Doğrusal programlama

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematik biliminde, özellikle yöneylem araştırması uygulamalı dalında, doğrusal programlama problemleri bir doğrusal amaç fonksiyonun doğrusal eşitlikler ve eşitsizlikler kısıtlamaları ile optimizasyon yapılmasıdır. Bir optimizasyon modeli eğer sürekli değişkenlere ve tek bir doğrusal amaç fonksiyonuna sahipse ve tüm kısıtlamaları doğrusal eşitlik veya eşitsizliklerden oluşuyorsa, doğrusal (lineer) program olarak adlandırılır. Başka bir deyişle, modelin tek-amaçlı fonksiyonu ve tüm kısıtlamaları, süreklilik gösteren karar değişkenlerinin ağırlıklı toplamlarından oluşmalıdır.

Doğrusal (lineer) programlamadaki doğrusal (lineer) sözcüğü, modeldeki tüm matematiksel fonksiyonların doğrusal (lineer) olması gerektiğini belirtir. Programlama kelimesi ise bilgisayar programlama'ya işaret etmez; daha çok planlama ile eş anlamlıdır. Dolayısıyla doğrusal (lineer) programlama, birçok uygun alternatif arasından belirlenmiş bir hedefe uyan optimal çözümü bulacak aktivitelerin planlanmasını içerir.

Fazla matematiksel olmayan terimler ile, bir seri doğrusal eşitlik veya eşitsizlik şeklinde ifade edilmiş koşullara bağlı olarak (en küçük maliyet veya en büyük kâr gibi) en iyi sonuca varılmasıdır.

Matris notasyonu kullanılarak

maks \mathbf{c}^T \mathbf{x}
sk A\mathbf{x} \leq \mathbf{b}
\mathbf{x} \geq 0

Burada

\mathbf{c} amac fonksiyonu katsayılarını (1xn) kapsayan vektördür ve T-üstü transpoz notasyonu olup
\mathbf{x} değişkenleri kapsayan bir (1xn) vektördür.
\mathbf{A} bir (mxn) katsayılar matrisidir.
\mathbf{b} (mx1) sol-tarafta olan sabit değerler vektörüdür.

Genel olarak bir dogrusal programlama probleminde \mathbf{b}, \mathbf{A} ve \mathbf{b} matrislerinde sayısal değerler halinde problem başlangıcında verilir ve \mathbf{x} vektorü için sayısal değişken değerleri sonuç olarak, problem çözülmekle, bulunur.


Doğrusal programlama birçok pratik alanda kullanım sahası bulmaktadır. Özellikle birçok işletme ve ekonomi sorunlarina özel veya kamu sektörunde devamlı kullanılmaktadır. Nakliyat, enerji üretimi ve dağıtımı, telekomunikasyon, sınai üretim gibi teknik işletmecilik gerektiren alanlarında bulunan birçok firmalar doğrusal programlamayı çok kullanamaktadırlar. Doğrusal programlama işletmecilik alanlarında çok kapsamlı ve çok çeşitli sorunların çözülebilmesini sağlamaktadır. Bunlar sorunlar arasında planlama, yol gösterme, zaman programlaması, iş ve işçi tahsis edilmesi gibi önemli sorunlar doğrusal programlama kullanılarak modellenebilmektedir.

Doğrusal programlamanın tarihçesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Doğrusal eşitsizlikler sistemi şeklindeki bir problemin incelenmesi ta Fourierin çalışmalarına kadar dayanmaktadır ve bu tanınmış matematikçi anısına Fourier-Motzkin eliminasyon yöntemi şeklinde isimlendirilmiştir.

1920'lerde Sovyet Rusya'da tüm ekonomi planlaması konuları pratikte ön plana geçmişken teorik olarak tüm ekonominin nasıl planlanabileceğini göstermek için yapılan teorik çalışmalar arasında Leonid Kantoroviç'in katkısı ilk defa bir doğrusal programlama probleminin açıkca ortaya çıkarılmasına yol açmıştır. Ne yazık ki teorinin pratik planlamaya uygulanmasının imkânsızlığı ve ideolojik nedenler dolayısıyla Kantroviç'in bu çalışmasının önemi ancak II. Dünya Savaşından sonra anlaşılabilmiştir.

II. Dünya Savaşı sırasında Birleşik Amerika'da ortaya çıkan lojistik tahsis sorunlarını incelemek için kurulan bir araştırma grubu, grup başkanı olan George Dantzig etrafında, bu türlü sorunların çözülmesi için doğrusal programlama probleminin tanımlanması gereğini ortaya çıkartmışlar ve bu türlü doğrusal programlama problemlerinin çözümü için simpleks algoritması adını verdikleri bir çözüm sistemi ortaya atmışlardır. Özelikle bu matematik modelin ve çözum algoritmasının, maliyetleri ve getirileri planlama suretiyle harp masraflarının kısılmasına yol açtığı açıkca görüldüğü için bu teorik ve pratik gelişmeler 1947'ye kadar devlet sırı olarak saklı kalmıştır. 1947'de John von Neumann, özellikle oyunlar teorisi ile de ilgileniyorken, ikincillik teorisini geliştirmiştir.

Bu zaman kadar doğrusal programlamaya yaptıkları katkılar nedeni ile Kantoroviç, Dantzing ve von Neumann'a 1975'de Nobel Ekonomi ödülü verilmiştir.

1947'den sonra özellikle geliştirilen bilgisayar uygulamaları ile birlikte özellikle büyük özel sanayi birimleri ve büyük devlet projeleri için birçok doğrusal programlama problem tanımlanmış ve simpleks algoritması ile çözülüp pratikte kullanılmaya başlanmıştır. Örneğin petrol rafine şirketlerinin günlük üretim planlamaları ve çok girdili ve çok çıktılı üretim karışımı planlamaları için doğrusal programlama çözümlerini devamlı olarak kullanmaya başlamışlardır.

1979'da Leonid Haciyan doğrusal programlama probleminin polinom zaman içinde çözülebileceğini ilk defa ispat etmiştir. Fakat bu alanda çok daha önemli teorik ve pratik gelişmeler 1984'te Narendra Karmarkar'ın doğrusal programlama problemlerin çözülmesi için (simpleks algoritması yerine) içsel nokta yöntemi ortaya atması ile başlamıştır.

Doğrusal programlamanın pratik yararlılığı bu yöntemin ilk kullanılma problemlerinden biri olan ve Dantzig tarafından ortaya atılan 70 kişinin 70 göreve, karar verici kuruma en iyi sonuç çıkaracak şekilde, tahsis edilmesi örneğinin biraz daha ayrıntılarına bakmak suretiyle anlaşılabilir. Eğer çözüm için her mümkün tahsisi teker teker elden geçirip her biri için amaca yaptığı katkıyı bulmak deneyimine girişilirse, bu kadar çok büyük sayıda permutasyonun elden geçirilmesinin imkânsız olduğu hemen açığa çıkar; çünkü gerekli permütasyon sayısı bütün yakın evrende bulunan parçacıkların sayısına yaklaşır. Eğer bu problem doğrusal programlama şeklinde belirtilip en iyi çözümü bulma kararı verirsek, en zor ve zaman alıcı çabanın probleminin çözümünde değil problemin programa girdisinin hazırlanmasında olduğu anlaşılır. Bu problemin bilgisayarla simpleks algoritması kullanılarak çözülmesi göz kırpma zamanı bile almaz. Doğrusal programlama kuramı arkasında bulunan teori, kontrol edilmesi gereken mümkün en iyi çözüm sayısını çok etkili şekilde azaltmaktadır.

Kullanım alanları[değiştir | kaynağı değiştir]

Doğrusal programlama yönteminin çok olmasına rağmen matematik için çok önemli olan optimizasyon alanında çok büyük bir rol oynamasında çeşitli nedenler vardır. Yöneylem araştırması alanında birçok pratik problem doğrusal programlama problemi olarak tanımlanmaktadır. Doğrusal programlamanın bazı özel hallerinin, örneğin ağ şebekelerinde akışım veya çoklu mal akışımı problemlerinin, o kadar önemli oldukları anlaşılmıştır ki özel problem çözum şekilleri ve algoritmaları ortaya çıkartmak için bu özel problem alanlarına büyük araştırma çabaları yöneltilmiştir.

Diğer tipte olan optimizasyon problemleri için ortaya çıkartılan algoritmaların çoğu özel alt problem olarak doğrusal programlama çözümlerini kapsamaktadır. Matematik optimizasyon kavram ve yöntemlerinin geliştirilmesi için yapılan çalışmaların geçmişine bakılırsa, bunların en önemli olanlarının çoğunun (örneğin dualite, koveksite, bölünebilirlik ve daha genelleştirmeler) ilk defa doğrusal programlama için ortaya atılıp geliştirildiği aşikar olarak görülmektedir.

Aynı şekilde pratik alanlar olan işletmecilik ve mikroiktisat alanlarında etkin mal ve hizmet üretimi ve arzı için gelirleri maksimum hale getirmek veya maliyet ve masrafları minimum hale getirmek için, doğrusal programlama çok büyük katkılarda bulunmaktadır. Doğrusal programlamanın bu pratik alanlardaki kullanıldığı problemler arasında yiyecek maddelerinin harmanlanması, envanter kontrolü, insan ve makine kaynaklarının en iyi şekilde tahsis edilmeleri, ilan kampanyalarının planlaması, elektrik ve diğer enerji için toptan fiyatlama ve tahsis planlaması vb. bulunmaktadır.

Standart şekil[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir doğrusal programlama probleminin tanımlanması için en uygun ve alışılmış olan şekline standart şekil adı verilmektedir. Bu standart şekilde bir doğrusal programlama problemi üç özel parçadan oluşmaktadır:

Her doğrusal program problemi bir genel standart doğrusal program problemine (yani kanonik şekile) dönüştürülebilir. Matematiksel olarak bir genel standart doğrusal program problemi basitçe bir şekilde şöyle ifade edilir:

  • Amaç fonksiyonu - Bir maksimize edilecek doğrusal amaç fonksiyonu
    • Genel olarak n değişkenli problem için:
maks \mathbf{c}^T \mathbf{x} veya
maks c_1x_1+c_2x_2+\cdots +c_nx_n.
    • Örnek olarak 2 değişkenli problem için:
maksimum bul c_1 x_1 + c_2 x_2\,
  • Kısıtlamalar - doğrusal eşitsizlik veya eşitlik halinde kısıtlayıcı koşullar:
    • Genel olarak n değişkenli m kısıtlamalı problem için:
sk A\mathbf{x} \leq \mathbf{b}

veya

a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \le b_1
a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \le b_2

......................................................................

a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \le b_m
    • Örnek olarak 2 değişkenli ve 3 kısıtlamalı problem için
a_{11} x_1 + a_{12} x_2 \leq b_1
a_{21} x_1 + a_{22} x_2 \leq b_2
a_{31} x_1 + a_{32} x_2 \leq b_3
  • Negatif olmama kısıtlamaları - sonuç değişken değerlerinin 0 veya pozitif değerde olmaları:
    • Genel olarak n değişkenli problem için:
\mathbf{x} \geq 0

veya

x_1\ge 0, x_2\ge 0 ..... x_n\ge 0
    • Örnek olarak 2 değişkenli problem için
x_1 \ge 0 ve x_2 \ge 0

Bu problem kolaylıkla matris şekline dönüştürülebilir:

maksimum bul: maks. \mathbf{c}^T \mathbf{x}
kısıtlamalar: kis. \mathbf{A}\mathbf{x} \le \mathbf{b}, \, \mathbf{x} \ge 0

Doğrusal programlama diğer şekiller de alabilir. Bunlardan birkaç örnek verelim: minimizasyon problemleri; değişik şekillerde (\ge veya = halinde) verilen kısıtlamalar; negatif değişken kapsayan problem vb. Bütün bu değişik şekiller uygun dönüşümler kullanılarak standart forma dönüştürülebilirler.

Örneğin[değiştir | kaynağı değiştir]

Eklenmiş şekil (belirtisiz gevşek şekli)[değiştir | kaynağı değiştir]

Simpleks algoritmasını kullanıp çözüm bulunmaya başlanmadan önce doğrusal programlama problemlerinin eklenmiş şekile dönüştürülmeleri gerekir. Bu şekil için (≤ şeklinde) eşitsizlik halinde olan her kısıtlama bir negatif olmayan belirtisiz gevşeklik değişkeni eklenmesi ile eşitlik haline donüştürülür. Bu halde, doğrusal programlama problemi şu şekli alır:

Z in maksimumunu bulun .
Kısıtlamalar:

  \begin{bmatrix}
    1 & -\mathbf{c}^T & 0 \\
    0 & \mathbf{A} & \mathbf{I}
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    Z \\ \mathbf{x} \\ \mathbf{x}_s
  \end{bmatrix} = 
  \begin{bmatrix}
    0 \\ \mathbf{b}
  \end{bmatrix}
 \mathbf{x}, \, \mathbf{x}_s \ge 0

Burada xs yeni olarak ortaya çıkartılan gevşeklik değişkenleridir ve Z maksimum değeri bulunacak amaç değişkenidir.

Örneğin[değiştir | kaynağı değiştir]

İkincillik[değiştir | kaynağı değiştir]

Her dogrusal programlama problemi (ki buna asılsal (primal) problem adı verilir) belirli dönüşümler yapılarak bir diğer ikincil (dual) probleme çevrilebilir. Bu ikincil problem asılsal probleminin en iyi optimal değeri için bir üst sınır temin eder. Matris şekille asılsal problem standart şekilde şöyle ifade edilir:

Maksimum değer bul - maks. \mathbf{c}^T \mathbf{x}
Kısıtlamalar - kıs. \mathbf{A}\mathbf{x} \le \mathbf{b}, \, \mathbf{x} \ge 0

Bu asıl belirtilme şekili olan asılsal problemine karşıt ikincil problem matris olarak şöyle yazılır:

Minimum değer bul - min. \mathbf{b}^T \mathbf{y}
Kısıtlamalar - kıs.  \mathbf{A}^T \mathbf{y} \ge \mathbf{c}, \, \mathbf{y} \ge 0

Görüldüğü gibi asılsal problemde değişkenler x vektörüyle, ikincil problemde ise y vektörü ile ifade edilmektedir.

İkincillik kuramına iki genel fikir temel olmaktadır. Birine göre ikincil (dual) probleminin tekrar ikincil problemini ortaya çıkartırsak, bunun asılsal problemi olacağı gerçeğidir. İkinci ana fikir ise, bir asılsal doğrusal programlama problemi için her bir uygun çözümün bunun ikincil problemin amac fonksiyonunun en iyi optimal değerine bir sınır getirdiğidir. Zayıf ikincillik teoremi, bir ikincil problemi için herhangi bir uygun çözümde bulunan amaç fonksiyonu değerinin, bu uygun çözümde asılsal problemi için amaç fonksiyonu değerinden her zaman daha büyük veya eşit olacağını önerir. Güçlü ikincillik teoremi ise eğer asılsal problemi için en iyi optimal çözüm , x* olarak bulunursa, o halde ikincil problem için de bir en iyi optimal çözum, y*, bulunduğunu ve bu iki optimal çözüm arasında şu bağlantı olduğunu

cTx*=bTy*

önerir.

Bir doğrusal programlama problemi sınırsız veya uygunsuz bulunarak çözümsüz olabilir. İkincillik teoremine göre, eğer asılsal sınırsız ise, o halde zayıf ikincillik teoremine göre, ikincil problem uygunsuzdur. Aynı şekilde, eğer ikincil problem sınırsız ise, asılsal problem uygunsuz olacaktır. Ancak hem asılsal ve hem de ikincil problemlerinin uygunsuz olmaları da mümkündür.

Örneğin[değiştir | kaynağı değiştir]

Tamamlayıcı gevşeklik[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer sadece birincil problem için en iyi optimal çözüm biliniyorsa, ikincil problem için bir en iyi optimal çözümün elde edilmesi tamamlayıcı gevşeklik teoremini kullanmak suretiyle mümkün olur. Bu teorem şunu önerir:

x = (x1, x2, . . ., xn) birincil problem için olanaklı bir çözüm ve y = (y1, y2, . . . , ym) ise ikincil problem için olanaklı bir çözüm olduğu kabul edilsin. (w1, w2, . . ., wm) birincil problem icçin gevşeklik değişkenler ve (z1, z2, . . . , zn) du bunlara karşıt ikincil problem için gevşeklik değişkenleri olsunlar. Bu halde x ve y kendileri için yukarıda anılmış problemler için en iyi optimal sonuç olmalariı, ancak ve ancak xjzj = 0, for j = 1, 2, . . . , n, wiyi = 0, for i = 1, 2, . . . , m. şartları gerçekleşirse ortaya çıkar.

Bu nedenle, eğer birincil problemdeki i'inci gevşeklik değişkeni sıfıra eşit değilse, ikincil problemde i'inci değişken değeri sıfıra eşit olur. Benzer şekilde, eğer ikincil problemdeki j'inci gevşeklik değişken sıfıra eşit değillerse, birincil problemde j'inci değişken değeri sıfıra eşittir.

Kuram[değiştir | kaynağı değiştir]

Geometrik olarak, doğrusal kısıtlayıcılar olanaklı yöre adı verilen bir içbükey polihedron belirtirler. Hedef fonksiyonu da doğrusal olduğu, yani bir konveks fonksiyon olduğu, için her yöresel en iyi optimum noktası, otomatik olarak, global en iyi optimal noktası olur. Bu öneri Karush-Kuhn-Tucker teoremininin uygulanmasına göre gerçekleşir. Hedef fonksiyonunun doğrusal olması en iyi optimal çözümlerin sonlu noktalar setinin bir konveks kabuğudur ve çok defa tek bir noktadan oluşur.

En iyi optimal çözüm noktasının bulunamadığı iki özel hal bulunmaktadır. Birinci özel halde, kısıtlamalar birbirleri ile tamamiyle çelişme halindedirler (Tam çelişme halindeki iki doğrusal kısıtlamaya örnegin x ≥ 2 ve x ≤ 1 olabilir). Bu halde olanaklı yöre boştur ve hiçbir çözüm bulunmadığı için en iyi optimal sonuç da yoktur. Bu halde, doğrusal programlama problemine olanaksız problem adı verilir.


Algoritmalar[değiştir | kaynağı değiştir]

İki değişken üzerinde bir seri doğrusal kısıtlamalar bu değişkenler için her mümkün çözüm noktasını kapsayan bir 'uygunluk alanı' ortaya çıkarırlar. Çözümü elde edilebilir problem için 'uygunluk alanı' bir basit poligon şeklini alır.

Doğrusal programlama problemlerinin pratik olarak çözümlenmesi için ilk kullanışlı algoritma George Dantzig ve Rand Corp. özel araştırma ekibinin ortaya attığı simpleks algoritmasıdır. Bu algoritma kısıtlamalardan ortaya çıkan düzeyleri birçok değişirli polihedron (iki değişkenli problemde "uygunluk alanı") olarak görmekte ve bu polihedronda kesişme noktalarını yani polihedron köşelerini (iki değişkenli problemde kısıtlama çizgilerinin kesişme noktalarını) birer mümkün çözüm olarak görmektedir. Bundan sonra bir köşeden başlayıp bu köşeyi tayin eden kenarlar takip edilerek amaç fonksiyonun iyileşmesini sağlayan kenarlar teşhis edilmekte; bunlardan amaç fonksiyonuna en iyi sonuç çıkaracak kenar takip edilip bir diğer polihedron köşesi bulunmaktadır. Bu yeni bulunan polihedron köşesi de aynı usul kullanılarak daha iyi bir başka köşeye gidebilme imkânı aranmaktadır. Eğer elde bulunan bir polihedron köşesinden daha iyi amaç sonuç sağlayan bir köşeye gitme imkânı yoksa, bu son köşe optimum çözum olarak kabul edilmektedir.

Genel olarak çok büyük sayıda değişkenli ve çok büyük sayıda kısıtlamalı pratik doğrusal programlama problemlerinde bu polihedron üzerinde köşeden köşeye gidiş yönteminin, eğer köşeden köşeye gidişlerin "dalgalanma"larını önlemek için özel itina gösterilirse, etkin ve global bir optimum sonuç cikartmakta olduğu eldeki kullanma tecrübelerinden bilinmektedir. Ama matematikçiler bilmektedirler ki bu çeşit yinelemeli (itiratif) çözüm çok büyük sayıda (hatta , üssel olarak artan sayıda) kose incelemesi gerektirebilmektedir. Önceleri kompüter kullanarak bu çeşit yinelemeli çözüm problemlerinin sonlu bir zaman döneminde çözümlenemiyeceği (yani bu problemin P-karmaşıklık sınıfına dahil olduğu) şüphesi ortaya çıkmıştı.

Fakat bu soruna yanit, 1979da "Leonid Khachiyan" adli bir Sovyet Rus matematikcisi tarafindan gelistirilen ve lineer proglamlama icin ilk en-fena-halde-polinom-zaman algoritmasi olan elipsoid yontemi'nin ortaya atilmasi ile acikliga kavusturulmustur. Buna gore, n tane degiskeni olan ve L girdi "bit"leri ile enkodlanabilen bir problemin cozumlenmasi icin, bu Khachiyan algoritmasi icin O(L) sayisal rakamli O(n4L) aritmetik operasyon yapilmasi gerekmektedir. Bu cozumleme algoritmasi ("Arkadi Namirovski" tarafindan onerilen "konveks optimazasyon" bulunmasi icin kullanilan elipsoid tekniginin), "Naum Shor" ve "D.Yudin" tarafindan gelistirilmis sekli ile uygulanmaktadir. Khachiyan'in algoritmasi ve Shor-Yudin gelistirmeleri, ve bunlarla dogrusal programlama problemlerin cozumlenme isbatlari matematik teorisi bakimindan cok onemli merhaleler oldugu suphesizdir. Fakat pratikte bu yeni algoritma, ozel olarak suni olarak gelistirilen dogrusal programlama problem gruplarini cozme haricinde, pratik dogrusal programlama problemleri cozumu icin daha onceki "simpleks algoritmasi" 'nin yerini almamistir.

Fakat bu yeni algoritma dogrusal programlama uzerinde yeni matematiksel arastirmalara ilham kaynagi olmus ve matematikciler polihedronun sinirlarinda disindan kose kose arastirmaya dayanan "dissal cozum"ler arama yerine polihedronun icinden gidisle en iyi dis koseyi bulmaya dayanan "icsel nokta yontemleri"ne dayanan algoritmalarla pratik cozum usulleri gelistirmislerdir. 1984de "N.Karmarkar" bir "icsel nokta yontemi" olarak dogrusal programlama problemlerinin cozumu icin Karmarkar algoritmasi'ni ortaya atmistir. Bu algoritma ile Khachiyan'in teoretik en-kotu-hal-polinom siniri O(n^{3.5}L) ifadesine dusurulmustur. Boylece simpleks algoritmasina nazaran cok dramatik sekilde pratik cozum perfomansinda gelismeler ve kolayliklari ortaya cikartmistir. Daha sonra bicok diger "icsel nokta yontemi" ortaya atilmistir. Bunlkaradn cogu "afin iskalasi kurulmasi" teorisine dayanmaktadir. Son zamanlarda ise "baraj fonksiyonu" veya "patika takipciligi" teorilerine dayanan "icsel nokta yontemi" algoritmalari onerilmistir.

Uygulamali matematikcilerin en son dusuncelerine gore, pratik endustriyel sorunlar icin dogrusal programlama kullanilmasinda, duzgun kullanma icin gelistirilmis simpleks algortmasi ile icsel-nokta yontemi kullanan algoritmalar arasinda pek gercek fark bulunmamaktadir.

Hala çözülememiş problemler ve en son çalışmalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Tamsayılı bilinmeyenler[değiştir | kaynağı değiştir]

Uygulama Alanları[değiştir | kaynağı değiştir]

Dogrusal programlama pratik gercekte orta donem veya uzun donem optimizasyon problemlerinin (yani yoneylem arastirmasi terimlerini kullanirsak ozel sektor veya devlet sektoru kurumlarinin taktik ve strategi problemlerinin) cozulmesi icin uygulanmaktadir. Bu tip problemlerin bulunup uygulanma alanlari cok genistir ve girdi planlamasi, uretim planlanmasi ve idaresi, insan kaynaklari planlanamsi, dagilim planlamasi ve idaresi, pazarlama planlamasi , finansman idaresi ve kontrolu alanlarinda ozellikle etkin sonuclar ortaya cikarirlar. Ozellikle buyuk tarim uretimi, ormancilik, sanayi sektoru; fabrika uretimi; petrol, gaz, elektrik, nukleeer gibi enerji uretimi ve dagilimi; kara nakliyat vasitalari, demiryolu ve hava nakliyati, telekomunukasyon, finansman saglama vb kesimlerde kullanilmaktadir.

Petrol sanayiinde uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Çözücüler ve Scripting (Programlama) Dilleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

Yazılımlar[değiştir | kaynağı değiştir]