=87}} Bunlar sonsuz serilere güvenmekten kaçınır. Yinelemeli bir algoritma, her yinelemede önceki adımların çıktılarını girdi olarak kullanarak belirli bir hesaplamayı tekrarlar ve her adımda istenen değere yaklaşan bir sonuç üretir. Yaklaşım aslında 160 yılı aşkın bir süre önce [[Carl Friedrich Gauss]] tarafından şu anda [[AGM yöntemi|aritmetik-geometrik ortalama yöntemi]] (AGM yöntemi) veya [[Gauss–Legendre algoritması]] olarak adlandırılan yöntemle icat edildi.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=87}} Salamin ve Brent tarafından değiştirildiği şekliyle, Brent-Salamin algoritması olarak da anılır.

Yinelemeli algoritmalar, sonsuz dizi algoritmalarından daha hızlı oldukları için 1980'den sonra yaygın olarak kullanıldı: sonsuz diziler tipik olarak birbirini izleyen terimlerde doğru basamak sayısını artırırken, yinelemeli algoritmalar genellikle her adımda doğru basamak sayısını "çarpar". Örneğin, Brent-Salamin algoritması, her yinelemede basamak sayısını ikiye katlar.

1984'te [[Jonathan Borwein|John]] ve [[Peter Borwein]] kardeşler, her adımdaki basamak sayısını dört katına çıkaran yinelemeli bir algoritma ürettiler; ve 1987'de, her adımda basamak sayısını beş kat artıran bir algoritma.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=111 (5 times); pp. 113–114 (4 times)}}. For details of algorithms, see {{Kitap kaynağı |soyadı1=Borwein |ad1=Jonathan|soyadı2=Borwein |ad2=Peter|başlık=Pi and the AGM: a Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity |yayıncı=Wiley |yıl=1987 |isbn=978-0-471-31515-5 }}</ref> Yinelemeli yöntemler, Japon matematikçi [[Yasumasa Kanada]] tarafından 1995 ve 2002 yılları arasında {{pi}} hesaplaması için çeşitli rekorlar kırmak için kullanıldı.<ref name="Background" /> Bu hızlı yakınsamanın bir bedeli var: yinelemeli algoritmalar, sonsuz serilerden önemli ölçüde daha fazla bellek gerektirir.<ref name="Background">{{Web kaynağı |soyadı=Bailey |ad=David H. |url=http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/dhb-kanada.pdf |başlık=Some Background on Kanada's Recent Pi Calculation |tarih=16 Mayıs 2003 |erişimtarihi=12 Nisan 2012|ölüurl=hayır|arşivurl=https://web.archive.org/web/20120415102439/http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/dhb-kanada.pdf |arşivtarihi=15 Nisan 2012}}</ref> 
 
=== {{pi}} sayısını hesaplama nedenleri ===
[[Dosya:Record pi approximations.svg|küçükresim|Matematikçiler yeni algoritmalar keşfettikçe ve bilgisayarlar kullanılabilir hale geldikçe, {{pi}}'nin bilinen ondalık basamaklarının sayısı önemli ölçüde arttı. Dikey ölçek [[logaritmik ölçek|logaritmik]]tir.]]
{{pi}} içeren çoğu sayısal hesaplama için, bir avuç rakam yeterli kesinlik sağlar. Jörg Arndt ve Christoph Haenel'e göre, çoğu [[kozmoloji]]k hesaplamayı yapmak için otuz dokuz basamak yeterlidir, çünkü [[gözlemlenebilir evren]]in çevresini bir atom hassasiyetiyle hesaplamak için gereken doğruluk budur. Hesaplamalı [[yuvarlama hatası|yuvarlama hatalarını]] telafi etmek için gereken ek basamakları hesaba katan Arndt, herhangi bir bilimsel uygulama için birkaç yüz basamağın yeterli olacağı sonucuna varır. Buna rağmen, insanlar {{pi}}'yi binlerce ve milyonlarca basamaklı olarak hesaplamak için yoğun bir şekilde çalıştılar.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=17–19}}</ref> Bu çaba kısmen insanların rekor kırma dürtüsüne atfedilebilir ve {{pi}} ile elde edilen bu tür başarılar genellikle dünya çapında manşetlere konu olur.<ref name="msnbc.msn.com">{{Haber kaynağı |başlık=John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi |ad=Matt |soyadı=Schudel |gazete=The Washington Post |tarih=25 Mart 2009 |sayfa=B5}}</ref><ref name="independent.co.uk">{{Haber kaynağı |başlık=The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi? |url=https://www.independent.co.uk/news/science/the-big-question-how-close-have-we-come-to-knowing-the-precise-value-of-pi-1861197.html |gazete=The Independent |tarih=8 Ocak 2010 |erişimtarihi=14 Nisan 2012 |yer=Londra|ad=Steve |soyadı=Connor|ölüurl=hayır|arşivurl=https://web.archive.org/web/20120402220803/http://www.independent.co.uk/news/science/the-big-question-how-close-have-we-come-to-knowing-the-precise-value-of-pi-1861197.html |arşivtarihi=2 Nisan 2012}}</ref> [[Süper bilgisayar]]ları test etme, sayısal analiz algoritmalarını test etme (yüksek hassasiyetli çarpma algoritmaları dahil); ve saf matematiğin kendisinde, {{pi}}'nin rakamlarının rastgeleliğini değerlendirmek için veri sağlar.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=18}}

=== Hızlı yakınsak seriler ===
[[Dosya:Srinivasa Ramanujan - OPC - 2 (cleaned).jpg|küçükresim|upright|alt=Photo portrait of a man| [[Srinivasa Ramanujan]], Hindistan'da izole bir şekilde çalışarak {{pi}} hesaplaması için pek çok yenilikçi seri üretti.]]
Modern {{pi}} hesap makineleri, yalnızca yinelemeli algoritmalar kullanmaz. 1980'lerde ve 1990'larda yinelemeli algoritmalar kadar hızlı ancak daha basit ve daha az bellek kullanan yeni sonsuz seriler keşfedildi.<ref name="Background" /> Hızlı yinelemeli algoritmalar, 1914'te Hint matematikçi [[Srinivasa Ramanujan]] {{pi}} için zarafetleri, matematiksel derinlikleri ve hızlı yakınsamalarıyla dikkat çeken düzinelerce yenilikçi yeni formül yayınladığında öngörülmüştü.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=103–104}}</ref>[[Modüler denklem]]lere dayanan formüllerinden biri,

<math display=block>
\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{k!^4\left(396^{4k}\right)}.
</math>

Bu seri, Machin'in formülü de dahil olmak üzere çoğu arctan serisinden çok daha hızlı yakınsar.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=104}}</ref> [[Bill Gosper]], 1985'te 17 milyon basamaklı bir rekor kırarak {{pi}} hesaplamasındaki ilerlemeler için bunu ilk kullanan kişiydi.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=104, 206}}</ref> Ramanujan'ın formülleri, Borwein kardeşler ([[Jonathan Borwein|Jonathan]] ve [[Peter Borwein|Peter]]) ve [[Chudnovsky kardeşler]] tarafından geliştirilen modern algoritmaları öngörüyordu.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=110–111}}</ref> 1987'de geliştirilen [[Chudnovsky algoritması|Chudnovsky formülü]],

<math display=block>
\frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{10005}}{4270934400} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!\,k!^3 (-640320)^{3k}}.
</math>

Terim başına yaklaşık 14 basamak {{pi}} üretir ve birkaç kayıt ayarı {{pi}} hesaplaması için kullanılmıştır. Bunlar arasında 1989'da Chudnovsky kardeşler tarafından 1 milyar (10<sup>9</sup>) haneyi aşan ilk rakamlar, 2011'de Alexander Yee ve Shigeru Kondo tarafından 10 trilyon (10<sup>13</sup>) hane ve 2022'de Emma Haruka Iwao tarafından 100 trilyon hane yer alıyor.<ref>{{harvnb|Eymard|Lafon|2004|p=254}}</ref><ref name="NW">{{Kitap kaynağı|soyadı1=Bailey|ad1=David H.|yazarbağı1=David H. Bailey (mathematician)|soyadı2=Borwein|ad2=Jonathan M.|yazarbağı2=Jonathan Borwein|bölüm=15.2 Computational records|bölümurl=https://books.google.com/books?id=K26zDAAAQBAJ&pg=PA469|doi=10.1007/978-3-319-32377-0|sayfa=469|yayıncı=Springer International Publishing|başlık=Pi: The Next Generation, A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation|yıl=2016|isbn=978-3-319-32375-6 }}</ref><ref>{{Dergi kaynağı|url=https://thenewstack.io/how-googles-emma-haruka-iwao-helped-set-a-new-record-for-pi/|başlık=How Google's Emma Haruka Iwao Helped Set a New Record for Pi|tarih=11 Haziran 2022|dergi=The New Stack|ad=David|soyadı=Cassel|erişim-tarihi=15 Nisan 2023|arşivurl=https://web.archive.org/web/20220611130300/https://thenewstack.io/how-googles-emma-haruka-iwao-helped-set-a-new-record-for-pi/|arşivtarihi=11 Haziran 2022|ölüurl=hayır}}</ref> Benzer formüller için ayrıca bkz. [[Ramanujan–Sato serisi]]

2006'da matematikçi [[Simon Plouffe]], aşağıdaki şablona uygun olarak {{pi}} için birkaç yeni formül oluşturmak için [[tamsayı ilişki algoritması]] PSLQ'yu kullandı:

<math display=block>
\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right),
</math>

burada {{math|''q''}} eşittir {{math|[[Gelfond sabiti|''e''<sup>''&pi;''</sup>]]}} (Gelfond sabiti), {{math|''k''}} tek sayıdır ve {{math|''a'', ''b'', ''c''}} Plouffe'un hesapladığı belirli rasyonel sayılardır.<ref>{{Web kaynağı |ad=Simon |soyadı=Plouffe |yazarbağı=Simon Plouffe |başlık=Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2) |tarih=April 2006 |url=<!-- http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf -->http://plouffe.fr/simon/inspired2.pdf |erişimtarihi=10 Nisan 2009|ölüurl=hayır|arşivurl=https://web.archive.org/web/20120114101641/http://www.plouffe.fr/simon/inspired2.pdf |arşivtarihi=14 Ocak 2012}}</ref>

=== Monte Carlo yöntemleri ===
{{çoklu resim
| direction         = horizontal
| image1            = Buffon needle.svg
| caption1          = [[Buffon'un iğnesi]]. ''a'' ve ''b'' iğneleri rastgele bırakılıyor.
| alt1              = Genişliği ''t'' olan şeritler üzerine dağılmış ''ℓ'' uzunluğundaki iğneler
| image2            = Pi 30K.gif
| caption2          = Rastgele noktalar, içinde bir daire bulunan bir kareye yerleştirilir.
| alt2              = Bir kareyi ve karenin içine çizilmiş bir daireyi rastgele kaplayan binlerce nokta.
| align             = left
| total_width       = 225
}}
Birden fazla rastgele denemenin sonuçlarını değerlendiren [[Monte Carlo yöntemleri]], {{pi}}'nin yaklaşık değerlerini oluşturmak için kullanılabilir.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=39}}</ref> Buffon'un iğnesi böyle bir tekniktir: {{math|''ℓ''}} uzunluğundaki bir iğne, {{math|''t''}} birim aralıklarla paralel çizgilerin çizildiği bir yüzey üzerine {{math|''n''}} kez düşürülürse ve bu seferlerin {{math|''x''}} tanesi bir çizgiyi geçerek durursa (x > 0), o zaman sayımlara göre {{pi}} yaklaşık olarak hesaplanabilir:

<math display=block>\pi \approx \frac{2n\ell}{xt}.</math>

{{pi}}'yi hesaplamak için başka bir Monte Carlo yöntemi, kare içine çizilmiş bir daire çizmek ve kareye rastgele noktalar yerleştirmektir. Daire içindeki noktaların toplam nokta sayısına oranı yaklaşık olarak {{math|π/4}} olacaktır.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=39–40}}<br />{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=105}}</ref>

[[Dosya:Five random walks.png|küçükresim|200 adımlı beş rastgele yürüyüş. ''W''<sub>200</sub> mutlak değeri için örnek ortalama {{math|''μ'' {{=}} 56/5}} ve dolayısıyla {{math|2(200)''μ''<sup>−2</sup> ≈ 3.19}} {{pi}}'nin {{math|0.05}} dahilindedir.|left]]
Olasılığı kullanarak {{pi}}'yi hesaplamanın başka bir yolu, bir dizi (adil) yazı tura atmasıyla oluşturulan rastgele bir yürüyüşle başlamaktır: eşit olasılıklarla {{math|''X<sub>k</sub>'' ∈ {{mset |−1,1}}}} olacak şekilde bağımsız [[rassal değişken]]ler {{math|''X<sub>k</sub>''}}. İlişkili rastgele yürüyüş

<math display=block>W_n = \sum_{k=1}^n X_k</math>

böylece her {{mvar|n}} için, {{math|''W<sub>n</sub>''}}, kaydırılmış ve ölçeklendirilmiş bir [[binom dağılımı]]'ndan çizilir. {{mvar|n}} değiştikçe, {{math|''W<sub>n</sub>''}} (ayrık) bir [[stokastik süreç|stokastik süreci]] tanımlar. O zaman {{pi}} şu şekilde hesaplanabilir:<ref>{{Akademik dergi kaynağı |soyadı=Grünbaum |ad=B. |yazarbağı=Branko Grünbaum |başlık=Projection Constants |dergi=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |cilt=95 |sayı=3 |sayfalar=451-465|yıl=1960 |doi=10.1090/s0002-9947-1960-0114110-9|doi-access=ücretsiz}}</ref>

<math display=block>\pi = \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{E[|W_n|]^2}.</math>

Bu Monte Carlo yöntemi, çemberlerle herhangi bir ilişkiden bağımsızdır ve [[#Gauss integralleri|aşağıda]] tartışılan [[merkezî limit teoremi]]'nin bir sonucudur.

{{pi}}'ye yaklaşmak için bu Monte Carlo yöntemleri, diğer yöntemlere kıyasla çok yavaştır ve elde edilen tam basamak sayısı hakkında herhangi bir bilgi sağlamaz. Bu nedenle, hız veya doğruluk istendiğinde asla {{pi}}'ye yaklaşmak için kullanılmazlar.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=43}}<br />{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|pp=105–108}}</ref>

=== Spigot algoritmaları ===
1995'te {{pi}}'ye yeni araştırma yolları açan iki algoritma keşfedildi. [[Musluk]]tan damlayan su gibi, hesaplandıktan sonra tekrar kullanılmayan {{pi}}'nin tek basamaklarını ürettikleri için [[musluk algoritması|musluk algoritmaları]] olarak adlandırılırlar.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=77–84}}<ref name="Gibbons">{{Akademik dergi kaynağı|soyadı=Gibbons|ad=Jeremy|yazarbağı=Jeremy Gibbons|doi=10.2307/27641917|sayı=4|dergi=[[The American Mathematical Monthly]]|jstor=27641917|mr=2211758|sayfalar=318-328|başlık=Unbounded spigot algorithms for the digits of pi|url=https://www.cs.ox.ac.uk/jeremy.gibbons/publications/spigot.pdf|cilt=113|yıl=2006|erişim-tarihi=15 Nisan 2023|arşivurl=https://web.archive.org/web/20230323144921/https://www.cs.ox.ac.uk/jeremy.gibbons/publications/spigot.pdf|arşivtarihi=23 Mart 2023|ölüurl=hayır}}</ref> Bu, nihai sonuç üretilene kadar tüm ara basamakları tutan ve kullanan sonsuz seri veya yinelemeli algoritmaların tersidir.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=77–84}}

Matematikçiler [[Stan Wagon]] ve Stanley Rabinowitz 1995'te basit bir musluk algoritması ürettiler.<ref name="Gibbons" />{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=77}}<ref>{{Akademik dergi kaynağı |ad1=Stanley |soyadı1=Rabinowitz |soyadı2=Wagon |ad2=Stan |tarih=March 1995 |başlık=A spigot algorithm for the digits of Pi |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1995-03_102_3/page/195 |dergi=American Mathematical Monthly |cilt=102 |sayı=3 |sayfalar=195-203|doi=10.2307/2975006 |jstor=2975006}}</ref> Hızı, arctan algoritmalarıyla karşılaştırılabilir, ancak yinelemeli algoritmalar kadar hızlı değildir.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=77}}

Başka bir musluk algoritması olan [[Bailey–Borwein–Plouffe formülü|BBP]] rakam çıkarma algoritması, 1995 yılında Simon Plouffe tarafından keşfedildi:

<math display=block> \pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right).</math>

Bu formül, kendisinden önceki diğerlerinin aksine, önceki tüm basamakları hesaplamadan {{pi}}'nin herhangi bir [[On altılı sayı sistemi|onaltılık]] basamağını üretebilir.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=117, 126–128}} Bireysel ikili basamaklar, bireysel onaltılık basamaklardan çıkarılabilir ve [[Sekizli sayı sistemi|sekizlik]] basamaklar, bir veya iki onaltılık basamaktan çıkarılabilir. Algoritmanın varyasyonları keşfedildi, ancak ondalık basamakları hızla üreten hiçbir basamak çıkarma algoritması henüz bulunamadı.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=128}}. Plouffe did create a decimal digit extraction algorithm, but it is slower than full, direct computation of all preceding digits.</ref> Rakam çıkarma algoritmalarının önemli bir uygulaması, kayıt {{pi}} hesaplamalarının yeni iddialarını doğrulamaktır: Yeni bir kayıt talep edildikten sonra, ondalık sonuç onaltılığa dönüştürülür ve ardından sona yakın birkaç rastgele onaltılık basamağı hesaplamak için bir basamak çıkarma algoritması kullanılır; eşleşirlerse, bu, tüm hesaplamanın doğru olduğuna dair bir güven ölçüsü sağlar.<ref name="NW" />

1998 ve 2000 yılları arasında, [[Dağıtık hesaplama|dağıtılmış bilgi işlem]] projesi [[PiHex]], 0 olduğu ortaya çıkan π'nin katrilyonuncu (10<sup>15</sup>th) bitini hesaplamak için [[Bellard'ın formülü]]nü (BBP algoritmasının bir modifikasyonu) kullandı.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=20}}<br />Bellards formula in: {{Web kaynağı |url=http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html |başlık=A new formula to compute the n<sup>th</sup> binary digit of pi |ad=Fabrice |soyadı=Bellard |yazarbağı=Fabrice Bellard |erişimtarihi=27 Ekim 2007 |arşivurl=https://web.archive.org/web/20070912084453/http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html <!-- http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf --> |arşivtarihi=12 Eylül 2007}}</ref> Eylül 2010'da bir [[Yahoo!]] çalışanı şirketin [[Apache Hadoop|Hadoop]] uygulamasını 23 günlük bir süre boyunca bin bilgisayarda iki katrilyonuncu (2×10<sup>15</sup>th) bitte 256 [[bit]] {{pi}}'yi hesaplamak için kullandı ki bu yine sıfırdır.<ref>{{Haber kaynağı |başlık=Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit |soyadı=Palmer |ad=Jason |gazete=BBC News |tarih=16 Eylül 2010 |url=https://www.bbc.co.uk/news/technology-11313194 |erişimtarihi=26 Mart 2011 |ölüurl=hayır|arşivurl=https://web.archive.org/web/20110317170643/http://www.bbc.co.uk/news/technology-11313194 |arşivtarihi=17 Mart 2011}}</ref>

== Matematikteki rol ve karakterizasyonlar ==
{{pi}} daire ile yakından ilişkili olduğu için geometri ve trigonometri alanlarındaki birçok formülde, özellikle daireler, küreler veya elipslerle ilgili olanlarda bulunur. İstatistik, fizik, [[Fourier analizi]] ve sayı teorisi gibi diğer bilim dalları da bazı önemli formüllerinde {{pi}}'yi içerir.

=== Geometri ve trigonometri ===
[[Dosya:Circle Area.svg|küçükresim|alt=A diagram of a circle with a square coving the circle's upper right quadrant.|right|Dairenin alanı gölgeli alanın {{pi}} katına eşittir. [[birim çember]]'in alanı {{pi}}'dir.]]
{{pi}}, [[elips]], [[küre]], [[koni]] ve [[simit (geometri)]] gibi dairelere dayalı geometrik şekillerin alan ve hacim formüllerinde görünür. {{pi}} içeren daha yaygın formüllerden bazıları aşağıdadır.<ref>{{harvnb|Bronshteĭn|Semendiaev|1971|pp=200, 209}}</ref>
* Yarıçapı {{math|''r''}} olan bir çemberin çevresi {{math|2π''r''}}'dir.
* Yarıçapı {{math|''r''}} olan dairenin alanı {{math|π''r''<sup>2</sup>}}'dir.
* Yarı büyük ekseni {{math|''a''}} ve yarı küçük ekseni {{math|''b''}} olan bir elipsin alanı {{math|π''ab''}}'dır.
* Yarıçapı {{math|''r''}} olan bir kürenin hacmi {{math|{{sfrac|4|3}}π''r''<sup>3</sup>}}'dir.
* Yarıçapı {{math|''r''}} olan bir kürenin yüzey alanı {{math|4π''r''<sup>2</sup>}}'dir.
Yukarıdaki formüllerden bazıları, [[#Gama fonksiyonu ve Stirling yaklaşımı|aşağıda]] verilen n-boyutlu topun hacminin ve onun sınırı olan (n-1)-boyutlu kürenin yüzey alanının özel durumlarıdır.

Dairelerin dışında, sabit genişlikte başka eğriler de vardır. [[Barbier teoremi]]ne göre, sabit genişliğe sahip her eğrinin çevresi, genişliğinin {{pi}} katıdır. [[Reuleaux üçgeni]] (üç dairenin yarıçapları olarak bir [[eşkenar üçgen]]in kenarlarıyla kesişmesinden oluşur) genişliği için mümkün olan en küçük alana ve daire en büyüğüne sahiptir. Dairesel olmayan pürüzsüz ve hatta sabit genişlikte [[cebirsel eğri]]ler de vardır.<ref>{{Kitap kaynağı|soyadı1=Martini|ad1=Horst|soyadı2=Montejano|ad2=Luis|soyadı3=Oliveros|ad3=Déborah|yazarbağı3=Déborah Oliveros|doi=10.1007/978-3-030-03868-7|isbn=978-3-030-03866-3|mr=3930585|yayıncı=Birkhäuser|s2cid=127264210|başlık=Bodies of Constant Width: An Introduction to Convex Geometry with Applications|yıl=2019}}{{pb}}
See Barbier's theorem, Corollary 5.1.1, p. 98; Reuleaux triangles, pp. 3, 10; smooth curves such as an analytic curve due to Rabinowitz, § 5.3.3, pp. 111–112.</ref>

Daireler tarafından oluşturulan şekillerin çevresini, alanını veya hacmini tanımlayan [[İntegral|Belirli integraller]], tipik olarak {{pi}} içeren değerlere sahiptir. Örneğin, 1 yarıçaplı bir çemberin alanının yarısını belirten bir integral şu şekilde verilir:<ref>{{Kitap kaynağı|soyadı1=Herman|ad1=Edwin|soyadı2=Strang|ad2=Gilbert|yazarbağı2=Gilbert Strang|bölüm=Section 5.5, Exercise 316|bölümurl=https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-5-substitution|sayfa=594|yayıncı=[[OpenStax]]|başlık=Calculus|cilt=1|yıl=2016}}</ref>

<math display=block>\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}.</math>

Bu integralde, {{math|{{sqrt|1&nbsp;−&nbsp;''x''<sup>2</sup>}}}} işlevi bir yarım dairenin <math>x</math> ekseni üzerindeki yüksekliği temsil eder ([[karekök]], [[Pisagor teoremi]]nin bir sonucudur) ve integral, [[yarım daire]]'nin altındaki alanı hesaplar.

=== Açı birimleri ===
[[Dosya:Sine cosine one period.svg|küçükresim|[[Sinüs]] ve [[kosinüs]] fonksiyonları  2{{pi}} periyot ile tekrarlanır.]]
[[Trigonometrik fonksiyon]]lar açılara dayanır ve matematikçiler genellikle ölçüm birimi olarak radyan kullanır. {{pi}}, tam bir daire 2{{pi}} radyanlık bir açıyı kaplayacak şekilde tanımlanan [[radyan]] cinsinden ölçülen açılarda önemli bir rol oynar. 180°'nin açı ölçüsü {{pi}} radyan ve 1° = {{pi}}/180 radyan'a eşittir.{{sfn|Abramson|2014|loc=[https://openstax.org/books/precalculus/pages/5-1-angles Section 5.1: Angles]}}

Yaygın trigonometrik fonksiyonlar, {{pi}}'nin katları olan periyotlara sahiptir; örneğin, sinüs ve kosinüsün periyodu 2{{pi}}'dir, dolayısıyla herhangi bir {{math|''θ''}} açısı ve herhangi bir {{math|''k''}} tam sayısı için,

<math display=block> \sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right) \text{ and } \cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right).</math>

=== Yaklaşık değeri ===
Pi sayısının bazı yaklaşık değerleri şu şekildedir:
* '''Bölümler''': {{sfrac|22|7}}, {{sfrac|333|106}}, {{sfrac|355|113}}, {{sfrac|52163|16604}}, {{sfrac|103993|33102}} ve {{sfrac|245850922|78256779}}.*<ref>{{Kitap kaynağı|soyadı=Eymard|ad=Pierre|soyadı2=Lafon|ad2=Jean Pierre|başlık=The Number Pi|yayıncı=American Mathematical Society|yıl=1999|isbn=978-0-8218-3246-2| kaynak = harv}}</ref>
* '''[[Onlu sayı sistemi]] ''': İlk yüz basamak; 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ....<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=240}}</ref>
* '''[[İkili sayı sistemi]]''': {{gaps||11.0010|0100|0011|1111|0110|1010|1000|1000|1000|0101|1010|0011| ....}}
* '''[[Üçlü sayı sistemi]]''': {{gaps||10.0102|1101|2222|0102|1100|2111|1102|2122|2220|1112|0121|2121| ....}}
* '''[[On altılı sayı sistemi]]''':{{gaps||3.243F|6A88|85A3|08D3|1319| ....}}<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=242}}</ref>
* '''[[Altmışlı sayı sistemi]]''': 3;8,29,44,1

== Pi ({{mvar|π}}) formülleri ==
Pi ({{mvar|π}}) formüllerinden başlıcaları şunlardır:{{Kaynak belirt}}

[[Nilakantha Somayaji]]:
:<math>\pi={3}+{\frac{4}{{3^{3}}-3}}-{\frac{4}{{5^{3}}-5}}+{\frac{4}{{7^{3}}-7}}-{\frac{4}{{9^{3}}-9}}+...</math>
:<math>\pi={3}+{\frac{4}{2\times3\times4}}-{\frac{4}{4\times5\times6}}+{\frac{4}{6\times7\times8}}-{\frac{4}{8\times9\times10}}+...</math>
----
[[Franciscus Vieta]]:
:<math>\pi=2\times\frac{2}{\sqrt{2}}\times\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\times\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\times\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}\times\cdots</math>
----
[[Gregory–Leibniz]]:
:<math>\pi=4\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{(-1)^n}{2n+1}=4\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+-\cdots\right)\!=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\ddots}}}}\!</math>
----
<ref>{{Web kaynağı | url = http://www.pi314.net/eng/newton.php | başlık = The world of Pi - Newton | erişimtarihi = 13 Mart 2022 | çalışma = www.pi314.net | arşivurl = https://web.archive.org/web/20100713173338/http://www.pi314.net/eng/newton.php | arşivtarihi = 13 Temmuz 2010}}</ref>[[Isaac Newton]]:
:<math>\pi=\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{{{2^{n+1}}\cdot{(n!)^2}}}{(2n + 1)!}</math>
----
[[Leonhard Euler]]:
:<math>\pi=-i\ln(-1)</math>
----
[[Bailey]]-[[Borwein-Plouffe]]:
:<math>\pi=\sum_{n=0}^{\infty}\biggl(\frac{1}{16}\biggr)^n\left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right)</math>
----
<ref>{{Web kaynağı | url = http://www.pi314.net/eng/bellard.php | başlık = The world of Pi - Bellard | erişimtarihi = 13 Mart 2022 | çalışma = www.pi314.net | arşivurl = https://web.archive.org/web/20110702011601/http://www.pi314.net/eng/bellard.php | arşivtarihi = 2 Temmuz 2011}}</ref>[[Fabrice Bellard]]:
:<math>\pi=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^6}\biggl(\frac{-1}{2^{10}}\biggr)^n\left(-\frac{2^5}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}+\frac{2^8}{10n+1}-\frac{2^6}{10n+3}-\frac{2^2}{10n+5}-\frac{2^2}{10n+7}+\frac{1}{10n+9}\right)\!</math>
----
[[Adamchik]]-[[Wagon]]:
:<math>\pi=\sum_{n = 0}^{\infty}\biggl(\frac{-1}{4}\biggr)^n\left(\frac{2}{4n+1}+\frac{2}{4n+2}+\frac{1}{4n+3}\right)</math>

== Ayrıca bakınız ==
* [[Geometri]]
* [[Pi Günü]]

== Notlar ==
{{Not listesi}}
== Kaynakça ==
{{Kaynakça}}

== Dış bağlantılar ==
* [http://www.kuark.org/2012/05/pi-sayisi-ve-cilginligi/ Pi Çılgınlığı] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20120518013144/http://www.kuark.org/2012/05/pi-sayisi-ve-cilginligi/ |tarih=18 Mayıs 2012 }} {{Tr}}
* [https://web.archive.org/web/20080319051557/http://pidifferent.pi.funpic.de/index-en.html Pi-Different] {{İng}}
* [http://www.gutenberg.net/etext/50 Project Gutenberg'de π'nin detaylı değeri] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20040701012534/http://gutenberg.net/etext/50 |tarih=1 Temmuz 2004 }} {{İng}}
* [http://aydos.com/pi Pi formülleri ve online pi hesabı] {{Webarşiv|url=https://web.archive.org/web/20110526012028/http://aydos.com/pi |tarih=26 Mayıs 2011 }} {{İng}}

{{İrrasyonel sayılar}}

{{Otorite kontrolü}}

{{DEFAULTSORT:Pi Sayisi}}
[[Kategori:Pi sayısı| ]]
[[Kategori:Oransız sayılar]]
[[Kategori:Matematiksel sabitler]]