İzomorfizma

Eşyapı ya da izomorfizma (ya da izomorfi), aynı kategoride olan iki benzer matematiksel nesne arasında bir gönderimdir; tersi vardır; hem kendisi hem de tersi matematiksel yapıyı korur. Aralarında eşyapı bulunan nesnelere eşyapısal ya da izomorf(ik) nesneler denir. Örneğin iki küme arasında eşyapı, birebir, örten bir gönderimdir. Kümelerin üzerinde elemanlara sahip olmak dışında bir yapı olmadığından, eşyapı gönderiminin koruyacağı başka bir yapı yoktur. Soyut cebirde iki grup arasında bir eşyapı, birebir, örten bir gönderimdir; üstüne üstlük, iki gruptaki işleme saygı gösterir, bu iki işlemin birbirleriyle konuşmasını sağlar. Aşağıdaki örneklere bakınız.

Eşyapılar, Cebir, Kategori Teorisi, Model Teorisi, Topoloji gibi alanların, inşa ettikleri nesneleri sınıflandırmada, tıpkılıklarını fark etmede, doğal olarak karşılarına çıkan kavramlardır. Bu nesneleri, üzerlerinde tanımladıkları yapılar bağlamında incelerken eşyapısal nesneleri birbirlerine denk tutarlar.

Tanım

En geniş tanımıyla, bir $K$ kategorisi içinde iki nesne $A$ ve $B$, ve $A$'dan $B$'ye kategorinin bir gönderimi $f$ var olsun. Eğer $f$'nin aynı kategoride izin verilen gönderimler içinde bir tersi varsa (bu ters $g$ olsun) ve $gf=br_{A}$ ve $fg=br_{B}$ eşitlikleri sağlanıyorsa, $f$'ye $A$'dan $B$'ye bir eşyapı (gönderimi) denir. Tabii ki $g$ de $B$'den $A$'ya bir eşyapı gönderimi olur. Burada $br_{A}$ olarak gösterilen gönderim, $A$'da her bir elemanı kendisine götüren gönderimdir. $f$ eşyapısının tersi olan gönderim $f^{-1}$ olarak gösterilir.

Yani $f$ bir eşyapıysa, aynı kategoride bir de tersi vardır ve önce $f$ ile gidip sonra $f^{-1}$ ile geri dönünce $A$'da hiçbir şey yapmamış oluruz; benzer biçimde önce $f^{-1}$ ile gidip sonra $f$ ile geri dönünce $B$'de hiçbir şey yapmayız.

Örnekler

• Kümeler Kuramında: İki küme arasında bir gönderim birebir ve örtense (yani birebir eşleme ise) bu gönderim kümeler kategorisinde bir eşyapıdır. İki küme arasında eşyapı varsa, kümeler kuramı içinde kümelerden biri için kanıtlanmış bir gerçek diğeri için de doğrudur. Dolayısıyla, kümeler kuramında bu iki küme denk olarak düşünülür. Örneğin resmi bir voleybol oyunu sırasında sahadaki oyuncuların kümesiyle, bir yıl içinde ayların kümesi eşyapısaldır (ikisinde de 12 eleman var). Ayrıca tüm kesirli sayılar kümesiyle tüm tamsayılar kümesi eşyapısaldır. Oysa tüm kesirli sayılar kümesiyle tüm gerçel sayılar kümesi eşyapısal olamazlar (bkz. Cantor'un köşegen yöntemi).

• Grup Kuramında: ($A$,$\circ$) ve $(B$,$*)$ iki grup olsun. $A$ ve $B$ birer küme olduğundan, aralarında bir $f$ grup eşyapısı öncelikle ilk örnekte olduğu gibi birebir bir eşleme olmalıdır. Ayrıca, bu gönderim $A$ ve $B$ üzerindeki işlemleri korumalıdır, birini diğerine götürmelidir. Bunu söylerken tam tamına şu özdeşlik kastedilir:
  $x$ ve $y$ $A$'da iki eleman olmak üzere her $x$ ve $y$ için $f(x$$\circ$ $y)=f(x)$$*$$f(y)$.
  Yani $x$ ve $y$'yi $A$'da işleme sokup $B$'ye göndermek, $B$'ye gönderip imgeleri oradaki işleme sokmakla her zaman aynı sonucu vermeli.

• Halka Kuramında: ($A$$,+,\circ$) ve $(B$$,\cdot ,*)$ iki halka olsun. $A$'dan B'ye bir halka eşyapısı birebir bir eşlemedir ve halka yapılarını korur:
  $x$ ve $y$ $A$'da herhangi iki eleman olmak üzere $f(x$$+$ $y)=f(x)$$\cdot$$f(y)$ ve $f(x$$\circ$ $y)=f(x)$$*$$f(y)$.

• Doğrusal cebirde: İki vektör uzayı arasında bir vektör uzayı eşyapısı, birebir bir eşlemedir ve uzaylardaki vektör toplama işlemini ve ölçeksel çarpmayı yukarıdaki anlamda korur. Sonlu boyutlu iki vektör uzayının boyutları aynıysa, gösterilebilir ki bu uzaylar eşyapısaldır.

• Çizge kuramında: $A$ ve $B$ iki çizge olsun. $A$'nın ve $B$'nin köşelerinin oluşturduğu kümeleri sırasıyla $K_{A}$ ve $K_{B}$ olarak gösterelim. $A$'dan $B$'ye bir çizge eşyapısı, $K_{A}$'dan $K_{B}$'ye birebir bir eşlemedir; ayrıca bu eşleme, $A$'da (birbirlerine bir kenarla) bağlı iki köşeyi, $B$'de bağlı iki köşeye götürmelidir ve eğer iki köşenin $B$'deki imgeleri bağlıysa $A$'da da bağlı olmalıdır. Dolayısıyla bir çizge eşyapısı, kenarları koruyan birebir bir eşlemedir.

• Topolojide: İki topolojik uzay arasında bir topolojik eşyapı, kendisi ve tersi sürekli olan birebir bir eşlemedir. İki çokkatlı arasında bir eşyapı, kendisi ve tersi türevlenebilir birebir bir eşlemedir.