Vikipedi, özgür ansiklopedi
Jacobi-Anger açılımı veya Jacobi-Anger eşitliği , matematikte trigonometrik fonksiyonların harmonikleri temel alınarak yapılan bir üstel açılımdır . Fizikte (örneğin düzlem dalgalar ve silindirik dalgalar arasında dönüşüm) ve sinyal işlemede (FM sinyallerini tanımlamak için) kullanılır. Eşitlik adını 19. yüzyıl matematikçileri Carl Jacobi ve Carl Theodor Anger 'den almıştır.
Açılım
En genel halde eşitlik;[1] [2]
e
i
z
cos
θ
=
∑
n
=
−
∞
∞
i
n
J
n
(
z
)
e
i
n
θ
{\displaystyle e^{iz\cos \theta }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}\,J_{n}(z)\,e^{in\theta }}
ve
e
i
z
sin
θ
=
∑
n
=
−
∞
∞
J
n
(
z
)
e
i
n
θ
,
{\displaystyle e^{iz\sin \theta }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)e^{in\theta },}
şeklindedir. burada
J
n
(
z
)
{\displaystyle J_{n}(z)}
n 'inci Bessel fonksiyonudur .
J
−
n
(
z
)
=
(
−
1
)
n
J
n
(
z
)
,
{\displaystyle J_{-n}(z)=(-1)^{n}\,J_{n}(z),}
ilişkisi kullanılarak n 'inci tam sayı değeri için açılım:[1] [2]
e
i
z
cos
θ
=
J
0
(
z
)
+
2
∑
n
=
1
∞
i
n
J
n
(
z
)
cos
(
n
θ
)
.
{\displaystyle e^{iz\cos \theta }=J_{0}(z)\,+\,2\,\sum _{n=1}^{\infty }\,i^{n}\,J_{n}(z)\,\cos \,(n\theta ).}
Aşağıdaki reel değerli varyasyonlar da sıkça kullanılır.[3]
cos
(
z
cos
θ
)
=
J
0
(
z
)
+
2
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
J
2
n
(
z
)
cos
(
2
n
θ
)
,
sin
(
z
cos
θ
)
=
−
2
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
J
2
n
−
1
(
z
)
cos
[
(
2
n
−
1
)
θ
]
,
cos
(
z
sin
θ
)
=
J
0
(
z
)
+
2
∑
n
=
1
∞
J
2
n
(
z
)
cos
(
2
n
θ
)
,
sin
(
z
sin
θ
)
=
2
∑
n
=
1
∞
J
2
n
−
1
(
z
)
sin
[
(
2
n
−
1
)
θ
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(z\cos \theta )&=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\cos \theta )&=-2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n-1}(z)\cos \left[\left(2n-1\right)\theta \right],\\\cos(z\sin \theta )&=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\sin \theta )&=2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin \left[\left(2n-1\right)\theta \right].\end{aligned}}}
Ayrıca bakınız
Kaynakça
Genel
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., (Ed.) (1965), "Chapter 9" , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , New York: Dover, s. 355, ISBN 978-0486612720 , MR 0167642
Colton, David; Kress, Rainer (1998), Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory , Applied Mathematical Sciences, 93 (2. bas.), ISBN 978-3-540-62838-5
Cuyt, Annie; Petersen, Vigdis; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008), Handbook of continued fractions for special functions , Springer, ISBN 978-1-4020-6948-2
Özel
^ a b Colton & Kress (1998) ss. 32.
^ a b Cuyt et al. (2008) ss. 344.
^ Abramowitz & Stegun (1965) ss. 361, 9.1.42-45
Dış bağlantılar