Akış alanının Lagrangian ve Euler spesifikasyonu

Lagrangian vs Eulerian

Klasik alan teorilerinde, akış alanının Lagrangian özelliği, gözlemcinin uzay ve zamanda hareket eden bireysel bir sıvı parselini takip ettiği sıvı hareketine bakmanın bir yoludur. Tek bir parselin konumunun zaman içinde çizilmesi, parselin yol çizgisini verir. Bu, bir teknede oturmak ve bir nehirde sürüklenmek olarak görselleştirilebilir.

Akış alanının Euler özelliği, zaman geçtikçe sıvının içinden aktığı uzayda belirli konumlara odaklanan sıvı hareketine bakmanın bir yoludur. Bu, bir nehrin kıyısında oturarak ve suyun sabit yerden geçişini izleyerek görselleştirilebilir.

Akış alanının Lagrange ve Euler spesifikasyonları bazen gevşek bir şekilde Lagrange ve Euler referans çerçevesi olarak gösterilir. Bununla birlikte, genel olarak, akış alanının hem Lagrangian hem de Euler spesifikasyonu, herhangi bir gözlemcinin referans çerçevesinde ve seçilen referans çerçevesinde kullanılan herhangi bir koordinat sisteminde uygulanabilir.

Tanım

Bir alanın Euler belirtiminde, alan x konumunun ve t süresinin bir fonksiyonu olarak temsil edilir. Örneğin, akış hızı bir fonksiyon ile temsil edilir.

$$\mathbf {u} \left(\mathbf {x} ,t\right).$$

Öte yandan, Lagrangian spesifikasyonunda, bireysel sıvı parselleri zaman içinde takip edilir. Akışkan parselleri, bazı (zamandan bağımsız) vektör alanı x ₀ ile etiketlenir. (Genellikle x ₀, t ₀ başlangıç zamanında parsellerin ağırlık merkezinin konumu olarak seçilir. Zaman içinde şeklin olası değişikliklerini hesaba katmak için bu özel şekilde seçilir. Bu nedenle kütle merkezi, parselin u akış hızının iyi bir parametreleştirmesidir.) Lagrange tanımında, akış bir fonksiyon tarafından tanımlanır.

$$\mathbf {X} \left(\mathbf {x} _{0},t\right)$$

t zamanında x ₀ etiketli parçacığın konumunu veriyor.

İki spesifikasyon aşağıdaki şekilde ilişkilidir:

$$\mathbf {u} \left(\mathbf {X} (\mathbf {x} _{0},t),t\right)={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial t}}\left(\mathbf {x} _{0},t\right)$$

çünkü her iki taraf da x ₀ olarak etiketlenen parçacığın t zamanındaki hızını tanımlar.

Seçilen bir koordinat sisteminde, x ₀ ve x, akışın sırasıyla Lagrangian koordinatları ve Euler koordinatları olarak anılır.

Malzeme türevi

Akış alanının kinematiği ve dinamiğinin Lagrange ve Euler spesifikasyonları, malzeme türeviyle (Lagrange türevi, konvektif türev, esaslı türev veya parçacık türevi olarak da adlandırılır) ilişkilidir.

Diyelim ki bir u akış alanımız var ve bize Euler spesifikasyonu F (x, t ) Şimdi, belirli bir akış parselinin deneyimlediği toplam F değişim oranı sorulabilir. Bu şu şekilde hesaplanabilir:

$${\frac {\mathrm {D} \mathbf {F} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} ,$$

burada ∇, x'e göre nabla operatörünü belirtir ve u ⋅∇ operatörü F'nin her bir bileşenine uygulanır. Bu bize, sıvı parselleri Euler spesifikasyonu u tarafından tanımlanan bir akış alanı boyunca hareket ederken F fonksiyonunun toplam değişim oranının, yerel değişim oranı ile F'nin konvektif değişim oranının toplamına eşit olduğunu söyler. Bu, zincir kuralının bir sonucudur.

Birim kütle için korunum yasaları, kütle korunumuyla birlikte Euler korunumu üreten bir Lagrangian forma sahiptir; aksine, sıvı parçacıkları bir miktarı (enerji veya momentum gibi) değiş tokuş edebildiğinde, yalnızca Euler korunum yasaları vardır.