Matematiksel fizik

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematiksel fizik kavramı fizikteki problem uygulamaları için geliştirilen matematiksel yöntemler için kullanılır.”The Journal of

Schrödinger denkleminin kuantum mekaniği içinde kuantum harmonik salıngaçları için genlikleri ile beraber (sağda) çözümü.Bu matematiksel fiziğe bir örnektir.

Mathematical Physics(Matematiksel Fizik Dergisi)” bu alanı şöyle açıklar:

“fizik problemlerindeki matematik uygulamaları ve fiziksel teorilerin formulasyonlarında geliştirilen uygun matematiksel yöntemlerdir.”

Matematiksel Fiziğin Kapsamı[değiştir | kaynağı değiştir]

Matematiksel fiziğin birçok farklı dalı vardır ve bunlar aşağı yukarı belirli tarihsel dönemlere tekabül eder.

Klasik mekaniğin geometrik şekilde gelişmiş formulasyonları[değiştir | kaynağı değiştir]

Lagrange ve Hamilton mekaniğinin kısıtlamaları da temel alınıp elde edilen Newton mekaniğinin titiz, soyut ve gelişmiş yeniden formülasyonlarıdır.Her iki formülasyon da sözde analitik mekanik içinde temsil edilir.Bu, örneğin,Noether teoreminin en temel formulasyanları ile simetri kavramının derin etkileşimini ve dinamiksel değişmeler süresince korunan değerleri anlamamızı sağlar.Bu yaklaşımlar ve fikirler ,aslında, istatistiksel mekanik, sürekli ortamlar mekaniği, klasik alanlar teorisi ve nicem alan teorisi gibi fiziğin diğer alanlarını da kapsayacak şekilde genişletilebilir.Ayrıca bu yaklaşım ve fikirler diferansiyel geometri içinde birçok örneğin ve temel fikirlerin oluşmasını sağladı.(Simpletik geometrideki birçok kavram ve vektör demetleri teorisi  gibi)

Kısmi Diferansiyel Denklemler[değiştir | kaynağı değiştir]

Kısmi diferansiyel denklemler teorisi (alakalı varyasyon hesapları, Fourier analizleri, potansiyel teori ve vektör analizi gibi konular) muhtemelen matematiksel fizikle en ilişkili konulardır.Bunlar 18. yüzyılın ikinci yarısından (D’Alembert, Euler ve Lagrange) 1930lara kadar yoğun bir şekilde geliştirildi.Bu gelişmelerin fiziksel uygulamaları hidrodinamik, göksel mekanik, sürekli alanlar mekaniği, esneklik teorisi, akustik, termodinamik, elektrik, manyetizma ve aerodinamik gibi konuları da içerir.

Kuantum Teorisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Atomik spektrum teorisi (ve, sonra, nicem mekaniği) lineer cebrin matematiksel alanı, işlemcilerin spektral teorisi, işlemci cebri, ve daha genel olarak fonksiyonel analiz hemen hemen aynı zamanda geliştirildi.Göresiz nicem mekanik Schrödinger işlemcilerini içerir ve atomik ve moleküler fizik ile bağlantıları vardır.Nicem enformasyon teorisi ise diğer bir alt daldır.

Görelilik ve Kuantum Görelilik Teorileri[değiştir | kaynağı değiştir]

Özel ve genel görelilik teorileri biraz farklı bir tipte matematik gerektirir.Bu hem nicem alanlar teorisi ve diferansiyel geometride önemli bir rol oynayan  grup teorisidir.Grup teorisi ancak aşamalı olarak nicem alan teorisi kozmolojik olayların matematiksel tariflerinde yan ısıra nicem alan teorisi olgusunda topoloji ve fonksiyonel analiz ile tamamlandı.

İstatistiksel Mekanik[değiştir | kaynağı değiştir]

İstatistiksel mekanik faz geçişleri teorisini de kapsayan ayrı ayrı alanlardan oluşur.Hamilton mekaniğine (veya onun nicem versiyonuna) dayanır ve matematiksel ergodik teori ve olasılık teorisinin bazı bölümleri ile yakından ilişkilidir.Özellikle kombinatorik ve fizik özellikle istatistiksel fizik arasında artan bir etkileşim vardır.

Kullanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

“Matematiksel fizik” teriminin kullanımı bazen gariptir.Diğer yakın ilişkili alanlar düşünülürken fiziğin gelişimiyle ortaya çıkan matematiğin belli bölümleri matematiksel fiziğin bir parçası olarak düşünülmez.Örneğin, dinamik sistemler ve Hamilton  mekaniği matematiksel fiziğe ait olmasına rağmen adi diferansiyel denklemler ve simplektik geometri  genellikle tamamen matematiksel öğreti olarak görülür.

Matematiksel Fizik & Kuramsal Fizik[değiştir | kaynağı değiştir]

Matematiksel fizik terimi bazen fizikten etkilenerek yapılan çalışmaları ve çözülen problemleri tanımlamak için kullanır veya bazen de son derece dikkatli matematiksel çalışmalar içinde yapılan deneyler düşünülür.Bu anlamda, matematiksel fizik sadece ve sadece matematik ve fiziğin harmanlanmasıyla oluşup farklılaşan çok geniş bir akademik alanı kaplar.Her ne kadar kuramsal  fizikle ilgili de olsa, matematiksel fizik bu anlamda matematik içinde olduğu gibi matematiksel titizliği belirtir.

Diğer taraftan, kuramsal fizik gözlemler ve genellikle sezgisel ve yaklaşık gerekçeler kullanmak için  kuramsal fizikçilere (daha genel anlamda matematiksel fizikçilere) ihtiyaç duyan deneysel fizik arasındaki bağlantıyı vurgular.Bazı konular matematikçiler tarafından titiz bir şekilde düşünülmez.Muhtemelen, dikkatli bir şekilde yapılan matematiksel fizik  matematiğe kuramsal fizik fiziğe daha yakındır.

Böyle matematiksel fizikçiler öncelikle fiziksel teorileri genişletir ve aydınlatırlar.Belirli bir matematiksel kesinlik seviyesi gerekliliğinden, bu araştırmacılar sık sık kuramsal fizikçiler tarafından çoktan çözülmüş olarak kabul edilen sorularla uğraşırlar.Fakat, bazen (çok genel ve kolay olmamakla birlikte) önceki çözümlerin tamamlanmamış, yanlış ya da çok basit olduklarını gösterebilirler.İstatistiksel mekanik ile termodinamiğin ikinci yasasını açıklamaya çalışan konular buna örnektir.Diğer örnekler özel ve genel görelilikteki senkronizasyon işlemlerini gerektiren önemli ayrıntılarla ilgilidir.(Sagnac etkisi ve Einstein senkronizasyonu)

Fiziksel teorileri kesin bir matematiksel seviyeye koymak için sarf edilen çaba birçok matematiksel gelişmeye ön ayak oldu.Örneğin, nicem mekaniğinin gelişimi ve fonksiyonel analizin bazı konuları birçok yönüyle birbirine paralel gelişti.Nicem mekaniğinin matematiksel çalışmaları, nicem alan teorisi ve istatistiksel nicem mekaniği  operatör cebrinde bazı sonuçlar  sağladı.Kesin bir nicem alan teorisini kurmak için yapılan girişimler temsil teorisi gibi bazı alanlarda sonuçlar yarattı.Geometri ve topolojinin kullanımı sicim kuramında önemli bir rol oynadı.

Önemli (Bilinen) Matematiksel Fizikçiler[değiştir | kaynağı değiştir]

20. yüzyılda matematiksel fiziğe katkı yapmış önemli (bilinen) bilim insanları şöyledir:Satyendra Nath Bose [1894–1974], Eugene Wigner [1902-1995], John von Neumann [1903-1957], Julian Schwinger [1918–1994], Sin-Itiro Tomonaga [1906–1979], Richard Feynman [1918–1988], Freeman Dyson [1923– ], Jürgen Moser [1928-1999], Hideki Yukawa [1907–1981], Roger Penrose [1931– ], Munir Ahmad Rashid [1934- ], Vladimir Arnold [1937-2010], Arthur Strong Wightman [1922-2013], Stephen Hawking [1942– ], Edward Witten [1951– ], Arthur Jaffe [1937- ], and Rudolf Haag [1922– ].Fakat matematiksel fiziğin tarihi Antik Yunan’da yaşamış filozof Arşimed’e kadar uzanır.

16. yüzyılın ilk on yılı içinde, astronomi  üstüne ilk çalışmalarını yapan Nicholas Copernicus günmerkezliliği önerdi ve bu konu üstüne 1543 yılında bir tez yayımladı.Çok radikal değildi, Copernicus sadece astronomiyi sadeleştirmeye çalıştı.Aristoteles’in beşinci elementinin -temel anlamda ve evrensel esaslarla bilinen “aither” saf hava- hareketini gerçek anlamda açıklayan Aristo fiziği ile belirtilen yörüngelerin daha doğru döngülerine ulaştı.Tycho Brahe’nin asistanı olan Alman bilim insanı Johannes Kepler (1571-1630) Kepler’in gezegen hareketi yasaları eşitlikleri içinde kalıp Koperniksel yörüngeleri elipse dönüştürdü.

Bir hevesli atomcu olarak Galileo Galilei 1623 yılında yayımladığı The Assayer  kitabında “doğanın kitabı”nın matematik ile yazılabileceğini ileri sürdü.1632 yılında yazdığı teleskopik gözlemler üzerine yazılan kitabı ile günmerkezliliği destekledi.Bazı deneyleri de kullanarak, Galileo yermerkezli evren tezlerinin doğru olmadığını kanıtlayarak böylece Aristo fiziğinin de doğru olmadığını göstermiş oldu.1638 yılında yayınladığı kitabı “Discourse on Two New Sciences-İki Yeni Bilim üzerine Söylemler” ile Galilei denk serbest düşüşün yasalarıyla birlikte  -bugün geçerli olan klasik mekaniğin genel kavramlarıyla bulunan- eylemsiz hareketin ilkelerini  belirledi.Galileo tarafından tespit edilen eylemsizlik yasaları ve Galileo göreliliği olarak da ifade değişmezlik ilkesi kullanılarak, eylemsizlik etkisindeki herhangi bir nesne için, göreceli durgunluk veya göreceli hareket durumunda –diğer bir nesneye göre durgun veya hareket halinde-  olup olmamasının bilinemebilmesiyle ilgili deneysel açıklama oluşturulabilir.

Rene Descartes Galileo ilkelerini düzenledi ve girdap hareketinin ilkelerini temel alarak -Aristo fiziğinin kullanımının bırakılmasıyla geniş çevrelerde kabul gören Kartezyen fizik ile-  tamamen günmerkezli bir sistemi geliştirdi.Descartes matematiksel düşünceleri bilimsel olarak biçimlendirmeye çalıştı ve üç boyutlu uzaydaki geometrik grafik çizimlerinin konumları ve zaman içinde değişimleri için  Kartezyen koordinat geliştirdi.

Newton ve Newton Sonrası[değiştir | kaynağı değiştir]

Isaac Newton (1642-1727) kalkülüsü ve fizikteki problemleri çözmek için geliştirilen Newton yöntemi gibi birkaç sayısal yöntemi içeren yeni bir matematik geliştirdi. Newton’un 1678’de yayımlanan hareket teorisi mutlak bir uzay çerçevesinde bir nesnenin hareketinin mutlak uzaya göre mutlak hareketin bilinmesini destekleyen bir şekilde mutlak zamanı varsayıp –Öklid geometrisinin yapısını bütün yönlerde sınırsız bir şekilde genişletilmesinin fiziksel bir gerçek oluşunu varsayarak- Newton’un evrensel yasası ile birlikte Galileo’nun üç hareket yasasını şekillendirdi. Galileo değişmezlik/görelilik ilkesi Newton’un hareket yasasında sadece ima edilmiş haliydi. Bir birleşik kuvvete sahip olmak için Kepler’in göksel hareket yasaları kadar Galileo’nun küresel hareket yasalarının sözde indirgenmesiyle, Newton teorik gevşeklikle büyük matematiksel titizlik elde etti.

18. yüzyılda, İsviçreli bilim insanı Daniel Bernoulli  (1700-1782) akışkanlar dinamiği ve titreşen sicimler üzerine katkılar yaptı. Diğer bir İsviçreli bilim insanı Leonhard Euler (1707-1783) varyasyonel hesaplar, dinamik, akışkanlar dinamiği ve diğer alanlarda özel çalışmalar yaptı. Diğer bir dikkate değer çalışmalar İtalya doğumlu Fransız vatandaşı Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) tarafından analitik mekanik  (Langrange mekaniğinin formulasyonlarını oluşturdu) ve varyasyonel hesaplar üzerine yapıldı. Fransız matematiksel fizikçi Joseph Fourier (1768-1830) integral dönüşümleri aracılığıyla kısmi diferansiyel denklemleri çözebilme yöntemleri için yeni bir yaklaşıma neden olan ısı denklemlerini çözebilmek için oluşturulan Fourier serileri kavramını ortaya attı.

19. yüzyılın ilk dönemlerine doğru, Fransız bilim insanı Pierre-Simon Laplace (1749-1827) matematiksel astronomiye, potansiyel teoriye ve olasılık teorisine önemli katkılar yaptı. Simeon Denis Poisson (1781-1840) analitik mekanik ve potansiyel teori üstüne çalıştı. Almanya’da, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elektriğin teorik inşasına, manyetizmaya, mekaniğe ve akışkanlar dinamiğine önemli katkılar yaptı.

Newton’un ışığın parçacık teorisini yayınlamasından yaklaşık 20 yıl sonra, Hollandalı bilim insanı Christiaan Huygens (1629-1695) 1690 yılında yayınladığı ışığın dalga teorisini geliştirdi.1804 itibariyle, Thomas Young çift yarıklı deneyinde girişim deseni elde ederek ışığın düşünüldüğü gibi bir dalga olduğunu gösterdi ve dalganın ışıklı esirinin titreşimleri olduğunu gösteren Huygens’in girişimi kadar Huygens’in ışığın dalga teorisi de kabul edildi.Jean-Augustin Fresnel esirin davranışlarını kuramsal olarak şekillendirdi.Michael Faraday hareket olmayan bir mesafedeki bir alanın kuramsal kavramlarını gösterdi.19. yüzyılın ortalarında, İskoç bilim insanı James Clerk Maxwell (1831-1879) elektrik ve manyetizmayı kendisinin oluşturduğu başka insanlar tarafından dört Maxwell denklemiyle ifade edilen elektromanyetik alan teorisine indirgedi.Başlangıçta, Maxwell’in elektromanyetik alanının  sonucu olarak optik bulundu.Sonra, radyasyon ve ardından elektromanyetik alanın sonucu olarak bugün bilindiği haliyle elektromanyetik spektrum  bulundu.

Maxwell’in hemşerisi Lord Kelvin (1824-1907) termodinamikte önemli buluşlar yaptı.İskoç bilim insanlarından Lord Rayleigh (1842-1919) ses üstüne çalıştı, George Gabriel Stokes (1819-1903) optik ve akışkanlar dinamiğinden öncülük yaptı, İrlandalı bilim insanı William Rowan Hamilton (1805-1865) analitik mekanik üzerinde bugün fiziğe yeni ve güçlü bir yaklaşım olarak görülen  Hamilton mekaniğini geliştirerek kayda değer çalışmalar yaptı.Bu yaklaşıma en ilişkili katkıları Alman meslektaşı Carl Gustav Jacobi (1804-1851) özellikle kuralsal dönüşümler ile katkılar yaptı.Alman bilim insanı Hermann von Helmholtz (1821-1894) elektromanyetizma, dalgalar, akışkanlar ve ses üstüne çalışmalarıyla büyük katkılar yaptı.Birleşik Devletlerde, Josiah Williard Gibbs (1839-1903) in öncülük eden çalışmaları istatistiksel mekanik için temel oluşturdu.Bu alandaki temel kuramsal sonuçlara Alman bilim insanı Ludwig Boltzmann (1844-1906) tarafından ulaşıldı.Bu ayrı ayrı çalışmalar elektromanyetik teorinin, akışkanlar dinamiğinin ve istatistiksel mekaniğin temellerini oluşturdu.

Görelilik[değiştir | kaynağı değiştir]

1880’ler itibariyle, “Maxwell’in elektromanyetik alanındaki bir elektromanyetik alanın içinde diğer nesnelere gözlemcinin hızı göreceli olursa yaklaşık sabit hızda ölçülmesi” önemli bir çelişkiydi.Bu nedenle, gözlemcinin hızının elektromanyetik alana göre sürekli azalmasına rağmen, bu hız elektromanyetik alandaki diğer nesnelere göre sabittir.Nesneler arasındaki fiziksel etkileşimde Galile’nun değişmezliğinde herhangi bir bozulma görülmedi.Fizikçiler esirin gözlemcinin kayıp hızını açıklayan elektromanyetik alanda kayarak sürüklenişinden doğan esirin hareketini Mawxell’in elektromanyetik alanının esirin salınımı olarak modellenmesi ile açıkladı.Fizikçilerin Kartezyen koordinatta çizilen diğer bir referans çerçevesi de Hollandalı bilim insanı Hendrik Lorentz (1853-1928) tarafından oluşturulan Lorentz dönüşümleriyle yenilenen Galileo dönüşümleriydi.

İki deneyci  olarak Michelson ve Morley 1887’de esir sürüklenmesini fark etmekte  başarısız oldular.Esirin kısalmasıyla oluşan Lorentz kısaltmalarıyla şekillendirilen esire doğru hareket hipotez olarak kuruldu.Böylece esirdeki hipotezlerde bütün eylemsiz referans çerçeveleri boyunca Galileo’nun değişmezlik ilkesiyle hizalanan  Maxwell’in elektromanyetik alanı -Newton’un hareket teorisi değiştirilmeden- korundu.

19. yüzyılda, Gauss’un eğimli alanlarda Öklidsel olmayan geometriye veya (geometriye) katkıları Bernhard Riemann (1826-1866) tarafından geliştirilen Riemann geometrisinin gelişimine alt yapı sağladı.Avusturyalı kuramsal fizikçi ve filozof Ernst Mach Newton’un kabul edilen mutlak uzayını eleştirdi.Ayrıca matematikçi Jules-Henri Poincare (1854-1912) mutlak zamanı sorguladı. Pierre Duhem 1905’te Newton’un hareket yasasının temelden yıkıcı bir eleştiri yayınladı.Ayrıca 1905’te, Albert Einstein (1879-1955) elektromanyetik alanın değişmezliğini ve esir dahil esirle ilgili bütün hipotezleri göz ardı ederek ele aldığı  Galileo’nun değişmezliğini yeniden açıklayarak  özel görelilik teorisini yayınladı.Newton’un teorisinin temellerini –mutlak uzay ve mutlak zaman- reddederek, özel görelilik bir nesnenin sahip olduğu kinetik enerjisi boyunca  uzunluk kısalması ve zaman genişlemesiyle  göreli uzay ve göreli zamanı açıklar.

1908’de, Einstein’in hocası Hermann Minkowski geçici eksen olarak düşünerek bir dördüncü uzay boyutu gibi zamanın bir boyutlu ekseni ile birlikte –toplamda dört boyutlu uzay zamanı- üç boyutlu uzay modelledi ve uzay ve zamanın bölünmesinin anlık yok oluşunu açıkladı.Einstein ilk başlarda bunu “gereksiz bilgililik” olarak tanımladı, fakat sonra  Minkowski’nin uzay zamanını değişmezliği bütün referans çerçeveleri için genişleterek –eylemsiz veya ivmeli olup olmadığını anlamak için- daha hoş bir genel görelilik teorisi için kullandı ve o sıralarda hayatta bulunmayan Minkowski’ye şükranlarını sundu. Genel görelilik Kartezyen koordinatı Gauss koordinatı ile değiştirir ve Newton’un iddia edilen boşluğunu, Newton’un varsayımsal çekim kuvvetinin  -bir mesafedeki anlık olay- vektörü ile hemen geçilen Öklid uzayı, çekimsel alanla değiştirir. Çekimsel alan, kütle ve enerji dolaylarında Riemann eğrilik tensörüne göre geometrik olarak bükülen bir Lorentz manifoldunda modellenen Einstein esirinin dört boyutlu topolojisi Minkowski uzay zamanının kendisidir. (Özel görelilik ile –genel göreliliğin özel bir durumu-, kütlesiz enerji onun yerel ölçekte “eğimli” birleşik uzay ve zaman boyutları olan dört boyutlu geometride olan kütle eşitliğiyle çekimsel bir etkiye uğrar.)

Kuantum[değiştir | kaynağı değiştir]

20. yüzyılın diğer bir devrimsel gelişimi Max Planck (1856-1947) ın özgün katkılarıyla (siyah cisim ışıması) ve Einstein’in fotoelektrik etki üstüne çalışmalarıyla doğan nicem teorisinde  oldu.Bu teori, öncelikle,  Arnold Sommerfeld (1868-1951) ve Niels Bohr (1885-1962) tarafından bulunan deneysel sistemlerle izlendi, fakat hemen ardından bunun  Max Born (1885-1962), Werner Heisenber (1901-1976), Paul Dirac (1902-1984), Erwin Schrödinger (1887-1961) ve Wolfang Pauli (1900-1958) tarafından geliştirilen nicem mekaniği aldı.Bu devrimci kuramsal sistem durumların olasılıksal yorumuna ve gelişim ve sonsuz boyutlu vektör alanında ölçümlerin kendine eş işlemcilere göre açıklanmasına  dayanır.Bu uzay temel biçimleri David Hilbert (1862-1943) ve Frigyes Riesz (1880-1956) tarafından geliştirilen ve  John von Neumann tarafından nicem mekaniğinin matematiksel temelleri üzerine olan uygun modern fonksiyonel analizlerin geliştirildiği –özellikle spektral teori üstüne-  meşhur kitabında  dikkatli bir şekilde aksiyomatik modern şekli içinde tanımlanan Hilbert uzayıdır.Paul Dirac elektronun bir görelili modelini oluşturabilmek için elektronun manyetik momentini ve bir zıt parçacık varlığını öngörerek cebirsel yapıları kullandı.