İzomorfizma

Eşyapı ya da izomorfizma (ya da izomorfi), aynı kategoride(grupta) olan benzer iki matematiksel obje arasında bir gönderim olup matematiksel vücut tersi yapıda da muhafaza edilir. Aralarında bu şekilde eşyapı bulunan objelere eşyapısal ya da izomorf(ik) objeler denir. Örneğin iki küme arasında eşyapı, birebir, örten bir gönderimdir. Kümelerin üzerinde elemanlara sahip olma haricinde bir oluşum olmadığından, eşyapı gönderiminin koruyacağı başka bir yapı yoktur. Soyut cebirde iki grup arasında bir eşyapı, birebir, örten bir gönderimdir; dahası, iki gruptaki işleme saygı gösterir, bu iki işlemin birbirleriyle etkileşim halinde olmasını sağlar.

Ludwig Von Bertalanffy'e göre genel sistem özelliklerinin varoluşunun bir sonucu, farklı alanlardaki (disiplinlerdeki) yapısal benzerlik ya da izomorfizmlerin ortaya çıkışıdır. Özünde oldukça farklı olan bireylerin davranışını yöneten prensiplerde uyumlulukların olduğu tespit edilmiştir. Basit bir örneği ele alırsak, büyümenin üstsel bir kanunu belirli bakteriyel hücrelere, bakteri, hayvan ya da insan popülasyonlarına ve genel olarak bilimde veya genetik alanındaki yayınların sayısıyla ölçülen bilimsel araştırmanın gelişimine uygulanabilmektedir.

Ayrıca sistem izomorfizmleri sayısal analizlere direnen ama buna rağmen büyük içsel bir ilgiye sahip olan problemlerde de karşımıza çıkmaktadır. Örnek verilecek olursa; hayvan toplulukları ve insan toplumları gibi biyolojik sistemler ve kolonisel organizmalar arasında izomorfizmler bulunmaktadır. Birçok durumda, izomorfik kanunlar varlıkların doğası gözönüne alınmaksızın sistemlerin belirli sınıf veya altsınıflarda geçerlidirler. Bu yüzden tartışılmakta olan "izomorfizm" kavramı, benzerlik anlamındaki "analoji"den çok daha fazla anlama sahiptir.

Aşağıdaki örneklere bakınız.

Eşyapılar, Cebir, Kategori Teorisi, Model Teorisi, Topoloji gibi alanların, inşa ettikleri nesneleri sınıflandırmada, tıpkılıklarını fark etmede, doğal olarak karşılarına çıkan kavramlardır. Bu nesneleri, üzerlerinde tanımladıkları yapılar bağlamında incelerken eşyapısal nesneleri birbirlerine denk tutarlar.

Tanım

En geniş tanımıyla, bir $K$ kategorisi içinde iki nesne $A$ ve $B$, ve $A$'dan $B$'ye kategorinin bir gönderimi $f$ var olsun. Eğer $f$'nin aynı kategoride izin verilen gönderimler içinde bir tersi varsa (bu ters $g$ olsun) ve $gf=br_{A}$ ve $fg=br_{B}$ eşitlikleri sağlanıyorsa, $f$'ye $A$'dan $B$'ye bir eşyapı (gönderimi) denir. Tabii ki $g$ de $B$'den $A$'ya bir eşyapı gönderimi olur. Burada $br_{A}$ olarak gösterilen gönderim, $A$'da her bir elemanı kendisine götüren gönderimdir. $f$ eşyapısının tersi olan gönderim $f^{-1}$ olarak gösterilir.

Yani $f$ bir eşyapıysa, aynı kategoride bir de tersi vardır ve önce $f$ ile gidip sonra $f^{-1}$ ile geri dönünce $A$'da hiçbir şey yapmamış oluruz; benzer biçimde önce $f^{-1}$ ile gidip sonra $f$ ile geri dönünce $B$'de hiçbir şey yapmayız.

Örnekler

• Kümeler Kuramında: İki küme arasında bir gönderim birebir ve örtense (yani birebir eşleme ise) bu gönderim kümeler kategorisinde bir eşyapıdır. İki küme arasında eşyapı varsa, kümeler kuramı içinde kümelerden biri için kanıtlanmış bir gerçek diğeri için de doğrudur. Dolayısıyla, kümeler kuramında bu iki küme denk olarak düşünülür. Örneğin resmi bir voleybol oyunu sırasında sahadaki oyuncuların kümesiyle, bir yıl içinde ayların kümesi eşyapısaldır (ikisinde de 12 eleman var). Ayrıca tüm kesirli sayılar kümesiyle tüm tam sayılar kümesi eşyapısaldır. Oysa tüm kesirli sayılar kümesiyle tüm gerçel sayılar kümesi eşyapısal olamazlar (bkz. Cantor'un köşegen yöntemi).
• Grup Kuramında: ($A$,$\circ$) ve $(B$,$*)$ iki grup olsun. $A$ ve $B$ birer küme olduğundan, aralarında bir $f$ grup eşyapısı öncelikle ilk örnekte olduğu gibi birebir bir eşleme olmalıdır. Ayrıca, bu gönderim $A$ ve $B$ üzerindeki işlemleri korumalıdır, birini diğerine götürmelidir. Bunu söylerken tam tamına şu özdeşlik kastedilir:
  $x$ ve $y$ $A$'da iki eleman olmak üzere her $x$ ve $y$ için $f(x$$\circ$ $y)=f(x)$$*$$f(y)$.
  Yani $x$ ve $y$'yi $A$'da işleme sokup $B$'ye göndermek, $B$'ye gönderip imgeleri oradaki işleme sokmakla her zaman aynı sonucu vermeli.
• Halka Kuramında: ($A$$,+,\circ$) ve $(B$$,\cdot ,*)$ iki halka olsun. $A$'dan B'ye bir halka eşyapısı birebir bir eşlemedir ve halka yapılarını korur:
  $x$ ve $y$ $A$'da herhangi iki eleman olmak üzere $f(x$$+$ $y)=f(x)$$\cdot$$f(y)$ ve $f(x$$\circ$ $y)=f(x)$$*$$f(y)$.
• Doğrusal cebirde: İki vektör uzayı arasında bir vektör uzayı eşyapısı, birebir bir eşlemedir ve uzaylardaki vektör toplama işlemini ve ölçeksel çarpmayı yukarıdaki anlamda korur. Sonlu boyutlu iki vektör uzayının boyutları aynıysa, gösterilebilir ki bu uzaylar eşyapısaldır.
• Çizge kuramında: $A$ ve $B$ iki çizge olsun. $A$'nın ve $B$'nin köşelerinin oluşturduğu kümeleri sırasıyla $K_{A}$ ve $K_{B}$ olarak gösterelim. $A$'dan $B$'ye bir çizge eşyapısı, $K_{A}$'dan $K_{B}$'ye birebir bir eşlemedir; ayrıca bu eşleme, $A$'da (birbirlerine bir kenarla) bağlı iki köşeyi, $B$'de bağlı iki köşeye götürmelidir ve eğer iki köşenin $B$'deki imgeleri bağlıysa $A$'da da bağlı olmalıdır. Dolayısıyla bir çizge eşyapısı, kenarları koruyan birebir bir eşlemedir.
• Topolojide: İki topolojik uzay arasında bir topolojik eşyapı, kendisi ve tersi sürekli olan birebir bir eşlemedir. İki çokkatlı arasında bir eşyapı, kendisi ve tersi türevlenebilir birebir bir eşlemedir.