Black-Scholes modeli
Black-Scholes modeli, matematiksel finansta bir opsiyon fiyatlama modelidir. İsmini, bu modeli 1973 yılında yayınlayan[1] Fischer Black ve Myron Scholes'tan almıştır. Bu opsiyon modelinin sonucunda, halen opsiyon fiyatlamada piyasa katılımcılarınca yoğun olarak kullanılmakta olan Black-Scholes formülü elde edilmiştir. Black-Scholes modeli, aslında rassal hareketler izleyen sıvı moleküllerini ortaya koyan Brown hareketinin hisse fiyatlarına ve finansal hareketlere uyarlanması sonucu ortaya çıkmıştır. Daha önce bu uyarlamanın öncüsü sayılabilecek varsayımı Louis Bachelier 1900'de "Théorie de la spéculation" başlığıyla yazdığı doktora tezinde[2] yapmıştır. Yine, benzer uyarlamalar Paul Samuelson, Sheen Kassouf, Edward O. Thorp and Case Sprenkle tarafından da yapılmıştır. Ancak, Black ve Scholes'un zamandaşlarının önüne geçtiği nokta opsiyon fiyatlarına ihtiyaç duyan opsiyon piyasa katılımcılarına piyasada gözlemlenen veri ve değişkenlerle pratik bir şekilde hesaplanabilen analitik bir formül ortaya koymalarıdır.
Robert Merton'un modelde çözülemeyen bir bölümü çözmesinden sonra, model, Black-Scholes-Merton modeli olarak anılmaya da başlamıştır. Bu çalışmaları sayesinde, Merton ve Scholes, 1997de Ekonomi alanında Nobel Ödülü almışlardır.[3]
Varsayımlar
[değiştir | kaynağı değiştir]Black-Scholes modeli ve bunun sonucunda elde edilen Black-Scholes formülü şu varsayımlara dayanmaktadır:
- Söz konusu dayanak varlığın (Black-Scholes özelinde hisse senedinin) fiyatının hareketleri (St) geometrik Brown hareketini izlemektedir. Yani, sabit bir sapma () ve volatilite () olmak üzere;
- Söz konusu hissede açığa satış (short sell) yapılması mümkündür.
- Arbitraj imkânı yoktur.
- Hisselerde el değiştirme süreklidir.
- Alımsatım maliyeti veya vergi yoktur.
- Bütün yatırım araçları kesirli bir şekilde alınıp satılabilmelidir; örneğin, bir dayanak varlığın yüzde birini almak mümkün olmalıdır.
- Risksiz faiz ile borç alınabilmelidir.
- Hisse temettü dağıtmamalıdır; bu kural sadece basit Black-Scholes modeli için geçerlidir.
Black-Scholes formülü
[değiştir | kaynağı değiştir]Black-Scholes formülü 1973 yılında Fischer Black ve Myron Scholes tarafından yazılan makalede[1] ilk defa bahsedilen ve Black-Scholes modeline bağlı olarak elde edilmiş bir opsiyon fiyatlama formülüdür. Avrupa tipi ödenişleri olan alım ve satım opsiyonlarının fiyatlanmasında piyasa katılımcılarınca yoğun olarak kullanılmaktadır.
Formülün ifadesi
[değiştir | kaynağı değiştir]Black–Scholes modelinin varsayımları altında, Avrupa tipi alım opsiyonu (European call option) için,
- opsiyon kullanma fiyatı K
- hissenin şu andaki fiyatı S, (yani opsiyonun verdiği hak ile T zaman sonra, hisseyi K fiyatından alma imkânımız var),
- sabit faiz r ve sabit volatilite
olmak üzere, opsiyonun bugünkü fiyatı şu şekilde verilir.
Burada;
Bu formülde standart normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonudur.
Bir satım opsiyonunun fiyatı , yukarıda verilen formülü ve alım-satım paritesi (put-call parity) kullanılarak hesaplanabilir ve aşağıdaki şekilde düzenlenebilir:
Kanıt
[değiştir | kaynağı değiştir]Black ve Scholes'un orijinal kanıtının fikri
[değiştir | kaynağı değiştir]Black-Scholes formülünün kanıtı bugün Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemi olarak bilinen diferansiyel denklemlerin çözümünden geçmektedir.[1] Burada esas ilk fikir, opsiyon ve opsiyon dayanak varlığından oluşan bir portföy yaratmak ve bu portföyü küçük zaman aralıklarında dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız hale getirmektir. Sonucunda, Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemi elde edilir. İkinci esas fikir ise bu diferansiyel denklemi, değişik dönüşümler ve yerine koymalar vasıtasıyla ısı denklemine dönüştürmektir.
Martingaller yoluyla kanıt
[değiştir | kaynağı değiştir]Bu yöntemde Girsanov teoremi aracılığıyla riske duyarsız ölçü olan 'ya geçilir ve iskontolu hisse fiyatı sürecinin martingal olduğu elde edilir. Bu sayede, opsiyonun vadesindeki ödenişin iskontolu halinin beklenen değeri kolaylıkla hesaplanabilir. Diyelim ki bir olasılık ölçüsü 'de
verilmiş olsun. Girsanov teoreminde alırsak, o zaman yeni ölçüde de bir Brown hareketi olur ve sağlanır. Bu halde, herhangi bir için
olur. Elimizde sadece difüzyon terimleri kaldığı için artık iskontolu dayanak varlık spot fiyatı sürecinin riske duyarsız ölçüde martingal olduğu açıktır. Aynı zamanda,
olur. Diğer deyişle, riske duyarsız ölçüde, dayanak varlık spot fiyatı sürecinin 'deki deterministik terimi , riske duyarsız ölçüde, risksiz faiz ile yer değiştirir. Öbür taraftan, Ito önsavı sayesinde
hesaplanır. Her iki tarafta integraller uygun aralıklarda alındıktan sonra
bulunur. Geriye kalan, koyup bir alım opsiyonun zamanındaki fiyatının olduğundan yola çıkarak, beklenen değeri tanımı gereği integrale çevirip hesaplamaktır. Yani,
Integral fonksiyonunu fonksiyonundan kurtarmak için olduğu hesaplanır. Burada
alınmıştır. Buradan sonra kalkülüs teknikleri kullanılarak integraller ilk önce tanımlanarak
haline getirilir. Burada standart normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonudur. ve arasındaki ilişki ve 'nin özellikleri kullanılarak
bulunur. Black-Scholes formülünün orijinal hali alınarak elde edilir.
Risk hassasiyetleri (Yunanlar)
[değiştir | kaynağı değiştir]Black-Scholes formülü üzerinden bir Avrupa tipi opsiyonun risk hassasiyetleri analitik olarak hesaplanabilir.
Açıklama | Alım opsiyonu | Satım opsiyonu | |||
---|---|---|---|---|---|
Delta | Dayanak varlığın spot fiyatına göre değişim | ||||
Gama | Deltaya göre değişim | ||||
Vega [4][5] | Volatiliteye göre değişim | ||||
Thita | Vade gününe kalan zamana göre değişim | ||||
Ro | Faiz oranına göre değişim |
Ayrıca bakınız
[değiştir | kaynağı değiştir]- Black-Scholes denklemi
- Binom opsiyon fiyatlama modeli
- Black modeli
- Sıçramalı difüzyon modeli
- Monte Carlo opsiyon fiyatlama modeli
- Stokastik volatilite
Kaynakça
[değiştir | kaynağı değiştir]- ^ a b c Black, Fischer; Scholes, Myron (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Journal of Political Economy. 81 (3): 637-654. doi:10.1086/260062. [1] 31 Mart 2024 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Black ve Scholes'un orijinal makalesi.)
- ^ Bachelier, Louis. "The Theory of Speculation (İngilizce)=". 15 Ağustos 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 16 Ağustos 2024.
- ^ Fischer Black, 1995 yılında vefat etmiştir. Fischer Black, 1984 yılından gırtlak kanserinden öldüğü 1995 yılına kadar Goldman Sachs'ta çalışmıştır.
- ^ Bu harf Yunanca'da yoktur.
- ^ Paul Wilmott Frequently Asked Questions in Quantitative Finance 30 Eylül 2022 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. adlı kitabında bu gibi risk hassasiyetlerine Piç-Yunan adını takmıştır. Bu terim, formülün çıkarımında sabit tutulup sonra türeve tabi tutulan paramatrelerin yanıltıcı bilgi verebileceğine ve risk yönetiminde sorunlar çıkarabileceğine işaret etmektedir.