Düzlemsel eğri
Matematikte, bir düzlem eğrisi veya düzlemsel eğri, bir düzlem içinde yer alan (yani tüm noktaları düzlem içinde kalan) bir eğri olup söz konusu düzlem, bir Öklid düzlemi, bir afin düzlem veya bir projektif düzlem olabilir. En sık çalışılan durumlar, düzgün düzlem eğrileri (parçalı düzgün düzlem eğrileri dahil) ve cebirsel düzlem eğrisidir.
Düzlem eğrileri ayrıca Jordan eğrisini (düzlemin bir bölgesini çevreleyen ancak düzgün olması gerekmeyen eğriler) ve sürekli fonksiyonların grafiklerini de içerir.
Sembolik gösterim
[değiştir | kaynağı değiştir]Bir düzlem eğrisi genellikle Kartezyen koordinatlarda belirli bir f fonksiyonu için şeklinde bir örtük denklem ile temsil edilebilir. Bu denklem y veya x için açık bir şekilde çözülebilirse -yani, belirli bir g veya h fonksiyonu için veya olarak yeniden yazılabilirse- bu, temsilin alternatif, açık bir biçimini sağlar. Bir düzlem eğrisi genellikle Kartezyen koordinatlarda, belirli ve fonksiyonları için biçimindeki bir parametrik denklem ile de gösterilebilir.
Düzlem eğrileri bazen her noktanın konumunu bir açı ve orijinden uzaklık cinsinden ifade eden kutupsal koordinatlar gibi alternatif koordinat sistemi ile de gösterilebilir.
Düzgün düzlem eğrisi
[değiştir | kaynağı değiştir]Düzgün düzlem eğrisi, gerçel Öklid düzlemi içinde bir eğridir ve tek boyutlu bir düzgün manifolddur. Bu, düzgün bir düzlem eğrisinin "yerel olarak bir doğru gibi görünen" bir düzlem eğrisi olduğu anlamına gelir, yani her noktanın yakınında, bir düzgün fonksiyon tarafından bir doğruya eşlenebilir.
Eşdeğer olarak, düzgün bir düzlem eğrisi yerel olarak denklemiyle verilebilir, burada bir düzgün fonksiyondur ve ile kısmi türevleri, eğrinin bir noktasında asla her ikisi birlikte 0 değildir.
Cebirsel düzlem eğrisi
[değiştir | kaynağı değiştir]Cebirsel düzlem eğri, bir polinom denklemi (veya ile verilen afin veya projektif düzlem içindeki bir eğridir, burada F projektif durumda bir homojen polinomdur).
Cebirsel eğriler, 18. yüzyıldan beri kapsamlı bir şekilde çalışılmaktadır.
Her cebirsel düzlem eğrisinin bir derecesi vardır, tanımlayıcı denklemin derece, bir cebirsel olarak kapalı cisim olması durumunda, eğrinin genel konumdaki bir doğruyla kesişme sayısına eşittir. Örneğin, denklemiyle verilen dairenin derecesi 2'dir.
Derecesi 2 olan tekil olmayan düzlem cebirsel eğrilere konik kesitler denir ve bunların izdüşümsel tamamlanması çemberinin izdüşümsel tamamlanmasıyla izomorfiktir (yani denkleminin izdüşümsel eğrisi). Derecesi 3 olan düzlem eğrilere kübik düzlem eğriler ve eğer tekil değillerse eliptik eğriler denir. Derecesi 4 olanlar kuartik düzlem eğriler olarak adlandırılır.
Örnekler
[değiştir | kaynağı değiştir]Çok sayıda düzlem eğrisi örneği Eğriler galerisinde gösterilmiş ve Eğriler listesinde listelenmiştir. Derecesi 1 veya 2 olan cebirsel eğriler burada gösterilmektedir (derecesi 3'ten küçük olan cebirsel eğriler her zaman bir düzlem içinde yer alır):
Ad | Örtük denklem | Parametrik denklem | Bir fonksiyon olarak | grafik |
---|---|---|---|---|
Düz çizgi | ||||
Çember | ||||
Parabol | ||||
Elips | ||||
Hiperbol |
Ayrıca bakınız
[değiştir | kaynağı değiştir]- Cebirsel geometri
- Dışbükey eğri
- Diferansiyel geometri
- Osgood eğrisi
- Düzlem eğrisi uydurma
- Projektif varyeteler
- Aykırı eğri
Kaynakça
[değiştir | kaynağı değiştir]- Coolidge, J. L. (28 Nisan 2004), A Treatise on Algebraic Plane Curves, Dover Publications, ISBN 0-486-49576-0.
- Yates, R. C. (1952), A handbook on curves and their properties, J.W. Edwards, ASIN B0007EKXV0.
- Lawrence, J. Dennis (1972), A catalog of special plane curves, Dover, ISBN 0-486-60288-5.